压轴题型12 平面向量常考压轴小题（教师版）

压轴题型12平面对量常考压轴小题命题猜测平面对量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式消灭．经常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等学问相结合，以工具的形式消灭．近几年高考主要考查平面对量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何亲密相连．高频考法（1）平面对量基本定理及其应用（2）等和线问题、极化恒等式（3）平面对量范围与最值问题01平面对量基本定理及其应用平面对量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面对量的夹角、模的问题，总的思路有：（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．【典例1-1】（2025·高一·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（

）

A．1 B．2 C．4 D．【答案】A【解析】由于是的中点，且，所以.由于三点共线，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A.【典例1-2】（2025·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（

）A． B． C． D．与有关【答案】B【解析】取线段AB的中点D，得，所以.所以.故选：B【变式1-1】（2025·宁夏银川·一模）在中，，，，是内一点，，且的面积是的面积的倍，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】过作于，于，，，由于，所以，即，由于，所以为等腰三角形，又，所以为中点，所以，由于四边形为矩形，所以，又，所以，所以，，由图形可知，，则，，所以.故选：.【变式1-2】（2025·全国·二模）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】过点作于，令，由，得，，由分别为的中点，得，，所以.故选：B【变式1-3】（多选题）（2025·河北廊坊·模拟猜测）如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，故A正确，B错误；由于，所以，故C错误，D正确.故选：AD.02等和线问题、极化恒等式1、等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；2、极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）AABCM【典例2-1】（2025·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民才智的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示；（ii）请写出的取值范围.【答案】【解析】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，；（ii）；当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值；六边形为正六边形，为正三角形，；作，则为中点，；，即的取值范围为.故答案为：；.【典例2-2】（2025·高三·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接，如图所示，所以的取值范围是，即，又由，所以.故选：B.【变式2-1】（2025·高三·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接、，则，又，所以，，即，所以，．故的取值范围为．故选：C03平面对量范围与最值问题平面对量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面对量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后依据平面图形的特征直接进行推断；②“数化”，即利用平面对量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关学问来解决．【典例3-1】（2025·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（

）A． B．8 C． D．12【答案】D【解析】如图：以为原点，建立平面直角坐标系.则，，可设，则，所以所以.又由于，所以.故选：D【典例3-2】（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，由，，则，所以，，，设，则，，则，当时，取得最小值，此时，.故选：B【变式3-1】（2025·江苏扬州·模拟猜测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，，设，且，故，，故，而，.故选：C【变式3-2】（2025·陕西咸阳·模拟猜测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知是两个单位向量，且，则，则，则，设分别是轴与轴正方向上的单位向量，则，，，设，则，由于，所以，故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆心到原点的距离为，．故选：B．1．已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（

）A．4 B．2 C． D．5【答案】C【解析】由于，所以所以，所以.故选：C2．在平行四边形中，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，由题意，所以，所以，即，所以，所以，由于，所以，所以，即.故选：A3．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则，可知直线对应的一次函数解析式为，可设，可得，则，且，由于开口向上，对称轴为，且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值，此时，且，所以.故选：A.4．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，设点，而，则，因此，由，得，则，因此，所以的取值范围为.故选：B5．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：如图所示：连接，设，连接，依题意得，，，，则，．由于，所以，（三角函数的有界性）所以．故选：C．解法二

如图，以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则依题意可得，，，由于圆的半径为1，所以可设，所以，，所以，又，（三角函数的有界性）所以．故选：C．解法三如图所示：设，则．可看成是在上的投影，当点与重合时最小，最小值为，当点与重合时最大，最大值为0，故．故选：C．6．已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设为弦的中点，则．由于两点不重合，则直线AB与圆O相交，所以点在圆内.考虑点D为圆上或圆内一点，如图当且仅当D，O，M三点共线时，最长为，因C在圆内，则；考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当O，E，M三点共线时，最短为，因C在圆内，则.综上，当点在圆内时，，则.故选：D．7．已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，过作的平行线交圆于点，过作，垂足为，在平行四边形中，，，，可得，，则由余弦定理可得，由，可得，则四边形为正方形，则，由于，则的最小值为，即的最小值为，故C正确。故选：C.8．如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，三点共线，，解得：，，.故选：A.9．（多选题）若平面对量满足且，则（

）A．的最小值为2B．的最大值为5C．的最小值为2D．的最大值为【答案】BD【解析】当向量方向相同，与方向相反时，满足，此时有最小值，A选项错误；当向量方向相同时，满足，此时有最大值，B选项正确；，有，即，则，向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误；向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确.故选：BD10．（多选题）已知是同一平面内的四点，且，则（

