2026年大学统计学期末考试题库-数据分析计算题解析与答案

2026年大学统计学期末考试题库——数据分析计算题解析与答案1.某高校随机抽取120名本科生，记录其每日平均学习时间（单位：分钟）与期末GPA。已知：∑x=10800，∑y=384，∑x²=1080000，∑y²=1248，∑xy=35640。（1）计算样本相关系数r，并检验H₀：ρ=0（α=0.05）。（2）建立GPA关于学习时间的简单线性回归方程，并解释斜率含义。（3）若某生日均学习150min，预测其GPA并给出95%置信区间。（4）计算决定系数R²，并说明其意义。解：（1）x̄=10800/120=90，ȳ=384/120=3.2。Sxx=∑x²–nx̄²=1080000–120×90²=108000，Syy=∑y²–nȳ²=1248–120×3.2²=19.2，Sxy=∑xy–nx̄ȳ=35640–120×90×3.2=1080。r=Sxy/√(SxxSyy)=1080/√(108000×19.2)=0.750。检验统计量t=r√(n–2)/√(1–r²)=0.750√118/√(1–0.75²)=12.47。双侧临界值t₀.₀₂₅,118≈1.98，|t|>1.98，拒绝H₀，线性相关显著。（2）β̂₁=Sxy/Sxx=1080/108000=0.010，β̂₀=ȳ–β̂₁x̄=3.2–0.010×90=2.30。回归方程ŷ=2.30+0.010x。斜率0.010表示日均学习时间每增加1分钟，GPA平均提高0.010分。（3）x₀=150，ŷ₀=2.30+0.010×150=3.80。残差标准误s=√[(Syy–β̂₁Sxy)/(n–2)]=√[(19.2–0.010×1080)/118]=0.316。标准误预测均值sŷ=s√[1/n+(x₀–x̄)²/Sxx]=0.316√[1/120+60²/108000]=0.058。95%置信区间3.80±1.98×0.058=[3.69,3.91]。（4）R²=r²=0.750²=0.562，即56.2%的GPA变异可由学习时间解释。2.某市交通部门记录8个路口改造前后高峰小时车流量（辆/小时）：改造前：420,380,450,390,410,370,400,430；改造后：380,360,420,370,390,350,380,410。假设差值服从正态分布，检验改造是否显著降低车流量（α=0.05），并计算平均减少量的95%置信区间。解：差值d=前–后：40,20,30,20,20,20,20,20。d̄=23.75，s_d=7.07，n=8。t=d̄/(s_d/√n)=23.75/(7.07/√8)=9.49。单侧临界值t₀.₀₅,7=1.895，t>1.895，拒绝H₀，改造显著降低流量。95%置信区间d̄±t₀.₀₂₅,7×s_d/√n=23.75±2.365×7.07/√8=[17.8,29.7]辆/小时。3.某电商平台随机抽取15份订单，记录优惠金额（元）与顾客评分（1–5星）：优惠额：0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70；评分：3.2,3.0,3.5,3.7,3.9,4.0,4.2,4.3,4.5,4.6,4.7,4.8,4.8,4.9,5.0。拟合二次模型Score=β₀+β₁Discount+β₂Discount²+ε。（1）写出设计矩阵X与响应向量y。（2）用最小二乘求参数估计β̂=(XᵀX)⁻¹Xᵀy。（3）检验二次项是否显著（α=0.05）。（4）计算优惠38元时的预测评分及95%预测区间。解：（1）X为15×3矩阵，第1列全1，第2列为优惠额，第3列为优惠额平方；y=(3.2,3.0,…,5.0)ᵀ。（2）经计算：XᵀX=⎡1552522750⎤⎢525227501086375⎥⎣22750108637556875000⎦，Xᵀy=[63.9,2456.5,109637.5]ᵀ。求逆得(XᵀX)⁻¹，乘得β̂=[3.018,0.0412,–0.000355]ᵀ。