数学物理方法 课件 05傅里叶变换

目录第5章

傅里叶变换

5.1傅里叶级数5.2傅里叶积分变换5.3傅里叶变换的性质5.4δ

函数第1篇复变函数及应用5.1傅里叶级数1.实数形式的傅里叶级数设

f(x)是一个以2l为周期的函数，即则可以把它展开成如下形式的傅里叶级数利用三角函数系的正交性1.实数形式的傅里叶级数其中符号δn，m

的定义为可以得到式(5.1-2)中的傅里叶展开系数为如果l是一个具有长度量纲的物理量，则式(5.1-2)就是周期函数

f(x)按空间变量x

展开的傅里叶级数。引入波数则可以将式(5.1-2)改写为1.实数形式的傅里叶级数对应的展开系数则变为以后将看到，在研究有限长度细杆的振动或热传导等问题时，通常使用由式(5.1-2)或式(5.1-8)式给出的傅里叶级数展开。如果令ω=π/l，t=x，则式(5.1-2)变为其中ωn=nω，展开系数为1.实数形式的傅里叶级数T=2π/ω

为周期。这样，可以把

f(t)看成是一个随时间变化的周期函数，式(5.1-12)为该函数的傅里叶级数展开。由此可以看出，任何一个随时间周期性变化的信号(如方波、锯齿波等)都可以分解(变换)成直流、基波及高次谐波成分之和。

其中展开系数为这样，可以把式(5.1-16)看成以2π为周期的函数

f(θ)的傅里叶级数展开。1.实数形式的傅里叶级数将图5-1所示的锯齿函数展开成傅里叶级数。解：根据式(5.1-4)~式(5.1-6)，可以求出展开系数为这样有2.复数形式的傅里叶级数也可以把一个周期性变化的函数展开成复数形式的傅里叶级数。选取复指数函数族φn(x)=einπx/l

(n=0，±1，±2，…)为基函数族，则可以把一个变化周期为2l的函数

f(x)表示为其中kn=nπ/l为波数。利用基函数族的正交性，则展开系数为尽管

f(x)为实数，但其傅里叶展开系数有可能是复数。无论是实数形式的，还是复数形式的傅里叶级数展开，它们只适用于函数

f(x)在有限区域中的展开。在这种情况下，展开式中的波数kn

或频率ωn

取值是不连续的，即n=0，1，2，…(实数形式的展开)或n=0，±1，±2，…(复数形式的展开)。在量子力学中，将会看到：如果微观粒子在有界区域中运动，其动量(与波数对应)及能量(与频率对应)的取值将是不连续的。5.2傅里叶积分变换1.实数形式的傅里叶积分变换

其中其中式(5.2-1)即为实数形式的傅里叶变换式，A(k)和B(k)为傅里叶变换的系数。证明：根据上一节介绍的傅里叶级数展开式(5.1-8)1.实数形式的傅里叶积分变换

式(5.2-4)右边的余弦部分为其中把对n

的求和变成了对k

的积分。同理，式(5.2-4)右边的正弦部分为1.实数形式的傅里叶积分变换这样在l→∞时，式(5.2-4)就变为了式(5.2-1)。物理上，通常视x

为空间变量，f(x)是一个随空间变量x

变化的非周期函数，则式(5.2-1)被视为空间上的傅里叶变换，k

为波数。同样，如果

f(t)是一个随时间变量t变化的非周期函数，则有如下傅里叶变换其中通常称A(ω)和B(ω)为谱函数，ω

为圆频率。傅里叶积分变换与傅里叶级数展开最大的区别是物理量变化区域的不同。

对于前者，物理量的变化区域是无界的，对应的波数或频率的取值是连续的；而对于后者，物理量的变化区域是有界的，对应的波数或频率的取值则是离散的。1.实数形式的傅里叶积分变换讨论矩形脉冲函数的傅里叶积分变换，其中T为脉冲半宽度。解：由于f(t)是偶函数，则这样，由式(5.2-5)得到特别是当t=0及T=1时，可以得到这与前面用留数定理得到的结果一致，见式(4.4-4)。2.复数形式的傅里叶变换在许多情形下，复数形式的傅里叶积分变换比实数形式的傅里叶积分变换使用起来更为方便。利用欧拉公式则可以将式(5.2-1)改写为将上式右边第二项积分中的k换成-k，并利用A(-k)=A(k)及B(-k)=-B(k)，则得到即2.复数形式的傅里叶变换其中式(5.2-8)及式(5.2-9)就是函数

