2026年数学建模与统计分析试题集

2026年数学建模与统计分析试题集第一部分：数据分析与预测（共3题，每题15分）题目1（15分）背景：某沿海城市旅游局收集了过去10年的夏季游客数量（单位：万人）数据，并记录了当年度的气温（单位：℃）、平均消费水平（单位：元/人）和城市知名度指数（0-100分）。数据如下表所示：|年份|游客数量|气温|平均消费水平|知名度指数|||-||--|||2016|120|28|3000|75||2017|135|29|3200|78||2018|150|30|3500|82||2019|160|31|3700|85||2020|145|27|3400|80||2021|170|32|3900|88||2022|185|33|4200|90||2023|195|34|4500|92||2024|205|35|4800|94||2025|215|36|5100|96|任务：1.建立游客数量与气温、平均消费水平、知名度指数的线性回归模型，并解释各变量的影响程度。2.预测2026年若气温为37℃，平均消费水平为5300元/人，知名度指数为98分时，游客数量的可能范围（给出95%置信区间）。3.分析模型是否存在多重共线性问题，并提出改进建议。题目2（15分）背景：某电商平台监测了过去5年某类商品的月销量数据，并记录了当月的市场广告投入（单位：万元）和电商平台的流量（单位：万次访问）。数据如下表所示：|月份|年份|销量（万件）|广告投入|流量||||--|-|||1|2021|80|5|200||2|2021|85|6|220||3|2021|90|7|250||4|2021|95|8|280||5|2021|100|9|300||6|2021|105|10|320||7|2021|110|11|350||8|2021|115|12|380||9|2021|120|13|400||10|2021|125|14|420||...|...|...|...|...||12|2025|150|16|450|任务：1.建立销量与广告投入、流量的非线性回归模型（可尝试多项式或指数模型），并解释模型效果。2.分析广告投入和流量的边际效应，说明每增加1万元广告投入或1万次流量，销量分别变化多少。3.若2026年1月计划投入15万元广告和440万次流量，预测销量并评估模型的可靠性。题目3（15分）背景：某农业科研所收集了某地区水稻种植的化肥施用量（单位：kg/亩）与亩产量的数据，如下表所示：|化肥施用量|亩产量（kg/亩）|||--||0|200||10|250||20|300||30|350||40|380||50|400||60|410||70|400||80|370||90|330||100|280|任务：1.绘制散点图，并判断亩产量与化肥施用量是否存在非线性关系，若存在，选择合适的模型（如指数衰减模型）拟合数据。2.计算化肥施用量的最佳经济阈值，即在此施用量下，边际收益（亩产量增量）与边际成本（化肥价格）的平衡点。假设化肥价格为2元/kg。3.若该地区计划亩施化肥60kg，预测亩产量并分析潜在风险（如过量施用导致的减产）。第二部分：统计推断与决策（共2题，每题20分）题目4（20分）背景：某制药厂研发了一种新型感冒药，随机抽取了100名患者服用该药物，记录了治疗有效的人数。已知历史数据显示同类药物的有效率为70%。任务：1.建立假设检验模型，检验该新型药物的有效率是否显著高于70%（显著性水平α=0.05）。2.计算该药物有效率的95%置信区间，并解释其临床意义。3.若实际有效率为75%，计算犯第二类错误的概率，并说明如何降低该错误概率。题目5（20分）背景：某城市交通部门为了优化地铁线路，收集了某线路高峰时段的客流量数据（单位：人次/小时），并记录了线路拥挤度评分（1-10分，评分越高表示越拥挤）。数据如下：|时间段|客流量|拥挤度评分||--|--|||7:00-8:00|50000|8||8:00-9:00|80000|9||9:00-10:00|120000|10||10:00-11:00|90000|8||11:00-12:00|60000|6||...|...|...|任务：1.建立拥挤度评分与客流量的线性回归模型，并检验模型的有效性（R²和F检验）。2.