拟合方程ŷ=3.018+0.0412x–0.000355x²。（3）全模型SSE_full=0.0945，简化模型（无二次项）SSE_red=0.3184。F=[(0.3184–0.0945)/1]/(0.0945/12)=28.4>F₀.₀₅,1,12=4.75，二次项显著。（4）x₀=38，ŷ₀=3.018+0.0412×38–0.000355×38²=4.51。预测标准误s_pred=√[MSE(1+x₀ᵀ(XᵀX)⁻¹x₀)]=0.128。95%预测区间4.51±2.179×0.128=[4.23,4.79]。4.某制药公司比较三种降压药A、B、C的收缩压降低值（mmHg），各药随机分配10名患者，数据：A：12,15,9,10,8,13,14,11,12,10；B：18,16,20,17,19,21,15,18,17,19；C：14,16,13,15,17,12,14,15,16,14。单因素方差分析（α=0.05），若显著则进行Tukey多重比较。解：组均值x̄_A=11.4，x̄_B=18.0，x̄_C=14.6，总均值=14.67。SSA=10[(11.4–14.67)²+(18.0–14.67)²+(14.6–14.67)²]=220.27，SSE=∑(x_ij–x̄_i)²=34.4+30.0+22.4=86.8。F=(SSA/2)/(SSE/27)=110.13/3.21=34.3>F₀.₀₅,2,27=3.35，拒绝H₀。TukeyHSD：q₀.₀₅,3,27=3.51，标准误=√(MSE/n)=√(3.21/10)=0.566。HSD=3.51×0.566=1.99。均值差：B–A=6.6，C–A=3.2，B–C=3.4（表示显著）。结论：B降压效果最佳，C次之，A最差。5.某银行审核1000份信用卡申请，建立逻辑回归预测违约（1=违约，0=正常），自变量：年龄、年收入（万元）、负债比、信用卡张数。输出部分结果：系数估计：β₀=–4.2，β_age=–0.05，β_income=–0.20，β_debt=2.1，β_cards=0.15。协变量矩阵(XᵀX)⁻¹对角线：0.012,0.008,0.005,0.003,0.002。（1）写出违约概率表达式。（2）计算30岁、年收入8万元、负债比0.3、持卡2张的违约概率。（3）检验负债比系数是否显著（α=0.05）。（4）计算负债比OR的95%置信区间并解释。解：（1）logit(p)=–4.2–0.05Age–0.20Income+2.1Debt+0.15Cards。（2）线性预测η=–4.2–0.05×30–0.20×8+2.1×0.3+0.15×2=–6.17。p=e^η/(1+e^η)=0.0021，即0.21%。（3）z=β_debt/SE=2.1/√0.005=29.7>1.96，显著。（4）OR=e^{2.1}=8.17，95%CI：e^{2.1±1.96√0.005}=[7.35,9.08]。解释：负债比每增加0.1，违约odds增加约8.17倍，置信区间不含1，效应显著。6.某气象站记录60年逐年降水量（mm），样本均值580，标准差120。检验H₀：总体中位数=600，用符号检验（α=0.05）。解：记X>600为“+”，X<600为“–”，观测得34个“+”，26个“–”。在H₀下，+号数~Binomial(n=60,p=0.5)。正态近似：z=(34–30)/√(60×0.5×0.5)=4/3.873=1.03。双侧p=2×P(Z>1.03)=0.30>0.05，不拒绝H₀，无充分证据表明中位数偏离600mm。7.某连锁超市20家门店，收集月销售额y（万元）、面积x₁（百m²）、促销费x₂（万元）、距市中心距离x₃（km）。拟合多元线性回归，结果：β̂=(5.2,1.30,0.75,–0.20)ᵀ，MSE=0.64，R²=0.83。（1）写出回归方程。（2）检验整体显著性（α=0.05）。（3）计算x₁偏回归系数的95%置信区间。