题型03 函数的基本性质解题技巧（教师版）

题型03函数的基本性质解题技巧技法01技法01利用函数的奇偶性求参数值技法02求“奇函数+常函数”的最大值+最小值技法03求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值技法04函数周期性的应用及解题技巧技法05函数对称性的应用及解题技巧技法06函数4大性质的综合应用及解题技巧本节导航技法01利用函数的奇偶性求参数值纵观历年考题，函数的奇偶性始终是函数及其高考中的重要考点。把握奇偶性的定义至关重要，若能娴熟把握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。奇偶性的运算与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数（2025·全国新Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1思路点拨：利用函数奇偶性的运算及结论求解即可思路详解：【法一】为奇函数，则为奇函数，则【法二】查找必要条件，特值，例，略【法三】定义法，略1．（2025·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则.思路详解：【法一】为奇函数，则为偶函数，而为偶函数，则【法二】查找必要条件，特值，例，略【法三】定义法，略2．（2025·陕西安康·模拟猜测）已知函数为奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．思路详解：【法一】为奇函数，则为奇函数，由结论可知，则【法二】查找必要条件，特值，例，略【法三】定义法，略1．（2025·全国·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】依据偶函数的定义运算求解.【详解】由于为偶函数，则，又由于不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.2．（2025·全国·高考真题）若为偶函数，则．【答案】2【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】由于为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.3．（2025·湖北·模拟猜测）若函数为偶函数，则.【答案】【分析】依据偶函数的定义得，代入化简即得值.【详解】由于为偶函数，所以，即，即，即，所以，故答案为：技法02求“奇函数+常函数”的最大值+最小值在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”类型的问题。假如能够娴熟把握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么求解最大值和最小值可秒解。在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有即倍常数已知分别是函数++1的最大值、最小值，则思路点拨：利用结论求解即可思路详解：倍常数=2【法二】1．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（

）A． B．C． D．思路详解：所以为奇函数，为奇函数由结论可知【法二】2．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（

）A． B．6 C．2 D．思路详解：，由结论可知最大值与最小值的和为6【法二】最大值+最小值1．若函数在区间上的最大值､最小值分别为､，则的值为（

）A．2 B．0 C． D．3【答案】C【解析】化简函数，得到，构造新函数，得出函数为奇函数，求得最大值与最小值之和为0，进而依据和的值域相同，即可求解.【详解】由函数，可得，令，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，设在上的最大值为，最小值为，则，由于和的值域相同，即的最大值与的最大值相同，最小值也相同，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，函数的图象变换，以及函数的最值的求解，其中解答中合理构造新函数，利用函数的奇偶性求得最大值和最小值的关系是解答的关键，着重考查推理与运算力量.2．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则．【答案】6【分析】把分别常数变形，再推断为奇函数，最终利用奇函数的对称性求出结果.【详解】由题意可知，，设，的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，所以故答案为：3．函数的最大值为，最小值为，若，则．【答案】1【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．【详解】，设，则，记，由于，所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，所以，又由于，所以，故答案为：1．技法03求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”的题目类型。假如能够娴熟把握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么对于表达式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数（全国·高考真题）已知函数，，则．思路点拨：利用结论求解即可思路详解：在定义域内为奇函数所以倍常数=2，解得1．已知，且，则.思路详解：1．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为．【答案】【分析】依据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可.【详解】由可得，由于为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则.故答案为：-5.2．函数，且，则的值为.【答案】0【分析】构造，得到为奇函数，从而依据得到，由求出.【详解】令，定义域为或且，关于原点对称，则，故为奇函数，又，故，解得.故答案为：0技法04函数周期性的应用及解题技巧纵观历年考题，函数的周期性是函数及高考的重要考点。把握周期性的定义至关重要，若能娴熟把握周期性的运算规章，则可以显著提高解题速度，实现快速求解。①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）⑤，周期为，，周期为⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为⑦复合函数：的周期为，则的周期也为⑧若的周期为，则、的周期均为（2025·河南驻马店·模拟）已知定义在上的奇函数满足，则（

）A．0 B． C．253 D．506思路点拨：利用结论求解即可思路详解：【详解】由于函数为上的奇函数，所以，又，则，所以，所以函数是周期为8的周期函数，又，则，所以，所以.故选：A.1．（2025·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则．思路详解：令，则，由于，所以，令，则，得，令，则，即，所以，所以所以，所以，即，是以6为周期的周期函数，所以2．（2025·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（

