热点3-1 三角函数基本公式与三角恒等变换（10题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

热点3-1三角函数基本公式与恒等变换三年考情分析2025考向猜测在近三年的高中多以选择题、填空题的形式消灭，试题难度一般为中等或偏下．常考“弦切互化”以及三角函数的化简求值等问题，留意对基础学问和基本技能的考查，强调对公式的机敏运用，同时也可能在解答题中涉及到三角恒等变换的综合应用．2025年高考命题将紧密连接2025年的趋势，进一步强化对考生核心素养、关键技能及基础学问的综合考察．估计仍会以选择题、填空题为主，重点考查同学对基本概念、公式及变换方法的理解和应用力量．题型1弧长与扇形面积相关计算1、在弧度制下计算扇形的面积和弧长比在角度制下更便利、简捷；2、从扇形面积动身，在弧度制下使问题转化为的不等式或利用二次函数求值的方法确定相应最值；3、记住下列公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②，其中是扇形的半径，是弧长，是圆心角，是扇形面积．1．（24-25高三上·湖南·月考）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为，因此大轮每秒钟转的弧度数为，所以大轮每秒转过的弧长是.故选：D2．（24-25高三上·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款美丽 的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精致图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（

）（油布与扇子骨架皱折部分忽视不计）A．1024cm2 B．768cm2 C．640cm2 D．512cm2【答案】B【解析】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm，则，由于扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，所以，则，所以该扇子的油布面积为cm2.故选：B3．（23-24高三下·江西·模拟猜测）如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉利.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设是外圆的圆心，是相邻的两个四等分点，由题意可知，又，所以弓形的面积为，所以图案的面积为.故选：C.4．（24-25高三上·安徽·月考）如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（

）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接分别交，与点，连接如下图所示：则,,此时的周长取得最小值，其最小值为的长度；由于扇形OAB的弧长为，半径为2，所以；依据对称性可知，在中，由余弦定理可得，所以.即周长的最小值是.故选：D题型2任意角的三角函数计算利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角三角函数值也可求出角终边的位置．1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由角的终边经过点，所以依据任意角三角函数定义，得.故选：C2．（24-25高三下·广西·开学考试）已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，点到原点的距离为，由三角函数定义可得，所以.故选：D.3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（

）A．2 B． C．或2 D．或【答案】D【解析】由三角函数定义可得，解得，所以的值为或.故选：D.4．（24-25高三上·山东日照·期末）若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数定义可得，所以.故选：B.题型3弦切互化及其应用1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：（1）sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常接受“切”代换法求解；（2）sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的问题常接受分式的基本性质进行变形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般单独消灭正切的时候，接受此技巧．1．（24-25高三上·山西运城·期末）已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】由三角函数的定义可得，所以.故选：C.2．（24-25高三上·安徽合肥·一模）已知，则（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由于，所以故选：3．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·月考）已知，则的值是（

）A．2 B．－2 C． D．【答案】D【解析】由于，所以，则．故选：D．4．（24-25高三上·福建福州·模拟猜测）若，则（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【解析】由于，所以.故选：C.题型4sina±cosa、sina·cosa关系对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，则sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(留意依据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．1．（24-25高三上·湖北黄冈·模拟猜测）已知，则．【答案】【解析】由得，解得，所以．又由于，且，所以，所以，则．2．（24-25高三上·天津·月考）已知，且，则的值为．【答案】【解析】，，，结合，知，，所以，则解得，，.3．（24-25高三上·江苏南通·月考）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，，两边平方得，即，解得.故选：B4．（24-25高三上·山东滨州·期中）已知，，求下列式子(1)(2)(3)和和【答案】(1)；(2)；(3)，，，【解析】（1）由，两边平方可得：，所以.（2）由，又，则，可得（3）由，得：，，.题型5利用诱导公式化简与求值利用诱导公式化简求值的解题策略1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要认真观看条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观看互余、互补关系：如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要擅长利用角的变换来解决问题．1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以故选：B.2．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得：，即，因此.故选：D3．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·月考）化简：．【答案】1【解析】.4．（24-25高三上·黑龙江大庆·模拟猜测）（多选）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由于，所以，由得，解得舍去，或，所以，所以，，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD.题型6三角恒等公式的正用与逆用给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但认真观看非特殊角与特殊角之间总有肯定的关系，解题时，要利用观看得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消退特殊角三角函数而得解．1．（24-25高三上·山东·一模）计算：等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.2．（24-25高三上·山西·月考）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依据两角和的正切公式，，可得，即；依据诱导公式，，故原式.故选：A.3．（24-25高三上·江苏徐州·模拟猜测）已知角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故，因此故选：C4．（23-24高三下·重庆·模拟猜测）若，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则,由，所以，则，则，故.故选：D题型7三角恒等变换给值求值问题1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的．2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：等．1．（24-25高三上·天津·月考）已知，则.【答案】【解析】，，.2．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（