（4）若某店面积3百m²、促销费2万元、距离5km，预测销售额并给出95%预测区间。解：（1）ŷ=5.2+1.30x₁+0.75x₂–0.20x₃。（2）F=(R²/k)/[(1–R²)/(n–k–1)]=(0.83/3)/(0.17/16)=26.0>F₀.₀₅,3,16=3.24，整体显著。（3）需(XᵀX)⁻₁对应元素，假设为0.018，则CI：1.30±2.12√(0.64×0.018)=[1.16,1.44]。（4）x₀=(1,3,2,5)，ŷ₀=5.2+1.30×3+0.75×2–0.20×5=10.1。s_pred=√[MSE(1+x₀ᵀ(XᵀX)⁻¹x₀)]=0.92。95%预测区间10.1±2.12×0.92=[8.15,12.05]万元。8.某工厂质检每隔半小时抽取5件产品，共20组，测得不合格品数：3,2,4,1,2,0,3,2,1,2,3,4,2,1,0,2,3,2,1,2。构建p控制图，判断过程是否受控（α=0.0027）。解：总不合格40件，总检验100件，平均不合格率p̄=0.40。UCL=p̄+3√[p̄(1–p̄)/n]=0.40+3√(0.24/5)=1.06（取1因比例≤1），LCL=max(0,0.40–0.66)=0。所有点均在[0,1]内，无超出，过程受控。9.某高校调查400名毕业生，记录性别与是否考研：男180人，考研108；女220人，考研154。检验性别与考研是否独立（α=0.05），并计算Cramér’sV。解：列联表：考研不考合计男10872180女15466220合计262138400χ²=400(108×66–72×154)²/(180×220×262×138)=3.84。临界值χ²₀.₀₅,1=3.84，p≈0.050，恰好处于边界，谨慎认为关联微弱。Cramér’sV=√(χ²/n(min(r–1,c–1)))=√(3.84/400)=0.098，小效应。10.某实验室测量反应时间（秒）服从指数分布，随机样本n=25，∑x=50。检验H₀：λ=1（α=0.05），并计算λ的95%置信区间。解：指数分布均值μ=1/λ，样本均值x̄=2。似然比检验：Λ=2[25ln(1/2)–25+25×2]=2[–17.33–25+50]=15.34>χ²₀.₀₅,1=3.84，拒绝H₀。置信区间基于χ²：2nx̄/χ²₀.₀₂₅,2n=100/64.2=1.56，2nx̄/χ²₀.₉₇₅,2n=100/39.4=2.54。故λ∈[0.39,0.64]（因λ=1/μ）。11.某游戏公司A/B测试两种登录界面，旧界面1000用户，三日留存420；新界面1200用户，留存528。检验新界面留存率是否更高（α=0.01），并计算差异的99%置信区间。解：p̂₁=0.42，p̂₂=0.44，合并p̂=(420+528)/2200=0.431。z=(0.44–0.42)/√[0.431×0.569×(1/1000+1/1200)]=0.02/0.0208=0.96。单侧p=0.17>0.01，不拒绝H₀。99%CI：(0.44–0.42)±2.33×0.0208=[–0.028,0.068]，含0，与检验一致。12.某研究机构测得12名志愿者摄入某营养素后血糖变化（mg/dL）：5,8,–2,6,10,3,7,4,9,1,6,5。假设差值服从正态分布，检验平均变化是否大于0（α=0.05），并计算功效（真实均值=4，σ=3）。解：d̄=5.17，s=3.25，n=12。t=5.17/(3.25/√12)=5.50>t₀.₀₅,11=1.796，拒绝H₀，显著升高。功效：非中心参数δ=4/(3/√12)=4.62，临界t=1.796，power=P(T’>1.796)≈0.98（查非中心t表）。13.某城市50个社区记录年均PM2.5（μg/m³）与肺癌发病率（每万人）：r=0.68，x̄=45，ȳ=32，Sxx=2000，Syy=1100。（1）建立回归方程预测发病率。（2）若某社区PM2.5为50，预测发病率及95%置信区间。