数学物理方法 课件 03解析函数的幂级数展开

目录第3章

解析函数的幂级数展开

3.1复变函数项级数3.2幂级数3.3泰勒级数展开3.4洛朗级数展开3.5孤立奇点的分类第1篇复变函数及应用3.1复变函数项级数3.1复变函数项级数我们先看一下复数级数的概念和性质。对于一个复数级数如果它的每一项都可分成实部和虚部，即则式(3.1-1)的前n+1项的和的极限为这样复数级数[式(3.1-1)]的收敛性问题就归结为两个实数级数

及

的收敛性问题。这样，就可以将实数级数的一些性质和规律应用到复数级数上。对于任意小的正数ε，如果存在一个

N，使得n>N

时，有成立，则复数级数[式(3.1-1)]收敛，其中p

为任意的正整数。式(3.1-4)为复数级数[式(3.1-1)]收敛的充分必要条件，也称柯西收敛判据。3.1复变函数项级数若级数[式(3.1-1)]各项的模组成的级数收敛，则称级数[式(3.1-1)]为绝对收敛。绝对收敛的级数一定是收敛的。下面讨论复变函数项级数的性质，其中式(3.1-6)的各项均为复变量z

的函数。如果在某个区域

D上的每一点z，级数[式(3.1-6)]都收敛，那么称其在区域D

上收敛，并记为对于给定的任意小的正数ε>0，如果存在一个与z无关的N(ε)，使得当n>N(ε)时，有则该级数

在区域D内一致收敛。3.1复变函数项级数如果级数[式(3.1-6)]的各项的绝对值构成的级数

收敛，则称该级数为绝对收敛。对于一致收敛的复变函数项级数，它有如下几个性质(这里不作证明)：(1)在区域D

内，如果级数的每一项wk(z)都是连续函数，则其一致收敛的和S(z)也是区域D

内的连续函数。(2)设c为区域D中一条分段光滑的曲线，如果级数的每一项wk(z)是c上的连续函数，则其一致收敛的和S(z)也是c上的连续函数，而且可以沿着c逐项积分，即

3.2幂级数3.2幂级数幂级数是一种简单的复变函数项级数，它的一般形式为其中an(n=0，1，2，…)及z0

都是复常数。可以看到，该级数的每一项都是解析函数。收敛圆及收敛半径：以z0

为圆心，作一个半径为R

的圆周cR

。如果级数[式(3.2-1)]在该圆内绝对收敛，而且在圆外发散，则这个圆是该级数的收敛圆，对应的半径为该级数的收敛半径。有两种方法可以确定一个幂级数的收敛半径：(1)比值判别法级数[式(3.2-1)]各项的绝对值构成的级数为如果3.2幂级数则级数[式(3.2-2)]收敛，从而级数[式(3.2-1)]绝对收敛。若极限

存在，并记为

(2)根值判别法可以看出，当极限

时，级数[式(3.2-1)]绝对收敛；反之，则发散。这样，我们可以定义一个收敛半径

在以z0

为圆心，半径为R的圆内，级数[式(3.2-1)]是绝对收敛的。3.2幂级数求幂级数

的收敛半径。解：用比值判别法[式(3.2-4)]，则有

在如下两节讨论中，我们将用到这个等式。3.3泰勒级数展开3.3泰勒级数展开由前面的讨论可知，一个幂级数的和函数是一个解析函数。现在我们讨论一个相反的问题，即一个解析函数是否可以用幂级数来表示?这是一个非常重要的问题。泰勒定理：设函数

f(z)在以z0

为圆心的圆内解析，则对于圆内任意一点z，可以将

f(z)用幂级数展开，即其中系数an

为c为包含z0

点的圆周。证明：由于f(z)在圆内解析，则由柯西公式，有其中ζ是圆周c上的点。可以将

改写为3.3泰勒级数展开由于，因此根据式(3.2-6)，有将式(3.3-5)代入式(3.3-3)，有再利用柯西公式

它们的收敛半径都为1。3.3泰勒级数展开

解：因为f(z)=ez

在全平面上解析，它在z=0的n阶导数均为1(n=0，1，2，…)。于是有对于f(z)=cosz，由于因此，有同样，对于f(z)=sinz，有3.3泰勒级数展开对于上述简单形式的解析函数，可以用这种方法直接进行展开。对于形式较复杂的解析函数，用这种方法进行展开则比较烦琐。不过，根据泰勒展开的唯一性，可以采用一些较为简单的间接方法，如利用基本公式、幂级数的代数运算、代换、逐项求导等方法来展开，最终的结果保持不变。

