热力学与统计物理复习总结及相关试题及答案

热力学与统计物理复习总结及相关试题及答案一、热力学基本定律的微观诠释与宏观表述的对应关系1.零定律：若系统A与B分别与C达到热平衡，则A与B互为热平衡。微观上，这意味着A、B、C的能级占据数分布函数具有相同的温度参数β=1/kT。2.第一定律：dU=đQ−đW。微观上，đQ对应能级跃迁导致的占据数重排，đW对应外参量变化引起的能级移动。3.第二定律：孤立系熵增dS≥0。微观上，熵S=klnΩ，Ω为微观态数。不可逆过程对应系统由低Ω区向高Ω区演化。4.第三定律：T→0时S→0。微观上，基态非简并则Ω=1，S=0；若基态简并度为g₀，则S=klng₀，但g₀与N无关，故比熵s→0。二、统计系综的构建与热力学势的对应1.微正则系综：E、V、N固定，配分函数Ω(E,V,N)。热力学势：S=klnΩ。2.正则系综：T、V、N固定，配分函数Z=∑ᵢe^(−βEᵢ)。热力学势：F=−kTlnZ。3.巨正则系综：T、V、μ固定，配分函数Ξ=∑_{N,i}e^(−β(Eᵢ−μN))。热力学势：Φ=−kTlnΞ。4.等压系综：T、P、N固定，配分函数Δ=∫₀^∞Z(V,T,N)e^(−βPV)dV。热力学势：G=−kTlnΔ。5.熵的统计表达式：S=−k∑ᵢpᵢlnpᵢ，对任意系综成立。三、理想量子气体的统计性质1.费米气体态密度：g(ε)=V(2m)^(3/2)ε^(1/2)/(2π²ħ³)。低温展开：化学势μ=ε_F[1−π²/12(T/T_F)²]，热容：C_V=π²/2Nk(T/T_F)。2.玻色气体临界温度：T_c=2πħ²/mk[n/ζ(3/2)]^(2/3)。凝聚分数：N₀/N=1−(T/T_c)^(3/2)。热容：T<T_c时C_V=1.925Nk(T/T_c)^(3/2)。四、相变与临界现象的统计模型1.伊辛模型：H=−J∑⟨ij⟩σᵢσⱼ−h∑ᵢσᵢ。平均场近似：m=tanh[β(Jzm+h)]，临界指数β=1/2,γ=1,δ=3。2.朗道理论：自由能密度f(T,m)=a(T)+b(T)m²+c(T)m⁴+⋯，b(T)=b₀(T−T_c)，临界指数与平均场一致。3.标度律：α+2β+γ=2，γ=β(δ−1)。4.重正化群：通过逐步积分掉短波涨落，得到耦合常数的流方程，确定不动点与临界指数。五、非平衡统计初步1.玻尔兹曼方程：∂f/∂t+v·∇f+F·∇_vf=C[f]。碰撞项：C[f]=∫d³v₂∫dΩσ(|v−v₂|)(f′₁f′₂−f₁f₂)。2.H定理：dH/dt≤0，H=∫flnfd³v，等号对应细致平衡。3.输运系数：剪切黏度η=1/3nmv̄λ，热导率κ=1/3nc_vv̄λ，其中v̄=√(8kT/πm)，λ=1/(√2nσ)。六、综合试题与详解【题1】某孤立系统由N个无相互作用、质量为m的粒子组成，被限制在面积为A的二维平面内，能量固定在E。求系统的熵S(E,A,N)及温度T。【解】二维理想气体的态密度g(ε)=A2πm/(2πħ)²=Am/(πħ²)。总微观态数Ω(E)=1/(N!h^{2N})∫δ(E−∑ᵢpᵢ²/2m)∏ᵢd²rᵢd²pᵢ=1/(N!h^{2N})A^N∫δ(E−∑ᵢpᵢ²/2m)∏ᵢd²pᵢ。动量积分：令P²=∑ᵢpᵢ²，则∫δ(E−P²/2m)∏ᵢd²pᵢ=∫δ(E−P²/2m)d^{2N}P=2π^N/Γ(N)∫₀^∞P^{2N−1}δ(E−P²/2m)dP=π^N(2mE)^{N−1}2m/Γ(N)。于是Ω(E)=A^N/(N!h^{2N})·π^N(2mE)^{N−1}2m/Γ(N)。利用斯特林公式lnN!≈NlnN−N，Γ(N)≈N^{N−1}e^{−N}√(2π/N)，lnΩ≈Nln(A/λ²)+Nln(2πmE/N)−NlnN+N，其中λ=h/√(2πmkT)为热波长。熵S=klnΩ=Nk[ln(A/Nλ²)+2]。温度1/T=∂S/∂E|_{A,N}=Nk/E⇒E=NkT。二维理想气体内能U=NkT，与结果一致。【题2】一维谐振子链，哈密顿量H=∑ᵢ[pᵢ²/2m+k/2(qᵢ−q_{i+1})²]，周期性边界条件，N→∞。