（3）计算Spearman秩相关，数据无结，给出检验结果。解：（1）β̂₁=r√(Syy/Sxx)=0.68√(1100/2000)=0.503，β̂₀=32–0.503×45=9.37。ŷ=9.37+0.503x。（2）x₀=50，ŷ₀=9.37+0.503×50=34.5。s=√[(Syy–β̂₁²Sxx)/(n–2)]=√(286/48)=2.44。sŷ=2.44√[1/50+(50–45)²/2000]=0.39。95%CI：34.5±2.01×0.39=[33.7,35.3]/万人。（3）Spearmanrs=0.67，检验z=rs√(n–1)=0.67×7=4.69>1.96，显著。14.某电商平台2025年1月至12月销售额（百万元）：26,28,31,29,33,35,38,40,37,39,42,45。拟合线性趋势y=β₀+β₁t+ε，t=1,…,12。（1）求β̂₀,β̂₁。（2）预测2026年4月销售额并给出95%预测区间。（3）计算Durbin-Watson统计量并检验自相关（α=0.05）。解：（1）t̄=6.5，ȳ=35.25，Stt=143，Sty=183.5。β̂₁=183.5/143=1.28，β̂₀=35.25–1.28×6.5=26.9。ŷ=26.9+1.28t。（2）t₀=16，ŷ₀=26.9+1.28×16=47.4。s=√[(Syy–β̂₁Sty)/(n–2)]=√(192.2–234.9)/10，修正SSE=42.7，s=2.07。s_pred=2.07√[1+1/12+(16–6.5)²/143]=2.68。95%预测区间47.4±2.228×2.68=[41.4,53.4]百万元。（3）DW=∑(e_t–e_{t–1})²/∑e_t²=28.4/42.7=0.67。查表d_L=0.97，d_U=1.30，0.67<d_L，存在正自相关。15.某高校随机调查300名本科生，记录月生活费y（元）、家庭收入x₁（千元）、性别x₂（1=男，0=女）。拟合交互模型y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₁x₂+ε，结果：β̂=(800,120,–150,30)ᵀ，MSE=40000，n=300。（1）写出男女各自的回归方程。（2）检验交互项是否显著（α=0.05）。（3）计算家庭收入8千元时男女平均生活费差异的95%置信区间。解：（1）男：x₂=1，ŷ=(800–150)+(120+30)x₁=650+150x₁；女：x₂=0，ŷ=800+120x₁。（2）需(XᵀX)⁻¹对应元素，假设SE(β̂₃)=12，则t=30/12=2.5>1.96，显著。（3）差异=(650+150×8)–(800+120×8)=1850–1760=90元。Var(diff)=Var(β̂₂+8β̂₃)=Var(β̂₂)+64Var(β̂₃)+16Cov(β̂₂,β̂₃)。假设估算得SE=28，则95%CI：90±1.96×28=[35,145]元。16.某生物实验比较三种培养基对细胞增殖倍数：基A：8次重复，均值3.2，方差0.36；基B：10次，均值4.1，方差0.49；基C：9次，均值3.8，方差0.64。单因素ANOVA（α=0.05），若显著用Bonferroni比较。解：总均值=(8×3.2+10×4.1+9×3.8)/27=3.73。SSA=8(3.2–3.73)²+10(4.1–3.73)²+9(3.8–3.73)²=3.46，SSE=7×0.36+9×0.49+8×0.64=13.79。F=(3.46/2)/(13.79/24)=3.01>F₀.₀₅,2,24=3.40，不显著。Bonferroni无需进行。17.某金融公司建立泊松回归预测每日投诉电话数，暴露变量为日交易量（万笔），系数β̂=0.008（SE=0.002）。（1）解释系数含义。（2）检验β>0（α=0.01）。（3）交易量500万笔时，预期投诉数及99%置信区间。解：（1）交易量每增加1万