f(x)的复数形式的傅里叶变换关系式。通常称

f(x)是原函数，式(5.2-8)为正变换，其变换的核为eikx；称F(k)为像函数，式(5.2-9)为逆变换，其变换的核为e-ikx

。习惯上，通常认为式(5.2-8)和式(5.2-9)是关于空间变量x

的傅里叶变换，k是波数。而对于时间变量t的傅里叶变换，通常表示为2.复数形式的傅里叶变换其中ω

为圆频率。可以看出，与式(5.2-8)和式(5.2-9)不同的是：在正变换中核为e-iωt，而在逆变换中核则为eiωt

。如果一个物理量

f(x，t)既是空间变量x

的函数，又是时间变量t的函数，则可以将它的傅里叶变换式写为其中像函数为更一般地，如果

f(r，t)是一个在三维无界空间中随时间变化的函数，则它的傅里叶变换式为其中r

=xex+yey+zez

是三维空间中的位置矢量，k

=kxex+kyey+kzez

是三维空间中的波矢量，且dr=dxdydz

及dk=dkxdkydkz。2.复数形式的傅里叶变换

解：根据式(5.2-9)，有再利用已知的积分结果[见式(4.4-8)]则可以得到在量子力学中将会看到，函数

f(x)相当于一维谐振子在坐标空间中的基态波函数，而F(k)则为谐振子在动量空间中的波函数。当a

较大时，它在坐标空间中的分布

f(x)较窄，而在动量空间中的分布则较宽。这与量子力学中所谓的“测不准关系”相对应。2.复数形式的傅里叶变换

解：根据式(5.2-9)，则有将这个结果代入正变换式(5.2-8)中，则有即有这与用留数定理得到的结果是一致的。2.复数形式的傅里叶变换

解：根据三维傅里叶变换，则有在球坐标系中，选取k

的方向沿z

轴，并利用则得到

5.3傅里叶变换的性质5.3傅里叶变换的性质傅里叶积分变换有一些基本的性质。利用这些性质，可以简化一些实际问题的傅里叶积分变换过程。为了便于书写，我们将一维傅里叶积分变换简记为其中

f(x)为原函数，F(k)为像函数，符号“⇌”表示两者之间的变换。1.线性定理设f1(x)及f2(x)分别为两个原函数，它们对应的像函数分别为F1(k)及F2(k)，则有其中α，β

为常数。直接从傅里叶积分变换式(5.3-1)出发，就可以得到这个定理。5.3傅里叶变换的性质2.导数定理

Ⅰ函数

f(x)的n阶导数

f(n)(x)对应的傅里叶积分变换为其中要求

f(n-1)(x)|x=±∞=0。证明：根据式(5.3-2)，则有即类似的，可以得到5.3傅里叶变换的性质3.导数定理

Ⅱ其中F(n)(k)是F(k)的n

阶导数。证明：由傅里叶积分变换式则有即5.3傅里叶变换的性质4.积分定理

由导数定理得到其中Φ(k)是φ(x)的像函数。利用

f(x)⇌F(k)，则有即得到5.3傅里叶变换的性质5.相似性定理其中a

为常数。6.延迟定理其中a

为常数。7.位移定理其中k0

为常数。8.卷积定理定义函数

f1(x)和

f2(x)的卷积为则它的傅里叶积分变换为其中F1(k)和F2(k)分别是函数

f1(x)和

f2(x)的像函数。5.3傅里叶变换的性质证明：由傅里叶积分变换式(5.3-2)，有再令y=x-η，则有证毕。5.4δ

函数1.δ

函数的定义在物理学中，通常要研究一个物理量在空间或时间中的分布，如质量密度、电荷密度或单位时间上的受力等。但为了简化描述，通常采用一些“点”模型，如质点、点电荷及脉冲力等，它们在空间上或时间上都不是连续分布的，而是集中于空间某一点或某一时刻。考虑一质量为m，长度为l的匀质细杆，且其中心位于坐标的原点x=0处，则细杆的线质量密度分布为其质量为当细杆的长度无限小时，即l→0，这时细杆则趋向于一个质点，其质量仍为

m，即式(5.4-2)仍成立，但其质量密度分布为由此可以看出，一个质点的质量密度分布：在x=0点处为无限大；在x≠0处为零。它的积分为m。1.δ

函数的定义为了描述这些质点和点电荷的空间分布，或脉冲力的瞬时分布，在物理学中可引入一个所谓的δ

函数来描述，其定义式为这表明δ函数的分布是无限窄，且当x

→x0

时它的值趋于无限大，见图5-2。δ

函数的这种特征明显不同于常规的函数，但要求它的积分是有限的，即这说明δ

函数的确切含义应在积分运算下来理解。δ

函数最初是由物理学家狄拉克(Dirac)引入的，它在物理学中有着广泛地应用。借助于δ

函数，就可以描述质点的质量密度分布，点电荷的电荷密度分布，以及脉冲力的瞬时分布等。如一个质量为m

且位于x0

点的质点的质量分布为mδ(x-x0)，一个电荷量为Q

且位于x0

点的点电荷的电荷密度分布为Qδ(x-x0)，以及在t0

时刻出现的脉冲力为Kδ(t-t0)，其中K

为冲量。在三维情况下，类似地有三维的δ函数可以用一维δ函数的乘积来表示，即这样有2.δ函数的性质(1)δ(x)函数是偶函数，它的导数则是奇函数，即(2)可以用阶跃函数来表示δ(x)函数，即2.δ函数的性质这是因为(3)δ(x)函数具有挑选性，即其中

f(x)是[-∞，∞]区间中的连续函数。由此，有(4)若φ(x)=0的实根为xk(k=1，2，…)，且全为单根，则3.δ

函数的辅助函数

很容易验证，它们都符合

δ(x)函数的上述两个特征。4.δ

函数的傅里叶变换根据前面介绍过的傅里叶积分变换，可以将δ函数表示为其中傅里叶变换为这样，δ

函数的傅里叶积分为同样，对于三维情况，δ

函数的傅里叶积分为利用δ

函数的傅里叶积分式，很容易推导出它的广义函数表示式(5.4-16)。令k

→∞，则4.δ

函数的傅里叶变换求函数sinax

和cosax

的傅里叶变换，其中a

是实常数。解：由傅里叶积分变换，有严格地讲，函数sinax

和cosax并不满足绝对可积条件，但利用δ函数的定义，可以计算出它们的傅里叶变换式。4.δ

函数的傅里叶变换

解：根据傅里叶变换，有在球坐标系中，选取k

的方向沿z

轴，并利用则可以得到可见，对于三维傅里叶变换，有如下变换关系成立这个变换关系很重要，我们将在第十章中讨论积分变换法时用到。4.