）A． B． C． D．5【答案】C【解析】由于，所以.故选：C.3．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，可得，又由于，可得，所以.故选：C.4．（24-25高三上·江苏·月考）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，，所以，所以，所以则.故选：D题型8三角恒等变换给值求角问题“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：（1）求值：求出所求角的某种三角函数值．（2）界定范围：依据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围．（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小．1．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图，三个相同的正方形相接，则．【答案】【解析】由图可得，，所以而，均为锐角，即，所以．2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故.故选：C.3．（24-25高三上·河北承德·期中）若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，又，所以，由于，，所以，所以，又由于，所以.故选：C4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，.又，，.，，，.故选：D.题型9三角恒等变换在三角形中的应用已知三角恒等式可以推断三角形的外形，推断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以推断．条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论．1．（23-24高三下·四川眉山·模拟猜测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的外形是.【答案】等腰三角形或直角三角形.【解析】由得，则，所以，所以，所以或，由于，，所以或，所以的外形为等腰三角形或直角三角形.2．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）已知，则.【答案】−2【解析】由于，所以，所以，所以，所以.3．（23-24高三上·辽宁·月考）（多选）已知钝角三角形，为两锐角，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，由题意，，则，所以，故A正确；对于B，，由于，所以，所以，故B错误；对于C，，所以，所以，又因，所以，所以，故C正确；对于D，由于，所以，所以，故D正确.故选：ACD.4．（23-24高三上·广东深圳·模拟猜测）（多选）已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论肯定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由题易知，，，即A、B、C结论成立.对于D，由锐角三角形知，，得，因此，所以错误.故选：ABC题型10三角函数式的化简求值与证明三角函数式的化简遵循“三看”原则一看式中各角：通过把三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二次式配方”等．1．（24-25高三上·江苏盐城·月考）化简（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】.故选：B.2．（23-24高三上·北京·开学考试）（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】依据三角函数两角和公式，则.将代入原式可得：.由于，，所以.则原式变为.故选：C.3．（23-24高三下·陕西榆林·三模）化简下列各式(1)(2);(3)；(4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）;（2）;（3）;（4）,由于，所以，即，即上式.4．（24-25高三上·河北沧州·月考）在中，内角，，满足.(1)证明：；(2)若，求的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由，则，化简可得，又，B∈0,π，则或（舍），即，则；（2）由已知，，则，，则，，，所以，又由正弦定理可知，即，面积.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·全国·模拟猜测）在平面直角坐标系中，角与角的顶点均与坐标原点重合，始边均与轴的非负半轴重合，终边关于直线对称．若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由角的终边经过点，由于结合角与角的终边关于直线对称，可得角的终边必经过点，所以．故选：C．2．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得，所以．故选：B．3．（24-25高三上·广东惠州·模拟猜测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得.故选：A4．（24-25高三上·河北衡水·月考）的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由于，所以，所以有，故选：D．5．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，解得，故，故选：B6．（24-25高三上·吉林松原·月考）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，则，即，解得或，由于，则，，A选项，，故A选项错误；B选项，，故B选项错误；C选项，，故C选项错误；D选项，，故D选项正确．故选：D7．（23-24高三上·江苏南通·月考）已知锐角满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，且，所以由于在上单调递增，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.8．（24-25高三上·山东德州·月考）体育老师为了便利同学练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由扇形弧长公式可得，即，又，所以，所以当时，最大为，故选：C.二、多选题9．（24-25高三上·山东德州·期末）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由得，，又，，所以，所以，A正确；，D正确；结合可得，，B正确；，C不正确．故选：ABD．10．（24-25高三上·浙江·期