2026年统计与数据分析基础期末考试题及答案

2026年统计与数据分析基础期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某电商平台随机抽取1000名用户，记录其过去30天的消费金额，发现平均值为580元，标准差为120元。若将消费金额按升序排列后取第25%与第75%位置的数据，下列说法正确的是A.第25%位置的数据一定小于580元B.第75%位置的数据一定大于580元C.若分布右偏，则第75%位置的数据与580元的差距大于第25%位置的数据与580元的差距D.若分布左偏，则第25%位置的数据与580元的差距大于第75%位置的数据与580元的差距答案：C解析：右偏分布中，右尾拉长，上四分位数与均值差距更大；左偏则相反。A、B错在“一定”，极端对称分布可能相等。2.对同一组数据分别计算样本方差s²与总体方差σ²，若样本量n=50，则A.s²=σ²B.s²<σ²C.s²>σ²D.无法确定大小关系答案：B解析：样本方差分母为n-1，总体方差分母为n，故s²是σ²的无偏估计，数值上s²略大，但题目问的是“计算值”，实际计算时若用同一组数据且把其视为样本，则s²>σ²；若把其视为总体，则σ²较小。严格说，s²是σ²的估计，计算值s²>σ²。3.在简单线性回归y=β₀+β₁x+ε中，若决定系数R²=0.81，则下列必然成立的是A.相关系数r=0.9B.回归系数β₁>0C.残差平方和占总平方和的19%D.解释变量x与误差ε独立答案：C解析：R²=SSR/SST=0.81，则SSE/SST=0.19。A错在r可为±0.9；B错在β₁符号未知；D错在ε与x独立是假设而非必然。4.设X~N(μ,σ²)，抽取n=16的样本，检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，显著性水平α=0.05。若真实均值为μ₁=μ₀+0.8σ，则该检验的功效约为A.0.30B.0.50C.0.70D.0.90答案：C解析：非中心参数δ=0.8σ/(σ/√16)=3.2，查t分布功效表，双侧α=0.05，df=15，δ=3.2对应功效约0.70。5.对某时间序列{yt}建立ARIMA(1,1,1)模型，(1−ϕB)(1−B)yt=(1+θB)εt，若样本PACF在滞后1阶后截尾，样本ACF呈指数衰减，则初步判断A.ϕ>0,θ<0B.ϕ<0,θ>0C.仅适合AR(1)D.需差分后再看答案：A解析：差分后ARMA(1,1)的PACF截尾于1阶，ACF指数衰减，符合ARMA(1,1)特征，通常ϕ>0,θ<0。6.使用K-means聚类时，若初始中心点选择不当，可能导致A.轮廓系数一定为负B.簇内平方和增大C.算法不收敛D.类簇个数自动减少答案：B解析：局部最优使簇内平方和增大；轮廓系数可能仍为正；算法必收敛；k固定。7.在贝叶斯估计中，若先验为Beta(2,2)，似然为二项分布Bin(n=10,k=7)，则后验均值为A.7/10B.8/12C.9/14D.7/12答案：C解析：Beta先验共轭，后验Beta(2+7,2+3)=Beta(9,5)，均值9/14。8.对高维数据p>n，使用Lasso回归而非岭回归的主要原因是A.Lasso可降维B.Lasso计算更快C.Lasso无偏D.Lasso对共线性更稳健答案：A解析：L₁正则使部分系数精确为0，实现变量选择，达到降维。9.若随机变量X的矩母函数MX(t)=(1−θt)^(−k)，则X的变异系数为A.1/√kB.√kC.1/kD.k答案：A解析：Gamma分布MGF，均值kθ，方差kθ²，变异系数√(kθ²)/(kθ)=1/√k。10.在Bootstrap置信区间构造中，采用BCa方法的主要目的是修正A.偏差与偏度B.峰度C.序列相关D.异方差答案：A解析：BCa即Bias-correctedandaccelerated，修正偏差与偏度。二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于主成分分析(PCA)的描述正确的有A.主成分方向是协方差矩阵特征向量B.第一主成分解释方差最大C.主成分得分间样本协方差为0D.标准化后再做PCA，结果与未标准化相同E.PCA可用于可视化高维数据答案：ABCE解析：D错，标准化后量纲统一，结果通常不同。12.在分类问题中，若类别极度不平衡，可行的策略有A.采用F1-score评估B.使用SMOTE过采样C.调整分类阈值D.直接采用准确率E.代价敏感学习答案：ABCE解析：D错，准确率在不平衡时误导。13.关于时间序列的平稳性，正确的有A.严平稳⇒弱平稳B.弱平稳要求均值恒定C.弱平稳要求方差有限D.协方差仅与时间间隔有关E.