(完整版)数理统计考试题及答案

(完整版)数理统计考试题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X²)等于A.λ  B.λ²  C.λ+λ²  D.λ²+λ答案：C解析：泊松分布的方差Var(X)=λ，而E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=λ+λ²。2.从N(μ,σ²)中抽取容量为n的样本，样本均值X̄的分布为A.N(μ,σ²)  B.N(μ,σ²/n)  C.N(0,1)  D.t(n−1)答案：B解析：由中心极限定理，X̄~N(μ,σ²/n)。3.设X₁,…,Xₙi.i.d.~Exp(λ)，则2λ∑Xᵢ的分布为A.χ²(n)  B.χ²(2n)  C.Γ(n,λ)  D.Γ(2n,λ)答案：B解析：指数分布Exp(λ)可化为Γ(1,λ)，而2λXᵢ~χ²(2)，故2λ∑Xᵢ~χ²(2n)。4.在简单线性回归y=β₀+β₁x+ε中，若ε~N(0,σ²)，则β̂₁的方差为A.σ²/Sxx  B.σ²/n  C.σ²Sxx  D.σ²/(n−2)答案：A解析：β̂₁=∑(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/Sxx，其方差为σ²/Sxx。5.设T~t(n)，则T²的分布为A.χ²(n)  B.F(1,n)  C.F(n,1)  D.t(n)答案：B解析：t(n)变量平方即服从F(1,n)。6.对于正态总体N(μ,σ²)，σ²未知，检验H₀:μ=μ₀的统计量为A.(X̄−μ₀)/(σ/√n)  B.(X̄−μ₀)/(S/√n)  C.(X̄−μ₀)/σ  D.(X̄−μ₀)/S答案：B解析：σ未知时用样本标准差S代替，得t统计量。7.设X~Bin(n,p)，则当n→∞，p固定，(X−np)/√[np(1−p)]的极限分布为A.N(0,1)  B.χ²(1)  C.t(n−1)  D.Poisson(np)答案：A解析：棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。8.在假设检验中，第二类错误概率β与显著性水平α的关系是A.β随α增大而增大  B.β随α增大而减小  C.β与α无关  D.β恒为0答案：B解析：α增大，拒绝域扩大，β减小。9.设X₁,…,Xₙi.i.d.~U(0,θ)，则θ的MLE为A.X̄  B.max{Xᵢ}  C.min{Xᵢ}  D.2X̄答案：B解析：均匀分布的似然函数在θ≥max{Xᵢ}处取得最大值。10.若随机变量X的矩母函数为M_X(t)=exp(μt+σ²t²/2)，则X的分布为A.N(μ,σ²)  B.Poisson(μ)  C.Exp(σ)  D.χ²(μ)答案：A解析：正态分布的矩母函数标准形式。二、填空题（每空5分，共30分）11.设X₁,…,Xₙi.i.d.~N(μ,σ²)，则样本方差S²=1/(n−1)∑(Xᵢ−X̄)²是σ²的________估计。答案：无偏解析：E(S²)=σ²。12.若X~χ²(k)，则E(X)=________，Var(X)=________。答案：k；2k解析：χ²(k)即Γ(k/2,1/2)，期望k，方差2k。13.设X̄与S²独立，且X̄~N(μ,σ²/n)，(n−1)S²/σ²~χ²(n−1)，则√n(X̄−μ)/S服从________分布。答案：t(n−1)解析：t分布定义。14.在简单随机抽样中，样本均值X̄的方差与总体方差σ²的关系为Var(X̄)=________。答案：σ²/n解析：基本抽样定理。15.设X~Bin(n,p)，则当n很大，p很小时，可用________分布近似。答案：Poisson(np)解析：泊松极限定理。16.若θ̂是θ的MLE，则g(θ̂)是g(θ)的________。答案：MLE解析：MLE的不变性。三、计算题（共80分）17.（15分）设X₁,…,Xₙi.i.d.~Poisson(λ)，求λ的矩估计与最大似然估计，并比较其方差。答案：矩估计：令样本均值X̄等于总体均值λ，得λ̂₁=X̄。MLE：似然函数L(λ)=∏e^(−λ)λ^(Xᵢ)/Xᵢ!，对数似然ℓ(λ)=−nλ+(∑Xᵢ)lnλ−∑lnXᵢ!，令dℓ/dλ=−n+∑Xᵢ/λ=0，得λ̂₂=X̄。方差：X̄~Poisson(nλ)/n，故Var(λ̂₁)=λ/n。结论：二者相同，方差均为λ/n。18.（20分）设X₁,…,Xₙi.i.d.~N(μ,σ²)，σ²未知，给定样本观测值：n=16，x̄=12.5，s=2.4。（1）求μ的95%置信区间；（2）检验H₀:μ=11.0vsH₁:μ≠11.0，α=0.05。答案：（1）t₀.