河北大学2026年《统计学导论》期末试题A卷及答案

河北大学2026年《统计学导论》期末试题A卷及答案一、单项选择题（每题2分，共20分。每题只有一个正确答案，请将正确选项的字母填入括号内）1.某市调查居民月平均收入，随机抽取400户，样本均值为8200元，标准差为1200元。若将置信水平从90%提高到99%，则置信区间的宽度将（）。A.缩小为原来的一半B.扩大为原来的1.5倍C.扩大为原来的1.65/1.96倍D.扩大为原来的2.58/1.65倍答案：D解析：90%对应z=1.65，99%对应z=2.58，宽度与z值成正比，故宽度扩大2.58/1.65≈1.56倍。2.在简单线性回归模型y=β₀+β₁x+ε中，若ε满足E(ε)=0、Var(ε)=σ²，则下列说法正确的是（）。A.β₁的最小二乘估计量一定无偏B.σ²的无偏估计量为SSE/(n-1)C.当x与ε相关时，β₁的估计仍无偏D.β₀的估计量方差与x的均值无关答案：A解析：高斯-马尔可夫定理保证在经典假设下OLS估计量无偏；B应为SSE/(n-2)；C若x与ε相关则产生内生性问题，估计有偏；Dβ₀的方差公式含x̄。3.设X~N(μ,σ²)，样本容量n=25，σ未知。检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，显著性水平α=0.05，则拒绝域为（）。A.|t|>1.711B.|t|>2.064C.|t|>2.797D.|t|>1.96答案：B解析：n=25，自由度24，双侧α=0.05，查t分布表得临界值2.064。4.对同一总体进行两次独立抽样，样本量分别为n₁=100，n₂=150，样本比例分别为p̂₁=0.42，p̂₂=0.38。检验H₀:p₁=p₂，则合并比例p̄为（）。A.0.40B.0.396C.0.398D.0.402答案：B解析：p̄=(100×0.42+150×0.38)/(100+150)=99/250=0.396。5.在方差分析中，若组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，则F统计量值为（）。A.4B.0.25C.150D.90答案：A解析：F=MSB/MSE=120/30=4。6.若随机变量X的偏度为-0.8，峰度为2.5，则下列描述正确的是（）。A.分布右尾较长B.分布比正态峰更尖C.分布左尾较长D.分布为对称分布答案：C解析：偏度<0表示左尾较长；峰度<3表示比正态峰更平。7.在指数平滑预测中，平滑系数α=0.1，则对新观测值的权重是（）。A.0.1B.0.9C.0.01D.0.19答案：A解析：指数平滑公式Fₜ₊₁=αyₜ+(1-α)Fₜ，新观测值权重即α。8.若两变量Pearson相关系数r=0.85，Spearman相关系数ρ=0.62，则最可能的原因是（）。A.存在异常值B.两变量非线性关系C.两变量为等级数据D.样本量过小答案：B解析：Pearson高而Spearman低提示存在非线性单调关系或异常值，但异常值通常使两者皆降，非线性单调更合理。9.在多元回归中，若某解释变量VIF=8.5，则一般认为（）。A.不存在多重共线性B.存在轻微多重共线性C.存在严重多重共线性D.模型设定错误答案：C解析：VIF>10为严重，5-10为中等偏高，8.5已需关注。10.对某时间序列进行ADF检验，得到τ=-3.42，对应1%临界值-3.58，5%临界值-2.93，则（）。A.在1%水平拒绝单位根B.在5%水平拒绝单位根C.不能拒绝单位根D.序列平稳答案：B解析：-3.42<-2.93，故5%水平拒绝，1%水平不拒绝。二、多项选择题（每题3分，共15分。每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）11.下列关于抽样分布的陈述正确的有（）。A.样本均值的抽样分布均值等于总体均值B.当总体非正态且n小时，样本均值分布仍近似正态C.样本比例的抽样分布可用正态近似当np≥5且n(1-p)≥5D.样本方差的抽样分布为卡方分布当总体正态E.t分布比标准正态分布尾部更厚答案：ACDE解析：B错，n小且总体非正态时，样本均值分布不一定近似正态。12.在假设检验中，下列做法能够同时降低第一类与第二类错误概率的有（）。A.增大样本量B.降低显著性水平αC.提高检验功效D.使用更精确的测量工具E.采用单侧检验代替双侧答案：AD解析：增大n与降低测量误差可同时降低两类错误；降低α仅降低第一类；提高功效即降低第二类，但α固定时与第一类呈反向；单侧检验与两类错误无必然同时降低关系。13.关于卡方检验，下列说法正确的有（）。A.拟合优度检验要求期望频数不小于5B.列联表检验自由度=(r-1)(c-1)C.卡方值越大越倾向于拒绝原假设D.可用于检验两个连续变量的独立性E.若样本量很大，轻微差异也可能显著答案：ABCE解析：D错，卡方检验用于分类变量。14.在构建置信区间时，下列哪些情况需使用t分布临界值（）。A.总体正态，σ已知，n=15B.总体正态，σ未知，n=20C.总体非正态，σ未知，n=200D.总体非正态，σ已知，n=30E.总体正态，σ未知，n=8答案：BE解析：σ未知且总体正态小样本用t；大样本可用z近似；σ已知用z。15.下列属于非参数检验方法的有（）。A.Wilcoxon符号秩检验B.Kruskal-Wallis检验C.Mann-WhitneyU检验D.Friedman检验E.Durbin-Watson检验答案：ABCD解析：E用于检验自相关，属参数诊断。