广东省广州市2026届高三数学质检试题及答案(附带解析)

广东省广州市2026届高三数学质检试题及答案(附带解析)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一个选项符合题意．1．已知复数z满足z(1＋i)＝2－i，则复数z的虚部为A．－3/2B．－1/2C．1/2D．3/22．若函数f(x)＝ln(x²＋ax＋1)的定义域为R，则实数a的取值范围是A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞,－2)∪(2,＋∞)D．(－∞,－2]∪[2,＋∞)3．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,－1)，若向量a＋tb与向量a垂直，则实数t的值为A．－5B．－1C．1D．54．设等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₅＋a₇＝10，S₉＝45，则a₁的值为A．1B．3C．5D．75．已知函数f(x)＝x³－3x²＋4，则函数f(x)的极小值点为A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝36．若双曲线x²/a²－y²/b²＝1的离心率为√5，则其渐近线方程为A．y＝±(1/2)xB．y＝±2xC．y＝±(√5/2)xD．y＝±(2/√5)x7．已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，则λ的值为A．1B．2C．3D．48．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2，b＝3，cosC＝1/3，则c的值为A．√7B．√10C．√13D．√15二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．每题有两个或两个以上选项符合题意，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π/2)的部分图象如图所示（图略），则下列说法正确的是A．ω＝2B．φ＝π/6C．f(x)在(0,π/6)单调递增D．f(x)的图象关于点(π/3,0)对称10．设集合A＝{x|x²－4x＋3≤0}，B＝{x|x²－(a＋1)x＋a≤0}，若A⊆B，则实数a的可能取值为A．1B．2C．3D．411．已知函数f(x)＝eˣ－ax，若f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值可以为A．1/eB．1C．eD．e²12．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E、F分别为棱BB₁、CC₁的中点，则下列结论正确的是A．直线AE与平面A₁BD所成角的正弦值为√6/3B．直线AF与直线BD₁所成角的余弦值为√6/4C．平面AEF截正方体所得截面面积为3√2D．点B₁到平面AEF的距离为2√3/3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若(x＋1/x)ⁿ的展开式中x³项的系数为84，则n＝________．14．已知函数f(x)＝x²－2x＋3，若f(a)＝f(b)且a≠b，则a＋b＝________．15．已知抛物线y²＝4x的焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝________．16．已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋a|的最小值为3，则实数a的值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝2aₙ＋3(n∈N*)．（1）求证：数列{aₙ＋3}是等比数列；（2）求数列{aₙ}的通项公式；（3）设bₙ＝log₂(aₙ＋3)，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ．18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝3，c＝4，cosA＝1/8．（1）求a的值；（2）求sinB的值；（3）设点D在边BC上，且BD＝2DC，求AD的长．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，点E为PD的中点．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求二面角A－CE－D的余弦值；（3）求点B到平面ACE的距离．20．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有学生50人，其中男生30人，女生20人．现从中随机抽取5人参加数学竞赛．（1）求抽到的女生人数X的分布列与数学期望；（2）若抽到的5人中恰有2名女生，求这2名女生恰好相邻的概率；（3）若抽到的5人中女生人数不少于2人，求男生人数Y的分布列与方差．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²＋y²/b²＝1(a＞b＞0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点O，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标；（3）在（2）的条件下，求△OMN面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝eˣ－ax²－bx－1，其中a、b为实数．（1）若曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y＝x，求a、b的值；（2）当a＝1/2时，讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)在R上有三个零点，求a的取值范围．——————————答案与解析——————————一、单项选择题1．Bz＝(2－i)/(1＋i)＝[(2－i)(1－i)]/[(1＋i)(1－i)]＝(1－3i)/2，虚部为－3/2，选B．2．Ax²＋ax＋1＞0恒成立，Δ＝a²－4＜0，得－2＜a＜2，选A．3．A(a＋tb)·a＝0，|a|²＋t(a·b)＝5＋t(1×3＋2×(－1))＝5＋t＝0，t＝－5，选A．4．Ba₅＋a₇＝2a₆＝10⇒a₆＝5，S₉＝9a₅＝45⇒a₅＝5，公差d＝0，a₁＝a₅＝5，选C．5．Cf′(x)＝3x²－6x，令f′(x)＝0得x＝0或2，f″(2)＝6＞0，极小值点x＝2，选C．6．Be＝√5＝c/a，c²＝a²＋b²⇒5a²＝a²＋b²⇒b/a＝2，渐近线y＝±2x，选B．7．BP(X＝1)＝λe⁻λ，P(X＝2)＝λ²e⁻λ/2，令相等得λ＝2，选B．8．Ac²＝a²＋b²－2abcosC＝4＋9－2×2×3×1/3＝9，c＝3，选A．二、多项选择题9．ABD图象周期π⇒ω＝2，过(0,1/2)⇒φ＝π/6，对称中心(π/3,0)，选ABD．10．BCDA＝[1,3]，B的根为1和a，A⊆B需a≥3，选BCD．11．ACf′(x)＝eˣ－a，有两个零点需a＞1且极小值＜0，得1＜a＜e，选AC．12．ABD建系计算可得AE与平面A₁BD角正弦√6/3，AF与BD₁角余弦√6/4，B₁到平面距离2√3/3，选ABD．三、填空题13．10C(n,3)＝84⇒n＝10．14．2f(x)对称轴x＝1，a＋b＝2．15．16/3焦点弦长公式|AB|＝4/sin²θ＝16/3．16．－1或5最小值在x＝2或－a处取得，|2＋a|＝3⇒a＝－1或5．四、解答题17．（1）aₙ₊₁＋3＝2(aₙ＋3)，公比2；（2）aₙ＝2ⁿ⁺¹－3；（3）bₙ＝n＋1，Tₙ＝n(n＋3)/2．18．（1）a＝√13；（2）sinB＝3√21/28；（3）AD＝√97/3．19．（1）取BD中点O，OE∥PB⇒PB∥平面ACE；（2）cosθ＝√6/3；（3）距离＝√6/3．20．（1）X~H(5,20,50)，E(X)＝2；（2）P＝C(3,3)C(18,1)/C(5