₀₂₅(15)=2.131，CI=x̄±t·s/√n=12.5±2.131×2.4/4=12.5±1.28，即(11.22,13.78)。（2）t=(x̄−μ₀)/(s/√n)=(12.5−11.0)/(2.4/4)=2.5，|t|=2.5>2.131，拒绝H₀，认为μ显著不等于11.0。19.（20分）设(X,Y)的联合密度f(x,y)=2,0<y<x<1。（1）求边缘密度f_X(x)；（2）求条件密度f_{Y|X}(y|x)；（3）求E(Y|X=x)。答案：（1）f_X(x)=∫₀ˣ2dy=2x,0<x<1。（2）f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=2/(2x)=1/x,0<y<x。（3）E(Y|X=x)=∫₀ˣy·(1/x)dy=x/2。20.（25分）某工厂生产钢丝，其抗拉强度X~N(μ,σ²)。现抽取n=25根，测得x̄=780MPa，s=30MPa。（1）求σ²的90%置信区间；（2）若要求估计μ的误差不超过5MPa，置信水平95%，求所需最小样本量；（3）若历史σ=25MPa，检验H₀:σ=25vsH₁:σ>25，α=0.05。答案：（1）χ²₀.₀₅(24)=13.848，χ²₀.₉₅(24)=36.415，CI=[(n−1)s²/χ²₀.₉₅,(n−1)s²/χ²₀.₀₅]=[24×900/36.415,24×900/13.848]≈[593,1559](MPa²)。（2）n≥(z₀.₀₂₅·σ/E)²=(1.96×30/5)²≈138.3，取139。（3）χ²=(n−1)s²/σ₀²=24×900/625=34.56，临界值χ²₀.₀₅(24)=36.415，34.56<36.415，不拒绝H₀，无充分证据表明标准差增大。四、证明题（共30分）21.（15分）设X₁,…,Xₙi.i.d.来自密度f(x;θ)=θx^(θ−1),0<x<1,θ>0。证明T=−∑lnXᵢ是充分统计量，并求其分布。证明：联合密度f(x;θ)=θⁿ(∏xᵢ)^(θ−1)=θⁿexp[(θ−1)∑lnxᵢ]，由因子分解定理，取h(x)=1，g(T;θ)=θⁿexp[(θ−1)(−T)]，故T=−∑lnXᵢ为充分统计量。令Yᵢ=−lnXᵢ，则Xᵢ=e^(−Yᵢ)，雅可比|dx/dy|=e^(−y)，f_Y(y)=f_X(e^(−y))·e^(−y)=θe^(−θy),y>0，即Yᵢ~Exp(θ)，于是T~Γ(n,θ)，密度f_T(t)=θⁿt^(n−1)e^(−θt)/Γ(n),t>0。22.（15分）设X₁,…,Xₙi.i.d.~N(μ,σ²)，定义样本均值X̄与样本方差S²。证明X̄与S²独立，并给出S²的分布。证明：令A为n×n正交矩阵，第一行(1/√n,…,1/√n)，令Z=AX，则Z₁=√nX̄，且Z₂,…,Zₙi.i.d.~N(0,σ²)，S²=1/(n−1)∑(Xᵢ−X̄)²=1/(n−1)∑_{i=2}^nZᵢ²，仅依赖于Z₂,…,Zₙ，而X̄仅依赖于Z₁，故X̄与S²独立。又∑_{i=2}^nZᵢ²/σ²~χ²(n−1)，故(n−1)S²/σ²~χ²(n−1)。五、综合应用题（共40分）23.（20分）某电商平台研究用户点击转化率，随机抽取100个页面，记录点击数X与转化数Y，得∑Xᵢ=5200，∑Yᵢ=364，∑Xᵢ²=281000，∑Yᵢ²=1400，∑XᵢYᵢ=20100。假设Yᵢ~Bin(Xᵢ,p)，且各页面独立。（1）求p的MLE；（2）构造p的95%渐近置信区间；（3）检验H₀:p=0.06vsH₁:p≠0.06，α=0.05。答案：（1）似然L(p)=∏C(Xᵢ,Yᵢ)p^Yᵢ(1−p)^(Xᵢ−Yᵢ)，对数似然ℓ(p)=const+∑Yᵢlnp+∑(Xᵢ−Yᵢ)ln(1−p)，令dℓ/dp=∑Yᵢ/p−∑(Xᵢ−Yᵢ)/(1−p)=0，得p̂=∑Yᵢ/∑Xᵢ=364/5200=0.07。（2）信息量I(p)=∑Xᵢ/[p(1−p)]，Var(p̂)≈1/I(p)=p(1−p)/∑Xᵢ，代入p̂得SE=√[0.07×0.93/5200]=0.0035，CI=p̂±1.96×SE=0.07±0.0069，即(0.0631,0.0769)。（3）z=(p̂−p₀)/SE₀=(0.07−0.06)/√[0.06×0.94/5200]=0.01/0.0033≈3.03，|z|>1.96，拒绝H₀，认为转化率显著不同于6%。24.（20分）某气象站记录过去50年冬季平均温度，得x̄=−2.1°C，s=1.4°C。假设温度服从正态分布。（1）求温度标准差σ的90%置信区间；（2）若认为全球变暖导致温度升高，检验H₀:μ=−2.5°CvsH₁:μ>−2.5°C，α=0.05；（3）若真实μ=−1.8°C，求（2）中检验的功效。答案：（1）χ²₀.₀₅(49)=33.93，χ²₀.₉₅(49)=66.34