高斯过程弱平稳即严平稳答案：BCDE解析：A错，严平稳要求分布不变，弱平稳只要求二阶矩存在且不变，严平稳⇒弱平稳需二阶矩存在。14.下列属于非参数检验的有A.Mann-WhitneyUB.Kruskal-WallisC.Wilcoxon符号秩D.符号检验E.Anderson-Darling答案：ABCD解析：E属于拟合优度检验，虽非参数，但常用于分布检验，与位置检验不同。15.若线性模型y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，则下列服从χ²分布的有A.(n−p)s²/σ²B.β̂ᵀXᵀXβ̂/σ²C.(y−ȳ)ᵀ(y−ȳ)/σ²D.ε̂ᵀε̂/σ²E.(β̂−β)ᵀXᵀX(β̂−β)/σ²答案：ADE解析：A为残差平方和，df=n−p；D同A；E为二次型，df=p。B、C未中心化，非χ²。三、计算与证明题（共65分）16.（10分）设X₁,…,Xₙ独立同分布于Exp(λ)，即f(x)=λe^(−λx),x≥0。(1)求λ的矩估计λ̃；(2)求λ的最大似然估计λ̂；(3)证明λ̂是λ的相合估计；(4)构造λ的近似95%置信区间。答案与解析：(1)总体均值E[X]=1/λ，令样本均值X̄=1/λ̃，得λ̃=1/X̄。(2)似然函数L(λ)=λⁿexp(−λ∑Xᵢ)，对数似然l(λ)=nlnλ−λ∑Xᵢ，令导数为0得λ̂=n/∑Xᵢ=1/X̄。(3)由大数定律X̄→1/λa.s.，故λ̂=1/X̄→λa.s.，即相合。(4)由中心极限定理√n(X̄−1/λ)→N(0,1/λ²)，用Delta法，令g(x)=1/x，g′(x)=−1/x²，故√n(λ̂−λ)≈N(0,λ²)。以λ̂代λ，得95%置信区间λ̂±1.96λ̂/√n。17.（8分）某校欲评估在线学习平台效果，随机抽取50名学生，记录使用时长x(小时)与期末成绩y(分)，得∑xᵢ=1000，∑yᵢ=3750，∑xᵢ²=22000，∑yᵢ²=285000，∑xᵢyᵢ=77000。(1)求回归方程ŷ=β̂₀+β̂₁x；(2)检验H₀:β₁=0vsH₁:β₁≠0（α=0.05）；(3)若某生使用36小时，求其平均成绩的95%置信区间。答案：(1)n=50，x̄=20，ȳ=75，Sxx=22000−50×20²=2000，Sxy=77000−50×20×75=2000，β̂₁=1，β̂₀=75−1×20=55，回归方程ŷ=55+x。(2)SSE=∑y²−β̂₀∑y−β̂₁∑xy=285000−55×3750−1×77000=285000−206250−77000=1750，s²=SSE/(n−2)=1750/48=36.46，sβ̂₁=√(s²/Sxx)=√(36.46/2000)=0.135，t=1/0.135=7.41>2.01(t₀.₀₂₅,48)，拒绝H₀。(3)对x₀=36，ŷ₀=91，区间ŷ₀±t₀.₀₂₅,48·s√(1/n+(x₀−x̄)²/Sxx)=91±2.01×√36.46×√(0.02+0.128)=91±2.01×6.04×0.385≈91±4.7，即(86.3,95.7)。18.（9分）某城市连续60个月记录交通事故数，得样本均值λ̂=12.3，方差s²=18.5。鉴于方差明显大于均值，拟合负二项分布NB(r,p)。(1)用矩估计求r,p；(2)写出对数似然函数；(3)基于(1)的估计，求下个月事故数>15的概率。答案：(1)矩方程：E[X]=r(1−p)/p=12.3，Var[X]=r(1−p)/p²=18.5，两式相除得p=12.3/18.5=0.665，代回得r=12.3×0.665/(1−0.665)=24.4。(2)对数似然l(r,p)=∑[lnΓ(xᵢ+r)−lnΓ(r)−lnΓ(xᵢ+1)+rlnp+xᵢln(1−p)]。(3)P(X>15)=1−P(X≤15)=1−∑_{k=0}^{15}C(r+k−1,k)p^r(1−p)^k≈0.28（用软件计算）。19.（10分）设随机向量Z=(X,Y)ᵀ服从二维正态，均值μ=(0,0)ᵀ，协方差Σ=[[1,ρ],[ρ,1]]。(1)求条件分布X|Y=y；(2)求E[X²|Y=y]；(3)设ρ=0.6，生成n=1000样本，写出R代码绘制X与Y的散点图并叠加回归线；(4)证明Cov(X²,Y²)=2ρ²。答案：(1)X|Y=y~N(ρy,1−ρ²)。(2)E[X²|Y=y]=Var(X|Y=y)+[E(X|Y=y)]²=1−ρ²+ρ²y²。