则有

解：利用因此，有3.3泰勒级数展开总之，把一个复变函数展开成幂级数的方法与实变函数的情形基本上一样。对于其中的一些基本方法和技巧，需要通过适当的练习才能掌握。3.4洛朗级数展开3.4洛朗级数展开

其中c是位于环内以逆时针方向绕内圆一周的任意一条闭合曲线，见图3-1。式(3.4-1)称为洛朗级数。证明：由于f(z)是环状区域内的解析函数，则根据复连通区域中的柯西公式，有3.4洛朗级数展开

3.4洛朗级数展开将式(3.4-4)和式(3.4-5)分别代入式(3.4-3)右边的两个积分中，则可以得到由复连通区域的柯西定理可知，上式中的两个积分相等。因此，可以得到其中证毕。3.4洛朗级数展开关于洛朗展开，需要如下几点说明：(1)洛朗展开与泰勒展开的不同之处在于它含有(z-z0)的负幂项，而泰勒展开只有(z-z0)的正幂项。这些负幂项与函数

f(z)在z0

点的奇异性有关。(2)尽管洛朗展开的系数an

与泰勒展开的系数an

都可以表示成但对于洛朗展开，an≠f(n)(z0)/n!，这是因为z0

不属于所考虑的环状区域内。(3)如果z0

是函数

f(z)的奇点，则内圆的半径可以无限小，并无限地接近圆心，这时称式(3.4-1)为f(z)在孤立奇点z0

的邻域内的洛朗展开。(4)与泰勒展开一样，洛朗展开也是唯一的。利用这种展开的唯一性，可以使用可能的简便方法将函数在环状区域内展开，最终结果保持不变。

解：由于ez在该环形区域内解析，先在z=0点把它展开成泰勒级数，即

这样有显然，该级数含有负幂项。3.4洛朗级数展开3.4洛朗级数展开

3.4洛朗级数展开上面两种级数的展开式表明：同一个函数在不同的区域中进行展开时，其展开的级数形式不一样。也就是说，对于一个解析函数的洛朗展开，其展开的结果不仅依赖于函数的形式，还依赖于所展开的区域形状(环形区域的半径及圆点)。把函数f(z)=e1/z

在z=0的邻域内展开成洛朗级数。解：根据函数ez

在z=0的展开形式并将z

换成1/z，则可以得到这个级数有无限多的负幂项。

这样有

3.4洛朗级数展开3.4洛朗级数展开

其中展开系数为

3.4洛朗级数展开(2)间接展开法：当z≠0时，有

则3.4洛朗级数展开由于洛朗级数展开的唯一性，式(3.4-8)和式(3.4-10)应相等，即

我们将在第十三章对贝塞尔函数的性质进行详细地讨论。其中展开系数被称为n

阶贝塞尔级数(函数)。3.5孤立奇点的分类3.5孤立奇点的分类在上一节介绍洛朗级数展开时曾提到过一个函数的孤立奇点的概念。现在进一步阐述这一概念。若函数

f(z)在某点z0

不可导，而在z0

的任意小邻域内除z0

外处处可导，则称z0

为函数

f(z)的孤立奇点。若在z0

点的无论多么小的邻域内总能找到除z0

以外的不可导的点，则称z0

为函数

f(z)的非孤立奇点。

根据洛朗级数的展开形式，有如下三种类型的孤立奇点：(1)若在

f(z)的洛朗级数中没有负幂项部分，则称z0

为

f(z)的可去奇点。(2)若在

f(z)的洛朗级数中有有限个负幂项部分，则称z0

为

f(z)的极点。(3)若在

f(z)的洛朗级数中有无穷多个负幂项部分，则称z0

为

f(z)的本性