抢分专练02 立体几何（教师版）

抢分专练02立体几何一、单选题1．（2025·江西南昌·二模）校足球社团为学校足球竞赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC开放得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图：连接、、，取、、中点、、，连接、、，由已知侧棱长为的正三棱锥，即，又由于，所以，由于平面，，均与平面垂直，设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为，则，又由于奖杯总高度为，设球半径为，球心到圆面的距离为，则，即，如图，易知≌，由于，所以是边长为的等边三角形，设的外接圆半径为，则，则在直角中，，即，解得，所以．故选：C．2．（2025·全国·模拟猜测）在长方体中，，过顶点作平面，使得平面，若平面，则直线l和直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于平面，平面，平面平面，所以，所以即直线l和直线所成角或其补角，在中，，，，由余弦定理得，故直线l和直线所成角的余弦值为．故选：C．3．（2025·全国·模拟猜测）已知中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，，则由题意得，，，所以，，.故选：A．4．（2025·河北·二模）已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球溶化后实心钢球恰好沉没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球溶化为水前后的体积变化忽视不计，则实心钢球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，实心冰球溶化前后体积不变，则有，化简可得：，即，，解得：，所以钢球的表面积为.故选：D5．（2025·陕西安康·模拟猜测）随着古代瓷器工艺的高速进展，在有名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的外形可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14)（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可知：球的半径为，上球冠的高，下球冠的高，设下底面圆的半径为，则，所以该瓷器的外表面积为.故选：C.6．（2025·青海·模拟猜测）如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接，，，由正方体的性质及、分别为棱、的中点，易得，所以线段与相交，与相交，故A、B错误；连接，，有，，故，所以线段与相交，C错误；连接，直线与，直线与均为异面直线，D正确.故选：D.7．（2025·全国·模拟猜测）如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【详解】取AB的中点E，连接CE，过Q作，垂足为M，过M作，垂足为N，连接QN，PE，

则，且，点E到BC的距离为.由直三棱柱的性质知平面ABC，所以平面ABC，MN，平面ABC，则，，且，QM，平面QMN，所以平面QMN，且平面QMN，则，可知，当且仅当点Q与点P重合时，等号成立，所以面积的最大值为.故选：A.8．（2025·北京·模拟猜测）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（

）

A． B．C． D．【答案】C【详解】连接，在正方体中，平面，四边形是正方形，由于平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，由于平面，所以，所以当点P在线段（点除外）时，，取的中点E，连接，在正方形中，由于E为的中点，是棱的中点，所以，由于平面，平面，所以，由于，且平面，平面，所以平面，又平面，所以，由于，且平面，平面，所以平面，设平面平面，则，所以，则是棱的中点，所以当点在正方体的表面线段上时，,由题意可知，在梯形中，，，，，所以线段长度的最大值是.

故选：C9．（2025·甘肃定西·一模）在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，设，由于在矩形中，，所以，由于底面，所以分别是与底面所成的角，即，所以.由于，所以，解得(负根舍去)，所以.故选：D.10．（2025·河南信阳·模拟猜测）棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得OP的最小值为点到线段的距离，在平面内过点作于点，由题意可得，，，平面，由于平面，则，由于，故，即.故选：C.11．（2025·北京东城·一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一班级方案实践这种方法，为同学们预备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全班级共500人，需要预备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由条件可得四片瓦的体积（）所以500名同学，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（），又，所以共需粘土的体积为约为，故选：B.12．（2025·全国·模拟猜测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面开放图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于底面半径，所以底面积，底面周长，圆锥母线长，圆锥侧面积，故圆锥的表面积为．故选：C.13．（2025·山东枣庄·一模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面开放图是半个圆环，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，解得,所以圆台的侧面积.故选：B二、多选题14．（2025·河北·二模）一般地，假如一个四周体存在由同一点动身的三条棱两两垂直，我们把这种四周体叫做直角四周体，记该点为直角四周体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四周体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四周体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四周体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（

）A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B．C． D．【答案】BCD【详解】A选项，连接，由于⊥，⊥，且，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，由于⊥平面，平面，所以⊥，由于，平面，所以⊥平面，由于平面，所以⊥，同理可得⊥，⊥，故为的垂心，不肯定为内心，A错误；B选项，由A可知，⊥平面，⊥平面，延长交于点，连接，由于平面，平面，则⊥，⊥，设，在Rt中，，，故，又，所以，故，设直角面与斜面所成角分别为，则，同理可得，故，B正确；C选项，明显，且，故，当且仅当时，等号成立，综上，，C正确；D选项，直角四周体的体积，故，，又，，所以，D正确.故选：BCD15．（2025·全国·模拟猜测）已知正方体，则下列说法中正确的是（

）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成角为D．直线与平面所成角为【答案】AC【详解】对于选项A：在正方体中，由于与平行且相等，可知四边形为平行四边形，则∥，所以异面直线与所成的角是，由于是正三角形，所以，故A正确；

对于选项B：由于平面，平面，则．在中，则，所以直线与所成角的正弦值为，故B错误；

对于选项C：由于平面即为平面，由，∥，可得，由为正方形可得，由于，平面，可知与平面，所以直线与平面所成角为，故C正确；

对于选项D：由于平面，平面，则，且，，平面，可知与平面，由与平面，可得，同理可得：，且，平面，可得直线平面，设直线与平面相交于点O，，所以直线与平面所成的角为，为的余角，则，所以直线与平面所成角不为，故D错误．