求晶格热容C_V(T)在低温与高温下的行为。【解】色散关系ω(k)=2√(k/m)|sin(ka/2)|。态密度g(ω)=N/(2π)∫_{−π/a}^{π/a}δ(ω−ω(k))dk=N/(πa)[dω/dk]^{−1}=N/(π√(k/m))·1/√[1−(ω/ω_m)²]，其中ω_m=2√(k/m)。低温T≪ħω_m/k：仅长波模式被激发，ω≈v_s|k|，v_s=a√(k/m)。一维态密度g(ω)=N/(πv_s)，能量U=∫₀^{∞}ħω/(e^{βħω}−1)g(ω)dω=N/(πv_s)∫₀^{∞}ħω/(e^{βħω}−1)dω=Nk²T²/(πv_sħ)∫₀^{∞}x/(e^x−1)dx=πNk²T²/(6v_sħ)。热容C_V=∂U/∂T=πNk²T/(3v_sħ)∝T。高温T≫ħω_m/k：经典能量均分，每振子kT，共N个，故U=NkT，C_V=Nk。【题3】金属中自由电子气处于T=0K，外加磁场B沿z方向，电子自旋磁矩μ_B。求系统的磁化强度M与磁场的关系，并给出顺磁磁化率χ_p。【解】自旋向上(↓)电子能量ε=p²/2m−μ_BB，自旋向上(↑)电子能量ε=p²/2m+μ_BB。费米能级μ₀由总电子数确定：N=V/(2π²)(2m/ħ²)^{3/2}[∫₀^{μ₀+μ_BB}√εdε+∫₀^{μ₀−μ_BB}√εdε]=V/(3π²)(2m/ħ²)^{3/2}[(μ₀+μ_BB)^{3/2}+(μ₀−μ_BB)^{3/2}]。弱场近似μ_BB≪μ₀，展开得μ₀≈ε_F[1−(μ_BB/ε_F)²/2]，其中ε_F为无场费米能。磁化强度M=μ_B(n_↓−n_↑)=μ_BV/(2π²)(2m/ħ²)^{3/2}[(μ₀+μ_BB)^{3/2}−(μ₀−μ_BB)^{3/2}]=3nμ_B²B/(2ε_F)。顺磁磁化率χ_p=μ₀M/B=3nμ₀μ_B²/(2ε_F)。【题4】某经典气体粒子间有硬球势u(r)=∞,r<σ;0,r>σ。求第二维里系数B₂(T)及第一位移对状态方程的修正。【解】B₂(T)=−2π∫₀^{∞}(e^{−βu(r)}−1)r²dr=−2π∫₀^{σ}(−1)r²dr=2πσ³/3。状态方程P/(nkT)=1+B₂(T)n+⋯=1+2πσ³n/3+⋯。第一位移修正ΔP=2πσ³n²kT/3。【题5】二维平方晶格上吸附气体，每个格点最多吸附一个分子，吸附能为−ε，温度T，化学势μ。求覆盖度θ(μ,T)及吸附等温线。【解】巨配分函数Ξ=∏ᵢ[1+e^{β(μ+ε)}]。平均占据数θ=⟨nᵢ⟩=e^{β(μ+ε)}/[1+e^{β(μ+ε)}]=1/[1+e^{−β(μ+ε)}]。吸附等温线θ(P,T)=1/[1+(P₀/P)e^{−βε}]，其中P₀为参考压强，满足μ=kTln(P/P₀)。【题6】某系统能级为ε_n=nħω,n=0,1,2,…，简并度g_n=n+1，温度T。求平均能量⟨E⟩及热容C_V。【解】配分函数Z=∑_{n=0}^{∞}(n+1)e^{−βnħω}=1/(1−e^{−βħω})²。平均能量⟨E⟩=−∂lnZ/∂β=2ħωe^{−βħω}/(1−e^{−βħω})=2ħω/(e^{βħω}−1)。热容C_V=∂⟨E⟩/∂T=2k(βħω)²e^{βħω}/(e^{βħω}−1)²。高温极限βħω≪1：C_V→2k。低温极限βħω≫1：C_V→2k(βħω)²e^{−βħω}。【题7】一维无相互作用玻色子，长度L，质量m，周期性边界。求T_c是否存在？若存在给出表达式；若不存在说明理由。【解】一维自由玻色子态密度g(ε)=L/(πħ)√(m/2ε)。总粒子数N=L/(πħ)√(m/2)∫₀^{∞}√ε/(e^{β(ε−μ)}−1)dε。μ≤0，积分在ε→0处收敛，故对任意T均可通过调节μ使等式成立，无凝聚相变，T_c=0。【题8】某顺磁盐服从居里定律M=CB/T，初始温度T_i=1K，磁场B_i=1T，绝热去磁至B_f=0.01T。求最终温度T_f。【解】绝热过程满足dQ=0，对磁系统dU=đQ+μ₀HdM。