(3)代码：```rlibrary(ggplot2)rho<0.6n<1000Sigma<matrix(c(1,rho,rho,1),2,2)Z<MASS::mvrnorm(n,c(0,0),Sigma)df<data.frame(X=Z[,1],Y=Z[,2])ggplot(df,aes(X,Y))+geom_point(alpha=0.3)+geom_smooth(method="lm",se=FALSE)```(4)对标准二维正态，用矩公式E[X²Y²]=1+2ρ²，E[X²]=1，故Cov(X²,Y²)=E[X²Y²]−E[X²]E[Y²]=2ρ²。20.（8分）某工厂生产精密零件，要求长度μ=10mm，标准差σ≤0.05mm。现抽取n=9件，测得x̄=10.02，s=0.07。(1)检验H₀:σ²=0.0025vsH₁:σ²>0.0025（α=0.05）；(2)若真实σ=0.08，求检验功效；(3)若要功效在σ=0.08时达到0.90，求所需样本量。答案：(1)检验统计量χ²=(n−1)s²/σ₀²=8×0.0049/0.0025=15.68，临界值χ²₀.₀₅,8=15.51，15.68>15.51，拒绝H₀，认为标准差超标。(2)真实σ₁=0.08，非中心参数λ=(n−1)σ₁²/σ₀²=8×0.0064/0.0025=20.48，查表得功效≈0.78。(3)设功效0.90，λ需约28，即n−1=28×0.0025/0.0064≈10.9，取n=12。21.（10分）考虑贝叶斯线性回归y|β~N(Xβ,σ²I)，β的先验为N(0,τ²I)，σ²已知。(1)求β的后验分布；(2)证明后验均值可视为岭回归估计；(3)设p=2，X=[[1,1],[1,−1],[1,0]]ᵀ，y=[3,1,2]ᵀ，σ=1，τ=1，计算后验均值；(4)讨论τ→∞的极限。答案：(1)后验∝likelihood×prior∝exp(−1/(2σ²)||y−Xβ||²−1/(2τ²)||β||²)，故β|y~N(μₙ,Σₙ)，其中Σₙ=(XᵀX/σ²+I/τ²)^(−1)，μₙ=ΣₙXᵀy/σ²。(2)岭回归估计β̂=(XᵀX+λI)^(−1)Xᵀy，令λ=σ²/τ²，则μₙ=β̂。(3)XᵀX=[[3,0],[0,2]]，Xᵀy=[6,2]ᵀ，Σₙ=diag(1/(3+1),1/(2+1))=diag(0.25,0.333)，μₙ=[1.5,0.667]ᵀ。(4)τ→∞，λ→0，先验无信息，后验均值趋于最小二乘估计β̂_LS=[2,1]ᵀ。22.（10分）某航空公司记录旅客满意度评分(1~10)，同时收集航班延误分钟数d、舱位等级c(F/B/E)、航线距离s。建立有序Logit模型：logit[P(Y≤j)]=α_j−(β₁d+β₂s+β₃I(c=B)+β₄I(c=E)),j=1,…,9。R输出部分结果：α̂=(−3.1,−1.4,−0.2,0.8,1.9,3.0,4.2,5.5,7.1)，β̂₁=−0.05，β̂₂=0.003，β̂₃=−1.2，β̂₄=−2.0。(1)解释β̂₁含义；(2)计算舱位E相比F，满意度≥7的OR；(3)若d=60，s=1000，c=B，求P(Y≥8)；(4)检验H₀:β₃=β₄（α=0.05），已知协方差矩阵中Cov(β̂₃,β̂₄)=0.2，Var(β̂₃)=0.09，Var(β̂₄)=0.16。答案：(1)延误每增加1分钟，满意度≤j的对数优势减少0.05，即延误降低满意度。(2)OR=exp(−β̂₄)=exp(2.0)=7.39，即E舱满意度≥7的优势是F舱的1/7.39。(3)η=−0.05×60+0.003×1000−1.2=−3+3−1.2=−1.2，P(Y≥8)=1−P(Y≤7)=1−logistic(α₇−η)=1−logistic(5.5+1.2)=1−0.999=0.001。(4)设θ=β₃−β₄，θ̂=0.8，Var(θ̂)=0.09+0.16−2×0.2=0.05，z=0.8/√0.05=3.58>1.96，拒绝H₀。四、数据分析综合题（共20分）23.附件“retail.csv”包含2022−2025年某连锁零售商每日销售额、促销标识、节假日、天气评分、COVID指数。任务：(1)缺失值处理策略与实施代码；(2)建立预测模型，评估下月销售额，要求给出MAPE；(3)用SHAP解释促销对销售额的边际效应；(4)讨论COVID指数突变对模型稳健性的影响及改进方案；(5)写出生产部署的Pipeline伪代码。答案与解析：(1)策略：销售额缺失<0.5%用线性插值；天气评分缺失用KNN(k=5)基于地理位置、日期特征填补；COVID指数缺失用向前填充。代码：```pythonimportpandasaspd,numpyasnpfromsklearn.imputeimportKNNImputerdf=pd.read_csv('retail.csv')df['sales']=df['sales'].interpolate()im