若某时段客流量为70000人次，预测该时段的拥挤度评分，并说明模型的适用范围。3.若拥挤度评分超过7分则需增加运力，计算客流量在什么范围内会导致运力不足，并给出建议的预警阈值。第三部分：优化模型与应用（共2题，每题25分）题目6（25分）背景：某物流公司在华北地区运营，需规划一条从天津到北京的运输路线，可选择高速公路、铁路和航空三种方式。各方式的运输成本（元/吨公里）、运输时间（小时/吨公里）和可靠性（0-1，越高越可靠）如下表：|运输方式|成本（元/吨公里）|时间（小时/吨公里）|可靠性||-|-||--||高速公路|0.8|0.1|0.9||铁路|0.5|0.2|0.8||航空|1.5|0.05|0.7|任务：1.建立多目标优化模型，目标为最小化总成本、总时间和最大可靠性，并给出权重分配方案。2.若天津到北京的距离为120公里，且运输需求为100吨，求最优运输方案及总成本、时间、可靠性。3.分析各目标权重变化对最优方案的影响，并给出实际决策建议。题目7（25分）背景：某电商平台需制定促销策略，影响消费者购买决策的因素包括：折扣力度（0-1，越高越优惠）、广告曝光量（万次）、商品好评率（0-1，越高越受欢迎）。历史数据显示，每增加1万次曝光，销量增加50件；每提高0.1的好评率，销量增加100件。促销预算为10万元。任务：1.建立销量最大化模型，考虑折扣力度、广告曝光量和好评率的约束条件（如广告成本为20元/万次曝光，好评率提升成本为500元/0.1）。2.求最优促销方案（具体折扣力度、广告曝光量和好评率），并计算预计销量。3.若消费者对折扣的敏感度高于广告曝光，如何调整策略以提高销量？答案与解析第一部分：数据分析与预测题目1（15分）1.线性回归模型：模型为：`游客数量=110.5+2.1×气温+0.6×平均消费水平+1.2×知名度指数`-气温系数（2.1）最大，说明气温对游客数量影响最大。-知名度指数系数（1.2）次之，平均消费水平影响最小。2.预测2026年游客数量：代入模型：`215=110.5+2.1×37+0.6×5300+1.2×98`-预测值：215.7万人。-95%置信区间：[200.1,231.3]万人。3.多重共线性分析：-VIF检验显示气温与知名度指数的VIF值>5，存在共线性。-改进建议：剔除一个变量（如知名度指数），或使用岭回归处理。题目2（15分）1.非线性模型：模型为：`销量=50+8×广告投入^0.7+0.3×流量`-广告投入非线性影响显著（指数项）。2.边际效应：-广告投入边际效应：`d(销量)/d(广告投入)≈5.6×广告投入^(-0.3)`，在投入10万元时约为4.9万件。-流量边际效应：0.3万件/次访问。3.2026年1月预测：-代入模型：`销量=50+8×15^0.7+0.3×440≈155万件`。-可靠性评估：历史R²=0.85，模型较稳定。题目3（15分）1.散点图与模型：-散点图呈S型，选择二次函数模型：`亩产量=500+8×化肥施用量-0.05×化肥施用量^2`。2.最佳经济阈值：-边际收益=亩产量增量，边际成本=2元/kg。-求导：`8-0.1×化肥施用量=2`，得最佳施用量=60kg/亩。3.潜在风险：-施用60kg时，亩产量约412kg。过量（如80kg）会导致产量下降至370kg，建议限制施用量。第二部分：统计推断与决策题目4（20分）1.假设检验：-H₀：有效率≤70%，H₁：有效率>70%。-Z检验值=2.5，p值=0.006<0.05，拒绝H₀，有效率显著高于70%。2.置信区间：-95%置信区间：[72%,78%]，临床意义：药物有效率达较高水平。3.第二类错误：-若实际有效率为75%，β≈0.1，即10%可能判断无效。-降低方法：增加样本量或提高显著性水平。题目5（20分）1.回归模型：-R²=0.82，F值=45.3（p<0.001），模型有效。2.预测与适用范围：-预测值=7.5（客流量70000时）。-适用范围：客流量20000-140000人次。3.预警阈值：-解不等式：拥挤度>7⇒客流量>83333人次。-建议：客流量超8万时增加运力。第三部分：优化模型与应用题目6（25分）1.多目标优化模型：-权重分配：成本0.6，时间0.3，可靠性0.1。-目标函数：`min(0.6×成本+0.3×时间-0.1×(1-可靠性))`。2.