统计学(本科)期末考试试题及参考答案

统计学(本科)期末考试试题及参考答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某校随机抽取100名本科生，记录其每日手机使用时长（分钟），样本均值为268，标准差为46。若已知总体服从正态分布，则总体均值μ的95%置信区间为A.(259.0,277.0)B.(260.8,275.2)C.(258.4,277.6)D.(261.0,275.0)答案：B解析：σ未知，n=100>30，用z近似。标准误SE=46/√100=4.6，z0.025=1.96，区间268±1.96×4.6=(260.8,275.2)。2.在单因素方差分析中，若F统计量远大于1且p值小于0.01，则下列说法正确的是A.各组总体方差不相等B.各组样本量必须相同C.至少有两组总体均值存在显著差异D.因子与因变量无线性关系答案：C解析：F检验显著拒绝原假设H0:μ1=μ2=…=μk，只能得出“至少一对均值不等”，无法判断方差齐性或线性。3.对于简单线性回归模型y=β0+β1x+ε，若ε~N(0,σ²)，则β1的95%置信区间公式为A.β̂1±t0.025(n-2)·SE(β̂1)B.β̂1±z0.025·SE(β̂1)C.β̂1±t0.05(n-1)·SE(β̂1)D.β̂1±z0.05·SE(β̂1)答案：A解析：σ²未知，用t分布，自由度n-2。4.设X~Poisson(λ)，若λ=4，则P(X=3)等于A.0.195B.0.224C.0.104D.0.433答案：A解析：P(X=3)=e^(-4)·4³/3!=0.1954。5.在假设检验中，若显著性水平α从0.05降到0.01，则A.Ⅰ型错误概率减小，检验功效增大B.Ⅰ型错误概率减小，检验功效减小C.Ⅰ型错误概率增大，Ⅱ型错误概率减小D.临界域扩大答案：B解析：α↓→拒绝域缩小→Ⅰ型错误↓，同时β↑→功效1-β↓。6.下列关于相关系数r的叙述，错误的是A.|r|越接近1，线性关系越强B.r=0表示两变量独立C.r对异常值敏感D.r无量纲答案：B解析：r=0仅表示无线性相关，变量可能非线性相关。7.若随机变量X的矩母函数MX(t)=(1-2t)^(-3)，则Var(X)为A.6B.12C.3D.24答案：B解析：Gamma(α=3,β=2)的MGF，均值αβ=6，方差αβ²=12。8.在列联表χ²独立性检验中，若期望频数小于5的格子比例超过20%，应A.直接计算χ²B.增加样本量或合并行列C.改用Fisher精确检验D.B与C均可答案：D解析：χ²近似条件不满足，可合并或改用精确方法。9.设θ̂是θ的无偏估计，若Var(θ̂)→0当n→∞，则θ̂具有A.一致性B.有效性C.充分性D.稳健性答案：A解析：无偏+方差趋于0→均方误差趋于0→一致性。10.对同一数据分别建立AIC=312、BIC=325的模型M1，以及AIC=310、BIC=330的模型M2，则A.M1优于M2B.M2优于M1C.无法比较D.需看样本量答案：A解析：AIC、BIC越小越好，M1两项均小。二、填空题（每空3分，共30分）11.设X~N(μ,9)，抽取n=36，得x̄=48，则μ的90%置信区间为________。答案：(46.355,49.645)解析：σ=3已知，z0.05=1.645，区间48±1.645×3/6。12.若样本比例p̂=0.42，n=250，则总体比例p的99%置信区间半宽为________（保留三位小数）。答案：0.080解析：z0.005=2.576，半宽2.576×√[0.42×0.58/250]=0.080。13.在简单随机抽样中，若总体大小N=1200，样本n=60，则有限总体修正系数为________（保留四位小数）。答案：0.9748解析：√[(N-n)/(N-1)]=√(1140/1199)=0.9748。14.设X1,X2…Xn来自Exp(λ)，则λ的极大似然估计为________。答案：1/X̄解析：似然函数L=λ^nexp(-λΣxi)，求导得λ̂=n/Σxi=1/x̄。15.若回归模型中R²=0.64，则调整R²的最小可能值为________（给定k=5，n=25）。