由居里定律M=CB/T，得dU=μ₀HdM=μ₀C/T(HdB−B/TdT)。对理想顺磁盐U=−μ₀M²/(2C)=−μ₀CB²/(2T²)，故dU=μ₀CB/T²(B/TdT−dB)。令dU=−μ₀HdM得dT/T=−dB/B⇒lnT=−lnB+const。于是T_f=T_i(B_f/B_i)=1K×0.01=0.01K。【题9】某经典气体处于临界点附近，实验测得临界指数β=0.32,γ=1.25,δ=4.8。检验这些指数是否满足标度律γ=β(δ−1)。【解】β(δ−1)=0.32×3.8=1.216≈1.25，相对误差2.7%，在实验误差范围内，满足标度律。【题10】某量子点具有单电子能级ε_d，库仑能U当双占据时增加，哈密顿量H=∑_{σ}ε_dn_{dσ}+Un_{d↑}n_{d↓}。温度T，化学势μ，求平均占据数⟨n_d⟩及双占据概率P₂。【解】四种态：|0⟩,|↑⟩,|↓⟩,|↑↓⟩，能量0,ε_d,ε_d,2ε_d+U。巨配分函数Ξ=1+2e^{−β(ε_d−μ)}+e^{−β(2ε_d+U−2μ)}。平均占据数⟨n_d⟩=[2e^{−β(ε_d−μ)}+2e^{−β(2ε_d+U−2μ)}]/Ξ。双占据概率P₂=e^{−β(2ε_d+U−2μ)}/Ξ。低温极限T→0：若μ<ε_d，⟨n_d⟩→0；若ε_d<μ<ε_d+U，⟨n_d⟩→1；若μ>ε_d+U，⟨n_d⟩→2。出现库仑台阶，反映单电子隧穿与库仑阻塞。【题11】某黑体辐射腔体体积V，温度T，求光子数密度n_γ及能量密度u的低温与高温极限。【解】光子化学势μ=0，态密度g(ε)=Vε²/(π²ħ³c³)。数密度n_γ=∫₀^{∞}1/(e^{βε}−1)g(ε)/Vdε=1/(π²ħ³c³)∫₀^{∞}ε²/(e^{βε}−1)dε=2ζ(3)/π²(kT/ħc)³。能量密度u=∫₀^{∞}ε/(e^{βε}−1)g(ε)/Vdε=π²k⁴T⁴/(15ħ³c³)。低温与高温极限相同，因光子无质量，始终处于“高温”极限。【题12】某经典气体粒子数N，体积V，受保守力F=−κr指向原点，单粒子哈密顿量H=p²/2m+κr²/2。求单粒子配分函数z及系统状态方程P(T,V,N)。【解】单粒子配分函数z=1/h³∫e^{−β(p²/2m+κr²/2)}d³pd³r=(2πmkT/h²)^{3/2}(2πkT/κ)^{3/2}=(2πkT/h)³(m/κ)^{3/2}。总配分函数Z=z^N/N!。压强P=kT∂lnZ/∂V|_{T,N}=NkT/V。尽管存在外势，但势仅依赖于坐标而非体积，故理想气体形式不变，外势影响密度分布n(r)=n₀e^{−βκr²/2}，总压强仍由理想气体给出。【题13】某金属薄膜厚度d≪λ_F，电子在z方向量子化为驻波，能级ε_n(k)=ħ²k²/2m+ε_n，ε_n=n²π²ħ²/(2md²)，n=1,2,…。求T=0时电子面密度n_s与化学势μ的关系，并给出量子化台阶出现的条件。【解】每个n对应二维子带，态密度g_n(ε)=m/(πħ²)当ε>ε_n。总面密度n_s=∑_n∫_{ε_n}^{μ}g_n(ε)dθ(μ−ε_n)=m/(πħ²)∑_n(μ−ε_n)θ(μ−ε_n)。当μ跨越ε_n时，n_s出现台阶，台阶高度Δn_s=m/(πħ²)·π²ħ²/(2md²)=π/(2d²)。实验上通过栅压调节μ，可观察到量子化电导平台。【题14】某经典气体分子具有电偶极矩p，处于电场E中，哈密顿量H=H₀−p·E。求极化强度P(T,E)及介电常数ε_r的居里-外斯形式。【解】单粒子配分函数z=∫e^{βpEcosθ}sinθdθdφ=4πsinh(βpE)/(βpE)。平均偶极矩沿E方向⟨p_z⟩=pL(βpE)，L(x)=cothx−1/x为朗之万函数。极化强度P=n⟨p_z⟩=npL(βpE)。弱场极限βpE≪1：L(x)≈x/3，P≈np²E/(3kT)，介电常数ε_r=1+P/(ε₀E)=1+np²/(3ε₀kT)，呈现居里-外斯形式。【题15】某二维拓扑绝缘