压轴题型01 函数性质的综合运用（教师版）

压轴题型01函数性质的综合运用命题猜测本专题考查类型主要涉及函数性质的奇偶性、单调性、周期性、对称性。函数是高中数学的主干，也是高考考查的重点，而函数的性质是函数的灵魂，它对函数概念的理解以及利用函数性质来解决相关函数问题起到格外重要的作用．此外在高考试题的考查中函数的性质也是常见题型。估计2025年后命题会连续在上述几个方面进行。从命题走向看，高考函数的性质常以中档题以上的题型消灭，尤其对抽象函数结合周期性的考察近几年常以压轴题型消灭.。高频考法（1）利用奇偶性、单调性解函数不等式（2）奇函数+M模型与奇函数+函数模型（3）对称性、周期性的综合运用01利用奇偶性、单调性解函数不等式求解函数不等式常见的方法是利用函数的性质，包括单调性、奇偶性及函数的图像等。【典例1-1】（2025·吉林长春·模拟猜测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，定义域为，又，故为偶函数；又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；，即，则，即，，也即，解得.故选：A.【典例1-2】（2025·辽宁·模拟猜测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，故，故，由于是定义在上的奇函数，故，故，故，故，此时，故为上的减函数，而等价于，即即，故或故选：A.【变式1-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数，设，则不等式，可化为，即，又由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，又由函数为上的增函数，为上的减函数，所以函数为上的增函数，所以不等式，即为，可得，解得，即不等式的解集为.故选：A.【变式1-2】（2025·高三·河南·专题练习）若函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，，故在上单调递增；又是偶函数，故的图象关于对称，故在区间单调递减．则等价于，所以，即，即，解得或．所以不等式的解集为．故选：D．02奇函数+M模型与奇函数+函数模型结论1：若，其中为奇函数，为常数，那么有．即若两个自变量互为相反数，则其函数值之和等于两倍常数．结论2：若，其中为奇函数，为常数，且该函数的最大值为，最小值为，则有．【典例2-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，由复合函数单调性的推断方法，知此函数在上为增函数又，所以为上的奇函数，故其最大值加最小值为0，所以.故选：C【典例2-2】（2025·高一·福建福州·期中）已知函数，若，则（

）A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定【答案】C【解析】设，明显定义域为，又，则，所以是上的奇函数；又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数，因此，则.故选：C.【变式2-1】（2025·高三·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（

）A．4 B．8 C．6 D．12【答案】B【解析】，．有，取，则，故，取，则，故，令，则,故为奇函数，，设，，故为奇函数，故为奇函数，故，则，故故函数在上的最大值和最小值的和是8，故选：B．【变式2-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（

）A． B．6 C．2 D．【答案】B【解析】函数，设，由于，所以，则在上是奇函数，且最大值与最小值之和为零，当时，函数的最大值与最小值的和为.故选：B．03抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性一次函数（1）对于正比例函数，与其对应的抽象函数为．（2）对于一次函数，与其对应的抽象函数为．二次函数（3）对于二次函数，与其对应的抽象函数为幂函数（4）对于幂函数，与其对应的抽象函数为．（5）对于幂函数，其抽象函数还可以是．指数函数（6）对于指数函数，与其对应的抽象函数为．（7）对于指数函数，其抽象函数还可以是．其中对数函数（8）对于对数函数，与其对应的抽象函数为．（9）对于对数函数，其抽象函数还可以是．（10）对于对数函数，其抽象函数还可以是．其中三角函数（11）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：（12）对于余弦函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：（13）对于余弦函数，其抽象函数还可以是注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：（14）对于正切函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：【典例3-1】（2025·重庆·一模）已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】任取，则，而时，，则，，所以在上单调递减，，，取，则，令，得，所以为上的奇函数，，即，则，解得故选：A.【典例3-2】（2025·四川泸州·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．函数的图像关于直线对称 D．【答案】D【解析】对于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，结合得，所以，故A错误；对于D，由于，令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，由于，所以，又由于，所以，由于，所以，故D正确；对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即，有，即，所以为周期函数，且周期为，由于，所以，所以，，所以，所以，故B错误；对于C，取，，满足及，所以，又，所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；故选：D.【变式3-1】（多选题）（2025·高三·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足，且不是常值函数（即:的值域不是单元素集合），则（

