本科《应用概率统计》2025-2026期末试题及答案

本科《应用概率统计》2025-2026期末试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P(X=2)=P(X=3)，则λ的值为A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：泊松分布概率质量函数P(X=k)=e^{-λ}λ^{k}/k!，令k=2与k=3概率相等，得e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3! ⇒ λ^{2}/2=λ^{3}/6 ⇒ λ=3。2.设X~N(μ,σ^{2})，则E[(X-μ)^{3}]为A.0  B.σ^{3}  C.3σ^{3}  D.μ^{3}答案：A解析：正态分布关于μ对称，三阶中心矩恒为0。3.设二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，则P(X+Y≤1)等于A.1/4  B.1/3  C.1/2  D.2/3答案：B解析：积分区域为0≤x≤y≤1且x+y≤1，即0≤x≤1/2,x≤y≤1-x，P=∫_{0}^{1/2}∫_{x}^{1-x}2dydx=∫_{0}^{1/2}2(1-2x)dx=2[x-x^{2}]_{0}^{1/2}=1/3。4.设X_{1},…,X_{n}独立同分布于Exp(λ)，则n\bar{X}的分布为A.Gamma(n,λ)  B.Gamma(n,nλ)  C.Exp(nλ)  D.Gamma(1,nλ)答案：A解析：独立指数和服从Gamma(n,λ)，而n\bar{X}=∑X_{i}，故选A。5.在线性回归模型Y=Xβ+ε,ε~N(0,σ^{2}I)中，若X列满秩，则β的最小二乘估计的协方差矩阵为A.σ^{2}(X^{T}X)^{-1}  B.σ^{2}X^{T}X  C.σ^{2}I  D.σ^{2}X^{-1}答案：A解析：经典结论，Cov(β̂)=σ^{2}(X^{T}X)^{-1}。二、填空题（每空5分，共20分）6.设X~U(0,1)，则E[lnX]=______。答案：-1解析：E[lnX]=∫_{0}^{1}lnxdx=[xlnx-x]_{0}^{1}=-1。7.设X,Y独立同分布于N(0,1)，则E[max{X,Y}]=______。答案：1/√π解析：利用max{X,Y}=|X-Y|/2+(X+Y)/2及对称性，得E[max{X,Y}]=1/√π。8.设样本方差S^{2}=1/(n-1)∑(X_{i}-\bar{X})^{2}，则E[S^{2}]=______。答案：σ^{2}解析：样本方差为总体方差的无偏估计。9.设随机变量X的矩母函数M_{X}(t)=exp{2t^{2}+3t}，则Var(X)=______。答案：4解析：M_{X}(t)对应N(3,4)，故方差为4。三、解答题（共60分）10.（12分）设X_{1},…,X_{n}为来自Uniform(0,θ)的样本，θ>0未知。(1)求θ的矩估计θ̂_{M}；(2)求θ的最大似然估计θ̂_{L}；(3)比较两者的均方误差。答案与解析：(1)总体一阶矩E[X]=θ/2，令样本均值\bar{X}=θ̂_{M}/2，得θ̂_{M}=2\bar{X}。(2)似然函数L(θ)=θ^{-n}I_{X_{(n)}≤θ}，在θ≥X_{(n)}时取最大值，故θ̂_{L}=X_{(n)}。(3)计算MSE：E[(θ̂_{M}-θ)^{2}]=Var(2\bar{X})=4θ^{2}/(12n)=θ^{2}/(3n)。对θ̂_{L}，先求密度f_{X_{(n)}}(x)=nx^{n-1}/θ^{n},0≤x≤θ，E[X_{(n)}]=nθ/(n+1)，Var(X_{(n)})=nθ^{2}/[(n+1)^{2}(n+2)]，MSE=Var+(Bias)^{2}=nθ^{2}/[(n+1)^{2}(n+2)]+[nθ/(n+1)-θ]^{2}=2θ^{2}/[(n+1)(n+2)]。当n≥2时，2/[(n+1)(n+2)]<1/(3n)，故θ̂_{L}的MSE更小。11.（12分）设(X,Y)的联合密度f(x,y)=cxy,0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≤1。(1)求常数c；(2)求边缘密度f_{X}(x)；(3)求条件密度f_{Y|X}(y|x)；(4)求E[Y|X=x]。答案与解析：(1)∫∫_{x+y≤1}cxydydx=1，积分区域0≤x≤1,0≤y≤1-x，∫_{0}^{1}∫_{0}^{1-x}cxydydx=c∫_{0}^{1}x(1-x)^{2}/2dx=c/24=1 ⇒ c=24。(2)f_{X}(x)=∫_{0}^{1-x}24xydy=12x(1-x)^{2},0≤x≤1。(3)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_{X}(x)=24xy/[12x(1-x)^{2}]=2y/(1-x)^{2},0≤y≤1-x。