故选：AC．16．（2025·全国·模拟猜测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．存在点，使四点共面B．存在点，使平面C．三棱锥的体积为D．经过四点的球的表面积为【答案】ABC【详解】A：如图，在正方体中，连接．由于N，P分别是的中点，所以．又由于，所以．所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确；B：连接，当Q是的中点时，由于，所以．由于平面平面，所以平面，故B正确；C：连接，由于，则，故C正确；D：分别取的中点E，F，构造长方体，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球．设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误．故选：ABC17．（2025·全国·模拟猜测）已知球O是正三棱锥的外接球，，点E在线段上，且．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（

）A．π B． C． D．【答案】BCD【详解】如图，作平面，是等边的中心，O是正三棱锥外接球的球心，点在上，连结，连结交于点，，设该球半径为，则．由可得，在中，,解得，由于，，所以，所以，在中，,所以，设球心O到过点E的截面圆的距离为d,可知，截面圆半径，所以截面圆的面积的取值范围为，故选：BCD．18．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（

）A．存在点．使得B．存在点，使得平面C．三棱锥的体积不是定值D．存在点．使得三、填空题19．（2025·辽宁·二模）如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．【答案】【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设球心，故，设平面的法向量为，则有，可取，则球心到平面的距离为，由于球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得，所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是.故答案为：.20．（2025·河北邢台·二模）如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为．【答案】【详解】由题意设，由于面积为，所以，依据题意有：，所以，则长方体的体积为，，令，有，所以时，，函数在上单调递增，时，，函数在上单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为.故答案为：21．（2025·全国·模拟猜测）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为，若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为．

【答案】【详解】如图1，扩展过M,N,P三点的平面，

可知平面与正方体相交的截面即为正六边形，其边长为，因此面积为．由上可知，平面，且垂足H为的中点，如图2，动直线是以为轴、直线与直线的夹角为的圆锥的母线，点Q的轨迹为圆锥底面圆．

图2由于，所以底面圆的半径，所以点Q的轨迹长度为．故答案为：；22．（2025·全国·模拟猜测）已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记的中点为E，且，四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为，此时．【答案】1【详解】由于，则平面过球O的球心O．又的中点为E，则点E是以为直径的球截面的小圆圆心，连接，如图，则，四边形为梯形．令球O的半径为R，设，则，

四棱锥的体积最大，当且仅当梯形的面积最大，并且点D到平面的距离最大，明显球面上的点D到平面的最大距离为R．梯形面积，令，，求导得．当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此当时，，此时，于是四棱锥体积的最大值为，解得，所以球O的表面积为．故答案为：.23．（2025·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为.【答案】【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于，由于在中，,，则，当四点共面时，点A到的距离最大．由于⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则，于是，，即A到的最大距离为．故答案为：．四、解答题24．（2025·全国·模拟猜测）如图，将绕边旋转得到，其中平面，连结分别是的中点，平面．

(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）过点D作，连接．由于，所以平面，由于平面，所以平面平面．又由于，平面，平面平面，所以平面．由于平面，所以，所以平面．由于平面平面平面，同时，所以平面平面，所以平面．由于平面，平面平面，所以，所以H是中点，所以，所以，所以．（2）如图，以中点H为原点，为x轴，为z轴，过点H作的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，

则，所以．设是平面的一个法向量，则取，则，所以，所以与平面所成角的正弦值为．25．（2025·宁夏石嘴山·三模）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，为棱上的点．

(1)证明：；(2)是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在一点，且为中点，理由见解析【详解】（1）由于，，所以，又由于直三棱柱中，，又平面，所以平面，又平面，所以，所以、、两两垂直，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题知，，所以，，，，，设，且且，即，则，所以，又，所以，所以.（2）存在一点，且为中点，理由如下：由（1）易知，平面的一个法向量，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，所以，由于平面与平面的夹角的余弦值为，所以，即，解得或（舍去），所以当为中点时，符合题意.26．（2025·山东济南·二模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.【答案】(1)证明见解析(2)2【详解】（1）过作，垂足为，由题意知：为矩形，可得，由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则，又由于平面平面ABCD，平面平面，平面，可得平面ABCD，且平面，所以.（2）由（1）可知：平面ABCD，取线段的中点，连接，则∥，，又由于，可知，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，由于E为线段PF上一点，设，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，由题意可得：，整理得，解得，所以当，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.27．（2025·河北·二模）如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2).【详解】（1）如图，设与交于点，连接.由于分别为的中点，底面是菱形，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，由于为的中点，所以为的中点，由于为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连接，由于是边长为的等边三角形，为的中点，所以.由于底面是菱形且，易知为等边三角形，所以.易知，所以，所以.由于，所以，所以.所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，得，取，则，所以.设平面的法向量为，则，得，则，取，则，所以.所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.28．（2025·山东枣庄·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．(1)求证：平面；(2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由于平面平面，所以，由于与平面所成的角为平面，所以，且，所以，又为的中点，所以，由于四边形为正方形，所以，又平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面．（2）由于底面为正方形，为的内心，所以在对角线上．如图，设正方形的对角线的交点为，所以，所以，所以，所以，又由于，所以．由题意知两两垂直，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．所以，由（1）知，所以，所以．又由于平面，所以平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则．29