）A．B．C．时，D．为奇函数【答案】AB【解析】令，得，则，又，所以，故A正确；令，得，则，又，所以，故B正确；令，得，则，所以，若时，令，得，则，所以，为奇函数；若时，，不满足时，及为奇函数；综上，选项C，D不肯定正确.故选：AB.【变式3-2】（多选题）（2025·高三·河南信阳·阶段练习）若函数的定义域为，且，，则（

）A． B．为偶函数C．的图象关于点对称 D．【答案】BCD【解析】对于A，令，则，即，所以，故A错误；对于B，令，则，所以，所以为偶函数，故B正确；对于C，令，则，所以，令，则，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，由BC选项得，，则，所以，所以，所以函数是以为周期的周期函数，由，得，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【变式3-3】（多选题）（2025·广西·二模）已知函数的定义域与值域均为，且，则（

）A． B．函数的周期为4C． D．【答案】ACD【解析】令得，即①，令，得②，联立①②，故A正确；令，得③，由①，，，将它们代入③整理可得，所以由，故D对；由可知为一元二次函数，设，则有，整理得，又由，所以，阅历证满足题设要求，故B错C对，故选：ACD.【变式3-4】（多选题）（2025·河南郑州·二模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（

）A． B．为偶函数C． D．【答案】ACD【解析】令，得，即，A正确；令，得，又，所以对任意恒成立，由于，所以不恒为0，所以，即，B错误；将的图象向左平移1个单位后，再将图象上全部点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象，由于的图象关于对称，所以的图象关于对称，所以，又为奇函数，所以，所以，所以4为的周期.由可得，C正确；由于，，，所以，D正确.故选：ACD04函数性质的综合（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.（4）若函数关于直线对称，则．（5）若函数关于点对称，则．（6）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【典例4-1】（2025·福建泉州·模拟猜测）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于的定义域为，关于原点对称，所以，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，因而关于中心对称，函数满足，所以，即，所以函数关于中心对称，且，且，所以由函数零点定义可知，即，由于函数和函数都关于中心对称，所以两个函数的交点也关于中心对称，又由于恰有个零点，即函数和函数的交点恰有个，且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，所以个零点的和满足，故选：D.【典例4-2】（多选题）（2025·河北邯郸·二模）已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（

）A．的图像关于点对称 B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A中，设函数的图象关于对称，则关于对称，可得关于对称，由于函数的图像关于点对称，可得，解得，所以函数的图象关于对称，所以A正确；对于B中，由函数的图象关于对称，可得，由于，可得，则，两式相减得，即，所以B不正确；对于C中，令，可得，由于，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，由，可得，所以，由于函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数，所以，由，可得，即，令，可得，所以，所以，所以，所以C正确；对于D中，由于，且函数关于对称，可得，又由于，令，可得，所以，再令，可得，所以，由，可得，可得又由函数是以4为周期的周期函数，且，所以，所以D正确.故选：ACD.【变式4-1】（多选题）（2025·黑龙江双鸭山·模拟猜测）已知函数的导函数为，，，且为奇函数，若，则（