答案：0.56解析：AdjR²=1-(1-R²)(n-1)/(n-k-1)=1-0.36×24/19=0.56。16.设T~t(15)，则P(T>2.131)=________（保留三位小数）。答案：0.025解析：查t分布表，双尾0.05对应单尾0.025。17.若随机变量X的密度f(x)=3x²，0<x<1，则P(0.2<X<0.5)=________（保留三位小数）。答案：0.117解析：∫0.2^0.53x²dx=x³|0.2^0.5=0.125-0.008=0.117。18.在双尾Z检验中，若|z|=2.18，则p值为________（保留四位小数）。答案：0.0292解析：2×P(Z>2.18)=2×0.0146=0.0292。19.若X~Bin(8,0.35)，则E(X²)=________（保留两位小数）。答案：10.36解析：E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=8×0.35×0.65+(2.8)²=1.82+7.84=9.66（修正：1.82+7.84=9.66，原答案笔误，应为9.66）。20.若样本中位数m=34，n=50，用Bootstrap1000次得标准误为2.15，则m的95%Bootstrap置信区间为________。答案：(29.79,38.21)解析：百分位法，2.5%与97.5%分位数，近似m±1.96×2.15。三、计算与证明题（共50分）21.（10分）某生产线袋装食品标重500g，历史σ=12g。今随机抽取16袋，得x̄=495g。（1）在α=0.05下检验是否显著不足（单尾）。（2）求检验功效，当真实均值μ=490g。解：（1）H0:μ≥500，H1:μ<500。z=(495-500)/(12/√16)=-5/3=-1.667。临界值-z0.05=-1.645，-1.667<-1.645，拒绝H0，显著不足。（2）功效=Φ(-1.645+10/3)=Φ(1.688)=0.954。22.（12分）随机调查200名用户，记录性别与是否购买会员：||购买|未购买||--------|------|--------||男|38|62||女|52|48|（1）计算φ系数与Cramer’sV。（2）在α=0.05下检验独立性与列联系数显著性。解：（1）χ²=200(38×48-62×52)²/(100×100×90×110)=4.040，φ=√(χ²/n)=0.142，Cramer’sV=φ/√min(r-1,c-1)=0.142。（2）df=1，χ²0.05=3.841，4.040>3.841，拒绝独立，φ显著。23.（14分）给出10组数据(x,y)：(12,15),(14,18),(16,22),(18,25),(20,28),(22,30),(24,33),(26,35),(28,38),(30,40)。（1）求回归方程ŷ=β̂0+β̂1x。（2）计算残差标准误s。（3）检验H0:β1=0（α=0.01）。（4）当x=25时，求y的99%预测区间。解：（1）x̄=21，ȳ=28.4，Sxx=330，Sxy=465，β̂1=465/330=1.409，β̂0=28.4-1.409×21=-1.189，ŷ=-1.189+1.409x。（2）SSE=Σ(yi-ŷi)²=6.364，s=√(SSE/8)=0.892。（3）SE(β̂1)=s/√Sxx=0.892/√330=0.049，t=1.409/0.049=28.8，t0.005(8)=3.355，|t|>3.355，极显著。（4）x0=25，ŷ=34.04，预测区间=34.04±t0.005(8)·s·√[1+1/10+(25-21)²/330]=34.04±3.355×0.892×1.098=(30.75,37.33)。24.（14分）设X1…Xn来自Uniform(0,θ)，θ>0未知。（1）求θ的矩估计θ̃与极大似然估计θ̂。（2）证明θ̂是充分统计量。（3）计算E(θ̂)并修正为无偏估计。解：（1）矩估计：E(X)=θ/2→θ̃=2X̄。似然函数L=θ^(-n)I_{x(n)≤θ}，在θ