）A．当点在直线的两侧时，B．当点在直线的同侧时，C．当点在直线的两侧时，的最小值为3D．当点在直线的同侧时，【答案】ACD【解析】设，由，，得；由，得，，当点在直线的两侧时，如图①，，所以，即，故A正确；由于，所以当时，的最小值为3，故C正确；当点在直线的同侧时，如图②，，所以，故B错误；设，则，即解得，所以，即，故D正确．故选：ACD.11．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是.【答案】【解析】取的中点，则，又，又由于，故三点共线，即点在中线上运动，在正三角形中，，又，，则，故.故答案为：12．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为.【答案】【解析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，，所以三点共线，又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，由得，，公用，因此，所以，中，设，由正弦定理得，记为角，所以，，，所以，若不是钝角，则，又，所以，即，所以，设，则，，它是减函数，所以时，，若是钝角，则，设，则，，令，则，，时，，递减，时，递增，所以时，，，综上，，此时．故答案为：3．13．已知平面对量满足，若平面对量满足，则的最大值为.【答案】/【解析】如图，设，由于，所以，故，如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，由，得，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示两点间的距离，所以的最大值为.故答案为：.14．已知平面对量、、满足：，，则的最小值为．【答案】【解析】因，由可得，即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，又由可得，不妨设，则，，于是，因，则，因，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最小值.故答案为：.15．已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为．【答案】1【解析】如图所示：设，当时，取得最小值，过点作于点，即可得的最小值为，又与的夹角为，即，易知，所以.即的最小值为1.故答案为：116．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由，则，以为原点建立坐标系，可设、，由点在圆上运动，设，则，，可得，由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数，此时存在最大值，由于，当时，的最大值为，即有最大值，由于恒成立，所以，即实数的取值范围为．故答案为：．17．已知五个点，满足：，，则的最小值为．【答案】【解析】由于，所以，，，由题意设，则，，设，如图，由于求的最小值，则，，，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：.18．如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为．【答案】【解析】设，则，故，故，当时，，即时，此时取最小值.故答案为：．19．已知平面对量满足：，若，则的最小值为．【答案】2【解析】由于，且，故有，所以，记，则有，从而或，即或.总之有，故，即.存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2.故答案为：2.20．设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为.（参考数据：）【答案】5【解析】由题意知点P满足，则P点在以为直径的圆上，当时，设为的中点，如图，

，当共线且方向时，即三点共线时，取最小值，此时，则，则，故时，不满足题意；当时，设为的中点，如图，

，当共线且反向时，取最小值，此时共线，，，则，则当共线且同向时，必有，故时，存在点P满足，且；当时，如图，正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高，依此类推，故此时不存在点P满足，且；故n的最小值为5，故答案为：521．已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为．【答案】【解析】依题意，设的外接圆的半径为，则，故，在等边中由正弦定理得，则；取线段的中点，连接，则，所以；取线段的中点，连接，则在线段上，且，所以，则又，故，则．故答案为：.22．已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为．【答案】．【解析】解法一：，记的交点为，以为原点，所在直线分别为x，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，则，，，，，故，，则，故，又则．解法二：，如图2所示，当M在线段AD上运动时可得，即，又，所以．故答案为：23．在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为；点是线段上一点，且，若，则的最大值为.【答案】【解析】由，可得，则；由，可得，则，由，可得，即，整理得，故，当且仅当时等号成立，则的最大值为．故答案为：；．24．在中，D是AC边的中点，，，，则；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为．【答案】4【解析】中，D是AC边的中点，，，，解得，即；中，，，，以为坐标原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示为平面直角坐标系，则有，设由，得，解得，，即，则有，，，则有时，有最小值.故答案为：4；.25．已知，如图所示，点为中点，点满足，记，用表示；当时．

【答案】3【解析】,由题意，为等腰三角形，则，，所以.故答案为：；326．平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示；若，则的最小值为【答案】【解析】由于，故；为等边三角形，则，若，则D在以E为圆心的圆上且在直线AC的左侧部分运动，方可取到最小，，易知时取得最小值，故的最小值为.故答案为：；.27．已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为．【答案】【解析】由题可得，以的中点为原点，方向为轴，的中垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系：由于，所以，记圆心，半径为，所以圆的方程为，，不妨设，所以,,,由于所以，由于，所以，所以可得，将代入上式可得，①，由于，②，将①的平方