）A． B．为奇函数C．6是的一个周期 D．思路详解：【详解】该函数满足且，对于A，令，可得，解得，故A正确；对于B，令，，所以f−x=fx，所以为偶函数，故B错误；对于C，令，，可得，令，可得，将两式相加得：，所以，所以，所以，因此，6是的一个周期，故C正确；对于D，令，，，所以，所以，由于，，由于，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由于6是的一个周期，所以，所以，故D正确；故选：ACD1．（2025·四川·模拟猜测）已知函数满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规章逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规章结合和求出，进而结合周期即可求解.【详解】取代入，得即，由题解得，令代入得，故，所以是周期为6的周期函数，又，，所以，所以，故选：D.【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而依据周期性和即可求解.2．（2025·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：依据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质由于，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．由于，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用生疏的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简洁明白，是该题的最优解.3．（2025·广东韶关·一模）若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（

）A． B．C．为偶函数 D．若，则【答案】ABD【分析】对于A，令求解即可；对于B，令得即可推断；对于C，令得，推断出为偶函数即可做出推断；对于D，通过赋值法，分别求出，发觉具有周期性，再利用周期性求解即可.【详解】原式移项得，即对于A，令，则由可得，故（舍去）或，故A正确：对于B，令，则，故.由于x∈R，令，则，所以，即有，故B正确：对于C，令，则，即，由于，所以，所以为偶函数，对左右两边同时求导得，所以为奇函数，故C错误；对于D，由A选项，若，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，由此可得的值有周期性，且周期为6，且，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：若，的定义域均为，且，则：（1）若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，反之未必成立.（2）若为周期函数，则也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.技法05函数对称性的应用及解题技巧纵观历年来的考题，函数的对称性始终是高考数学中函数部分的重要考察点。把握对称性的定义是解题的基础，而生疏对称性的运算方法则能有效提升解题速度，实现快速而精确     的解答。轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为（全国·高考真题）已知函数，则A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称思路点拨：利用对称性结论求解即可思路详解：，所以的图象关于直线对称1．（全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则A．0 B． C． D．思路详解：【详解】[方法一]：直接法.由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，∴，故选B．[方法二]：特值法.由得不妨设由于，与函数的交点为∴当时，，故选B．[方法三]：构造法.设，则，故为奇函数.设，则，故为奇函数.∴对于每一组对称点.将，代入，即得∴，故选B．1．（2025·陕西商洛·模拟猜测）已知为奇函数，则（

）A． B．14 C． D．18【答案】D【分析】先依据条件得到的对称中心，再依据对称性求和即可.【详解】由于为奇函数，所以，即，故的对称中心为，即，所以，又，即，所以.故选：D2．（2025·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得.【详解】由，可知关于对称，又，则，又，则，，.故选：A.技法06函数4大性质的综合应用及解题技巧近年高考题中，经常把函数的基本性质结合在一起综合考查，常见的有对称性和周期性结合，奇偶性和周期性结合，把握相关技巧后，可以做到快速求解，常在小题中使用.周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：（2025·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．思路点拨：利用函数的性质综合求解即可思路详解：由于函数为偶函数，则，可得，由于函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，由于函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.1．（2025·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．思路详解：【详解】[方法一]：由于是奇函数，所以①；由于是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：由于是奇函数，所以①；由于是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．2．（2025·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．思路详解：由于的图像关于直线对称，所以，由于，所以，即，由于，所以，代入得，即，所以，.由于，所以，即，所以.由于，所以，又由于，联立得，，所以的图像关于点中心对称，由于函数的定义域为R，所以由于，所以.所以.故选：D3．（2025·全国·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．思路详解：【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系争辩对于，由于为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，由于为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，由于其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，明显A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：由于，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.1．（2025·河北·模拟猜测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则肯定正确的是（

）A．的周期为2 B．图象关于直线对称C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【分析】依据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.【详解】为奇函数，得，即，则为奇函数，故C错误；且图象关于点中心对称，故B错误；可知，函数周期为4，故A错误；，又图象关于点中心对称，知，所以，得关于点对称，则关于点对称，所以为奇函数，故D正确.故选：D.2．（2025·广东河源·模拟猜测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】依据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和.【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则，由，得．由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，所以，，综上，，由上，，得，所以，则4为的一个周期，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：依据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键.3．（2025·安徽·模拟猜测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（