三、判断题（每题1分，共10分。正确打“√”，错误打“×”）16.若随机变量X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。（√）17.在简单随机抽样中，抽样误差大小与总体容量N无关。（×）18.当回归模型出现异方差时，OLS估计量仍是无偏但非有效。（√）19.若某序列自相关系数r₁=0.85，则可直接判定为非平稳。（×）20.对于同一数据，置信水平越高，置信区间越窄。（×）21.在假设检验中，p值>α时，我们接受原假设。（×）22.峰度大于3的分布称为尖峰分布。（√）23.若两变量存在完全线性关系，则Pearson相关系数绝对值为1。（√）24.贝叶斯推断中，后验概率与先验概率无关。（×）25.当样本量趋于无穷大时，样本均值的标准误趋于0。（√）四、简答题（每题8分，共24分）26.简述中心极限定理的内容及其在统计推断中的意义。答案：中心极限定理（CLT）指出，从任意均值为μ、方差为σ²的总体中抽取容量为n的随机样本，当n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ²/n的正态分布。其意义在于：（1）无需知道总体分布形态，只要n大，即可用正态近似进行概率计算；（2）为构建置信区间与假设检验提供理论依据，如z检验；（3）解释了为何许多自然、经济现象叠加后呈钟形分布；（4）使得大样本下线性估计量具有渐近正态性，便于推断。27.说明多重共线性对回归模型的影响，并给出两种诊断及两种解决方法。答案：影响：（1）OLS估计量仍无偏但方差增大，导致t值不显著；（2）系数符号可能违背经济理论；（3）模型对样本变化极度敏感，预测不稳定。诊断：（1）方差膨胀因子VIF>10；（2）特征值法，条件数>30。解决：（1）删除或合并高度相关变量；（2）采用岭回归、Lasso等正则化方法。28.比较简单随机抽样与分层随机抽样的优缺点。答案：简单随机抽样：优点：操作直观，理论成熟，估计量方差公式简单；缺点：若总体异质性强，精度低；抽样框要求完整。分层随机抽样：优点：按层内同质、层间异质划分，可提高估计精度；便于组织与管理；可对子总体进行推断；缺点：需完整辅助信息划分层；分层变量选择不当反增方差；估计量及其方差计算复杂。五、计算与综合题（共31分）29.（10分）某电商平台想评估新版推荐算法对日均销售额的提升效果。随机抽取10家店铺，记录算法上线前后各7天的日均销售额（万元），数据如下：店铺|上线前|上线后|差值d|---|---|---1|12.3|14.1|1.82|10.8|11.9|1.13|15.2|16.0|0.84|9.7|12.5|2.85|11.4|13.2|1.86|13.0|14.6|1.67|10.1|11.5|1.48|14.6|15.9|1.39|8.9|10.7|1.810|13.5|15.0|1.5假设差值服从正态分布，在α=0.05下检验算法是否显著提升销售额，并求平均提升量的95%置信区间。答案：（1）建立假设：H₀:μd=0，H₁:μd>0（单侧）（2）计算：d̄=1.59，sd=0.557，n=10t=d̄/(sd/√n)=1.59/(0.557/3.162)=9.03（3）临界值：t₀.₀₅(9)=1.833，9.03>1.833，拒绝H₀，算法显著提升销售额。（4）置信区间：d̄±t₀.₀₂₅(9)×sd/√n=1.59±2.262×0.176=(1.19,1.99)万元。30.（10分）某校研究学生每日手机使用时间（分钟）与期末成绩的关系，随机调查20名学生，得到：∑x=17400，∑y=1520，∑x²=15525000，∑y²=118600，∑xy=1294500（1）求样本相关系数r；（2）建立回归方程ŷ=a+bx；（3）检验H₀:β₁=0（α=0.01）；（4）当x=90分钟时，预测y并给出95%预测区间。答案：（1）r=(n∑xy-∑x∑y)/√[(n∑x²-(∑x)²)(n∑y²-(∑y)²)]=(20×1294500-17400×1520)/√[(20×15525000-17400²)(20×118600-1520²)]=-0.837（2）b=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x²-(∑x)²)=-0.051，a=ȳ-bx̄=1520/20-(-0.051)×17400/20=76+44.37=120.37方程：ŷ=120.37-0.051x（3）SSE=∑(y-ŷ)²=118600-120.37×1520-(-0.051)×1294500=2054.3s²=SSE/(n-2)=114.1，sb=√(s²/(∑x²-(∑x)²/n))=0.0067t=b/sb=-7.61，|t|>t₀.₀₀₅(18)=2.878，拒绝H₀。（4）x₀=90，ŷ=120.37-0.051×90=115.78预测区间：ŷ±t₀.₀₂₅(18)×s√(1+1/n+(x₀-x̄)²/∑(x-x̄)²)x̄=870，∑(x-x̄)²=15525000-17400²/20=405000区间：115.78±2.101×10.68×√(1+0.05+0.0003)=(93.1,138.5)。31.（11分）某工厂有三条生产线A、B、C，记录一周各线产出不合格品数：生产线|合格|不合格|合计|---|---|---A|380|20|400B