(4)E[Y|X=x]=∫_{0}^{1-x}y·2y/(1-x)^{2}dy=2(1-x)/3。12.（12分）某生产线袋装食品标称质量500g，长期经验表明标准差σ=5g。现抽取n=16袋，测得\bar{x}=498g。(1)在α=0.05下检验H_{0}:μ=500vsH_{1}:μ≠500；(2)求该检验的p值；(3)若实际μ=497，求犯第二类错误的概率β。答案与解析：(1)检验统计量Z=(\bar{x}-500)/(σ/√n)=-2/1.25=-1.6，双侧临界值±1.96，|Z|<1.96，故不拒绝H_{0}。(2)p值=2P(Z≤-1.6)=2Φ(-1.6)=0.1096。(3)实际μ=497时，接受域为500±1.96·5/4=[497.55,502.45]，β=P(497.55≤\bar{X}≤502.45|μ=497)=P((497.55-497)/1.25≤Z≤(502.45-497)/1.25)=Φ(4.36)-Φ(0.44)=0.330。13.（12分）设Y_{i}=β_{0}+β_{1}x_{i}+ε_{i},ε_{i}~N(0,σ^{2})独立，i=1,…,n。(1)写出最小二乘估计β̂_{1}的表达式；(2)证明β̂_{1}~N(β_{1},σ^{2}/S_{xx})，其中S_{xx}=∑(x_{i}-\bar{x})^{2}；(3)构造σ^{2}的无偏估计；(4)给出β_{1}的95%置信区间。答案与解析：(1)β̂_{1}=∑(x_{i}-\bar{x})(Y_{i}-\bar{Y})/S_{xx}。(2)线性组合正态，E[β̂_{1}]=β_{1}，Var(β̂_{1})=σ^{2}/S_{xx}。(3)σ̂^{2}=SSE/(n-2)=∑(Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2}/(n-2)。(4)置信区间β̂_{1}±t_{α/2,n-2}·σ̂/√S_{xx}。14.（12分）设X~Bin(n,p)，欲估计g(p)=p(1-p)。(1)求g(p)的MLE；(2)计算其Fisher信息量I(p)；(3)求g(p)的UMVUE并验证其无偏性。答案与解析：(1)ĝ=\hat{p}(1-\hat{p})，其中\hat{p}=X/n。(2)对数似然l(p)=Xlnp+(n-X)ln(1-p)，l′(p)=X/p-(n-X)/(1-p)，l″(p)=-X/p^{2}-(n-X)/(1-p)^{2}，I(p)=-E[l″(p)]=n/[p(1-p)]。(3)令T=X(X-1)/[n(n-1)]，则E[T]=p(1-p)，故T为UMVUE。验证：E[X(X-1)]=E[X^{2}]-E[X]=np(1-p)+n^{2}p^{2}-np=n(n-1)p^{2}，故E[T]=p(1-p)。四、综合应用题（共40分）15.（20分）某城市共享单车系统每日早高峰租赁量Y（万次）与气温x（℃）呈现线性趋势。过去10天数据如下：x:5,8,10,12,15,18,20,22,25,28y:2.1,2.5,2.8,3.0,3.5,4.0,4.2,4.5,5.0,5.5(1)建立简单线性回归方程；(2)给出回归显著性检验（α=0.01）；(3)预测x=30℃时的平均租赁量，并给出99%置信区间；(4)若希望租赁量不低于6万次，求所需最低气温的预测区间（置信水平95%）。答案与解析：(1)计算得\bar{x}=16.3,\bar{y}=3.71,S_{xx}=566.1,S_{xy}=31.59,β̂_{1}=31.59/566.1≈0.0558,β̂_{0}=3.71-0.0558·16.3≈2.80，回归方程\hat{y}=2.80+0.0558x。(2)H_{0}:β_{1}=0，t=β̂_{1}/(σ̂/√S_{xx})，σ̂^{2}=SSE/8=0.032，t=0.0558/√(0.032/566.1)≈23.5>t_{0.005,8}=3.36，拒绝H_{0}，显著。(3)x=30时，\hat{y}=2.80+0.0558·30=4.47，标准误=σ̂√[1/10+(30-16.3)^{2}/566.1]=0.128，99%区间4.47±3.36·0.128=[4.04,4.90]。(4)反解x：令2.80+0.0558xt_{0.05,8}·σ̂√[1+1/10+(x-16.3)^{2}/566.1]=6，数值解得x≈34.2℃，即气温至少34.2℃才能以95%置信保证租赁量≥6万次。16.（20分）某电商仓库发货错误数X服从泊松分布，日均λ未知。现随机抽取30天，得∑x_{i}=120。(1)求λ的矩估计与最大似然估计；(2)构造λ的95%置信区间；(3)检验H_{0}:λ=4vsH_{1}:λ≠4（α=0.05）；(4)若实际λ=5，求检验功效。答案与解析：(1)矩估计与MLE均为样本均值\hat{λ}=120/30=4。(2)大样本近似：\hat{λ}~N(λ,λ/n)，95%区间4±1.96√(4/30)=[3.28,4.72]。