）A． B． C．为奇函数 D．为奇函数【答案】C【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性质，逐一对选项进行分析推断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设，则，一一对选项进行计算、验证即得.【详解】方法一:（函数性质推断法）由fx−1为偶函数，得①．由为奇函数，得．又，则②．则由①，（*），由②，，故得．把取成，得③，于是，，即函数的周期为2，故B错误；又由于R上的奇函数，则，的周期为2，则，故A错误；由③得，，即，故．由于奇函数，故为奇函数，故C正确；由（*），，得，即为偶函数，又，所以为偶函数，故D错误.方法二：（构造函数法）依题意，可设，则为偶函数，由为奇函数，且函数的定义域均为R，对于A，，排解A；对于B，明显的最小正周期是2，排解B；对于C，是奇函数，故C正确；对于D，，明显是偶函数，排解D.故选：C.4．（2025·河南·二模）（多选）定义在上的函数满足，则（

）A．是周期函数B．C．的图象关于直线对称D．【答案】ABC【分析】对于A，由已知，可得，则的周期为4，即可推断；对于B，令，可得，则，即可推断；对于C，由已知，可得函数关于对称，关于对称，则的的图象关于直线对称，即可推断；由已知，得，，代值可推得，即可推断.【详解】由可得，所以，所以的周期为4，故A正确；由，令，则，所以，又，故B正确；由，可知函数关于对称，又的周期为4，则，所以，即函数关于对称，则的图象关于直线对称，故C正确；由，且关于对称，则，所以，又，且，则，又，所以，，故D错误.故选：ABC.1．已知函数，若，则（

）A． B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】令，利用函数奇偶性计算作答.【详解】设，则，即函数是奇函数，，则，而所以.故选：C2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则．【答案】6【分析】设，分析可知为奇函数，依据奇函数的对称性分析求解.【详解】设，则的定义域为，且连续不断，由，可知为奇函数，设在上的最大值为，由奇函数的对称性可知在上的最小值为，则函数在区间上的最大值为，最小值为，所以.故答案为：6.3．已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是.【答案】【分析】先利用常数分别法化得函数，再构造函数，推断得为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.【详解】由于，，令，，则，由于定义域关于原点对称，，所以是在上的奇函数，故由奇函数的性质得，所以，所以，则.故答案为：.【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.4．（2025·全国·模拟猜测）（多选）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】B选项，赋值得到；C选项，令，结合得到，故C正确；A选项，中，赋值得到，题目条件中令得到；D选项，求出函数的周期为，并且，从而求出D正确.【详解】B选项，，令得，由于，所以，故B正确：C选项，令得，即，所以，故C正确；A选项，由C选项知，，故，中，令得，解得，故A错误；D选项，中，令得①，中，将换成得②，①②两式相加得，即，则，所以．故函数的周期为，由得，由得，故，所以，故D正确.故选：BCD．【点睛】学问点点睛：设函数y=fx，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；5．（2025·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则.【答案】【分析】依据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最终依据周期性计算可得.【详解】由于，所以，所以，又，所以，即，即，所以为偶函数，所以，所以，所以的周期为，又，，所以，，，则，，所以，又，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出的奇偶性与周期性.6．（2025·河南濮阳·模拟猜测）（多选）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（

）A． B．为奇函数C．是周期函数 D．【答案】ACD【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定B错误；依据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确．【详解】对于A，由对于任意都满足，令，则，所以A正确；对于B，令，可得，即，所以函数关于点对称，所以B错误；对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即，可得，则，所以，所以函数的周期为，故C正确；对于D，令，则，可得，所以，所以D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：推断D选项的关键是得出函数的周期为，并利用函数性质求出，由此即可顺当得解.7．（2025·广东茂名·一模）（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法肯定成立的是（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于对称 D．【答案】AC【分析】选项C，由于函数f2x+1为偶函数，得到，进而替换变量得到，推断即可；选项A，由于，变量替换后得到，结合已知fx+2+fx=0，即可推断奇偶性；选项B，已知fx+2+fx=0，得到fx+2=−fx，变量替换后得到，得到函数的周期性，进而求得结果；选项D，已知fx+2+fx【详解】对于选项C，f2x+1是偶函数，得：，将替换为，得：，所以函数关于直线对称，选项C正确；对于选项A，由于，将替换为，得：，又由于fx+2+fx，∴fx是奇函数，选项A正确；对于选项B，，将替换为，得：fx+4=−fx+2又由于是奇函数，且函数的定义域为R，，，选项B错误.对于选项D，由已知fx+2分别代入，得：，f2+f4，同时4为的周期，，选项D错误.故选：AC.8．（2025·河南·一模）（多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（

）A．的图象关于点中心对称 B．C． D．【答案】BCD【分析】先依据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，依据函数性质即可得结果.【详解】由题意可得，两式相减可得①，所以的图象关于点成中心对称，故A错误；由②，②式两边对求导可得，可知是偶函数，以替换①中的可得，可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确；由于，可知也是周期为4的周期函数，即，两边求导可得，所以，故C正确；由于，令，则，