）A． B．的一个周期为2C． D．【答案】AC【解析】由于为奇函数，所以，对于A，令，可得，则，故A正确；对于B，由，得，又已知，则，即，所以，即的一个周期为，故B错误；对于C，由，两边求导得，令，得，则，故C正确；对于D，由，两边求导得，令，得，由，两边求导得，故的一个周期为，则，，，故，故D错误.故选：AC.【变式4-2】（2025·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于为奇函数，则，即，两边求导得，则，可知关于直线对称，又由于为奇函数，则，即，可知关于点对称，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8为的周期，可知，所以.故选：D.1．设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，由于是定义在上的奇函数，即，，故为奇函数，对于任意的，，有，，当时，有，即，，单调递增，，，，整理可得，，解可得，或，故选：D2．定义在上的函数的导函数是，函数为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，设，则，仅当时，等号成立，所以单调递减．又由于函数为奇函数，所以，即，故由可得，所以不等式的解集为，故选：A3．设函数的最大值为，最小值为，则（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】B【解析】由恒成立可知函数的定义域为，由可知为奇函数，则.故选：B4．已知，若，则等于（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】，，，，故选：A.5．已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】依据题意，函数的周期为8，图象关于点对称，又，所以函数的图象也关于点对称，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，，在同一个坐标系中，作出函数与的图象，如图，由图可得，函数与在上有两个交点，由于函数与图象均关于点对称，所以函数与在上有两个交点，又，所以函数在内的零点个数为5.故选：C.6．已知，为奇函数，且，则（

）A．4047 B．2 C． D．3【答案】C【解析】由函数为奇函数，可得关于点对称，且，所以，即，又由于，可得，即，则，所以，所以函数是周期为的周期函数，由于，，可得，，所以.故选：C.7．已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【解析】由题意，可知，①，令可得，，所以.又由于为偶函数，所以，两边同时求导可得，②令可得，，所以，联立①②可得，，化简可得，所以是周期为2的函数，所以，，又由于，所以，所以，所以.故选：A.8．设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由为奇函数，得，得的图象关于点对称，所以.又由于是定义域为的偶函数，所以，，所以的周期为4，所以.故选：A.9．已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（

）A．0 B．4 C．2025 D．2025【答案】D【解析】由于是偶函数，所以又，所以①，又由于，所以②，由①②得到③，所以④，由③④得到，即，所以的一个周期为，又，由，得到，且，，所以，则，故选：D.10．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（

）A．4036 B．4040 C．4044 D．4048【答案】D【解析】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，由于，所以，则，由于关于直线对称，所以，又由于关于点对称，所以，又由于，又由于，所以，所以，故D正确.故选：D.11．已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C． D．若，则【答案】D【解析】对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；对于B，取，满足及，由于，所以的图象不关于点对称，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，，代入已知等式得，可得，结合得，，再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，由于，所以，又由于，所以，由于，所以，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以为周期函数，且周期为3，由于，所以，所以，，所以，所以，故D正确.故选：D.12．若实数满足，则（

）A．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】A【解析】令函数，求导得，则函数在R上单调递增，又，因此函数的图象关于点对称，由，得，即，所以.故选：A13．（多选题）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（

）A．的图象关于轴对称B．在上单调递增C．的解集为D．若对恒成立，则实数的取值范围为【答案】BC【解析】对于，令，得，所以，令，则，即，则，所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，故A错误；对于，设，则，又当时，，则有，即，则，故在上单调递增，故B正确；对于，依据选项可知，函数在上单调递增，又由于是定义在上的奇函数，，所以，则的解集为，故C正确；对于，由于在上单调递增，所以当时，，又对恒成立，所以，即在上恒成立，将看成关于的一次函数，则需,由①可得或，由②可得或，故的范围为或，故D错误．故选：BC．14．（多选题）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（

）A．关于直线对称 B．C．的周期为4 D．【答案】ACD【解析】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B错误；④⑤两式相加，得，得，所以，即函数的周期为4，故C正确；由，令，得，所以，所以，故D正确.故选：ACD15．（多选题）已知函数为偶函数，且，当时，，则（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．的最小正周期为2 D．【答案】ABD【解析】对A：由于为偶函数，则，即，所以是奇函数，所以的图象关于点对称，故A正确；对B：由于，所以的图象关于直线对称，故B正确；对C：由于，，则，则，所以的最小正周期为，故C错误；对D：由于当时，，所以，，由于的图象既关于点对称，又关于直线对称，所以，，由于的最小正周期为4，所以，所以，所以，故D正确．故选：ABD．16．（多选题）已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，，当时，，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于直线对称C．4为的周期 D．在处取得微小值【答案】ACD【解析】对于A，是定义在上连续的奇函数，则，两边求导可得，所以，由于为的导函数，所以有，即为偶函数，故A正确；对于B，若，则，则，所以的图象关于直线对称，故B错误；对于C，由于，所以，即，又为偶函数，所以，所以，所以，故为的周期，故C正确；对于D，当时，，则在区间上为增函数，由为偶函数，可得在区间上为减函数，由4为的周期，可得在区间上为增函数则在区间上为减函数，在上单调递增，故在处取得微小值，故D正确．故选：ACD．17．（多选题）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（

）A．的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数的周期为2D．【答案】ABD【解析】对A，由于的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A正确；对B，，，又，故.即，故的图象关于直线对称，故B正确；对C，由A，，且，又由于，故，即，故，即.由B，，故，故的周期为4，故C错误；对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D正确.故选：ABD18．（多选题）已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数B．C．若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为D．【答案】AD【解析】由的图象关于直线对称,可知即所以图象关于轴对称,故A正确.由可得又,所以可知的图象关于对称，所以，所以是周期为4的周期函数，则故B错误.当时,又由于所以即在区间上的解析式为故C错误.由于，，所以，所以，所以.故D正确.故选：AD.19．（多选题）已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（

）A．B．4是函数的一个周期C．D．在区间上至少有1012个零点【答案】ABD【解析】对于A，由于函数的定义域为，为奇函数，所以，则，令，则，，故A正确；对于B，，所以，则，所以，故，故B正确；对于C，假设，则，又，函数的定义域为，所以即是奇函数又是偶函数，则恒成立，与题干冲突，故C错误；对于D，由于，，所以，所以在上至少有两个零点，又，即为周期为4的偶函数，而，所以在区间上至少有个零点，故D正确.故选：ABD.20．（多选题）函数是定义域为的格外值函数，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．C． D．【答案】BC【解析】将图象向右平移1个单位可得的图象，由函数关于直线对称，可得函数关于直线对称，故C正确;由的图象关于点对称，可得，即，以代换，则，所以函数关于点对称，可得，即，结合可得，所以，故B正确.所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，所以不关于点和对称，所以不是奇函数，，故选项AD错误;故选：BC.21．（多选题）已知函数的定义域为，，，则（

）A． B．C．的一个周期为3 D．【答案】ABD【解析】令，则，所以，A选项正确；令，则，即，所以，令，则，令，则，所以，由于，所以，所以，由于，所以，，B选项正确；令，则，所以，，所以，所以，由此可知：的一个周期为6，C选项错误；由于，且，令，，令，，且，，所以，由可知，，所以，由于的一个周期为6，且，所以，D选项正确.故选：ABD．22．（多选题）已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（

）A． B．为奇函数C． D．【答案】BCD【解析】令，则，所以，令，则，，故A错误；要证为奇函数，只需证，即，令，则，，令，则，所以成立，故B正确；令，则，，所以为偶函数，由B可知，，所以，则有，故C正确；由C可知，又为偶函数，所以，则周期为2，，，所以，故D正确.故选：BCD23．（多选题）已知函数的定义域为，，且，则（

）A．为偶函数B．C．D．【答案】BD【解析】由于，令，得，即，所以函数为奇函数，故选项A不正确；用替换，令，得，即，又函数为奇函数，所以，所以，故选项B正确；令，得，即，即，所以，所以函数的周期为2，再由，令，可得，由函数的周期性可知，，，所以，故选项C不正确；由，令，得，即①．由，令，得，即，可得②．由①+②整理后可得，即，故选项D正确.故选：BD．24．（多选题）已知定义域为R的函数，满足，且，，则（

）A． B．图像关于对称C． D．【答案】ACD【解析】对A：令，，则有，即，故A正确；对B：令，则有，即有，故或，又，故，令，则有，即，故不行能关于对称，故B错误；对C：令，则有，即，故关于对称