重庆大学2025-2026学年(秋)数理统计AB试题及答案

重庆大学2025-2026学年(秋)数理统计AB试题及答案1．（12分）设总体X服从参数为λ的指数分布，其密度f(x;λ)=λe^{-λx},x>0,λ>0。从该总体抽取容量n=10的样本X₁,…,X₁₀，记样本均值为X̄。（1）求2λnX̄的精确分布；（2）若观测得x̄=0.42，求λ的95%等尾置信区间；（3）检验H₀:λ=2vsH₁:λ≠2，显著性水平α=0.05，给出检验统计量、拒绝域与结论。解（1）指数分布属于Gamma族，λXᵢ～Exp(1)=Gamma(1,1)，于是∑_{i=1}^{10}λXᵢ～Gamma(10,1)。因此2λnX̄=2·10·λX̄=20λX̄～Gamma(10,2)=χ²(20)。答：2λnX̄～χ²(20)。（2）由（1）知20λX̄为枢轴量，取χ²分布双侧2.5%分位：χ²_{0.025}(20)=9.591，χ²_{0.975}(20)=34.170。P(9.591≤20λX̄≤34.170)=0.95⇒λ∈[9.591/(20·0.42),34.170/(20·0.42)]=[1.142,4.068]。95%置信区间(1.14,4.07)（保留两位小数）。（3）用似然比检验。指数族正则，对数似然ℓ(λ)=nlnλ−λnX̄。Score函数U(λ)=∂ℓ/∂λ=n/λ−nX̄，Fisher信息I(λ)=n/λ²。Wald统计量W=(λ̂−λ₀)²I(λ̂)=(1/X̄−2)²·nX̄²=10(1−2·0.42)²/0.42=3.31。χ²_{0.95}(1)=3.841，W<3.841，不拒绝H₀。结论：在0.05水平下没有充分证据认为λ不等于2。2．（14分）设(X,Y)服从二维正态，均值向量μ=(1,2)ᵀ，协方差Σ=[[4,2.4],[2.4,1]]。（1）求Y关于X的线性回归函数E(Y|X=x)；（2）求条件方差Var(Y|X=x)；（3）若观测得x=3，求P(Y>3.5|X=3)；（4）从该分布抽取n=5组独立样本(Xᵢ,Yᵢ)，记样本相关系数为R，求E(R)与Var(R)的近似表达式（保留n⁻¹阶项）。解（1）二元正态回归系数β=Σ_{XY}/Σ_{XX}=2.4/4=0.6，截距α=μ_Y−βμ_X=2−0.6·1=1.4。故E(Y|X=x)=1.4+0.6x。（2）条件方差σ²_{Y|X}=Σ_{YY}−Σ_{XY}²/Σ_{XX}=1−(2.4)²/4=1−1.44=0.56。（3）当x=3，条件分布Y|X=3～N(1.4+0.6·3,0.56)=N(3.2,0.56)。标准化Z=(3.5−3.2)/√0.56=0.3/0.748≈0.401。P(Y>3.5|X=3)=1−Φ(0.401)=0.344。（4）对于二元正态，样本相关系数R的期望与方差经典结果为E(R)=ρ−ρ(1−ρ²)/(2n)+O(n⁻²)，Var(R)=(1−ρ²)²/n+O(n⁻²)。此处ρ=Σ_{XY}/√(Σ_{XX}Σ_{YY})=2.4/√(4·1)=1.2/2=0.6。故E(R)≈0.6−0.6·(1−0.36)/(2·5)=0.6−0.6·0.64/10=0.562，Var(R)≈(1−0.36)²/5=0.4096/5=0.0819。3．（12分）设X₁,…,Xₙ独立同分布于U(0,θ)，θ>0未知。（1）求θ的极大似然估计θ̂；（2）求θ̂的密度函数，并证明(n+1)θ̂/n为无偏估计；（3）计算θ̂的均方误差MSE(θ̂)；（4）构造一个形如[cθ̂,θ̂]的1−α置信区间，使区间长度最短，求c。解（1）似然L(θ)=θ⁻ⁿI_{θ≥X_{(n)}}，在θ=X_{(n)}处取最大，故θ̂=X_{(n)}。（2）X_{(n)}的cdf为F_{(n)}(t)=(t/θ)ⁿ,0<t<θ，密度f_{θ̂}(t)=nt^{n−1}/θⁿ,0<t<θ。期望E(θ̂)=∫₀^θt·nt^{n−1}/θⁿdt=nθ/(n+1)。因此(n+1)θ̂/n为无偏估计。（3）MSE(θ̂)=E(θ̂−θ)²=E(θ̂²)−2θE(θ̂)+θ²。先算E(θ̂²)=∫₀^θt²·nt^{n−1}/θⁿdt=nθ²/(n+2)。于是MSE=nθ²/(n+2)−2θ·nθ/(n+1)+θ²=θ²[n/(n+2)−2n/(n+1)+1]=θ²[n(n+1)−2n(n+2)+(n+1)(n+2)]/[(n+1)(n+2)]=θ²[n²+n−2n²−4n+n²+3n+2]/[(n+1)(n+2)]=2θ²/[(n+1)(n+2)]。（4）取枢轴量Y=θ̂/θ，其cdf为P(Y≤y)=yⁿ,0<y<1。对1−α置信区间，需P(cθ̂≤θ≤θ̂)=P(θ̂≤θ≤θ̂/c)=P(Y≤1)−P(Y≤c)=1−cⁿ=1−α⇒c=α^{1/n}。区间[α^{1/n}θ̂,θ̂]长度θ̂(1−α^{1/n})随c增大而减小，故取c=α^{1/n}即最短。4．（14分）某芯片厂欲比较两条工艺A、B对晶圆缺陷数的影响。独立抽取10片A工艺晶圆，平均缺陷28.4，样本方差26.2；抽取12片B工艺晶圆，平均缺陷22.7，样本方差18.5。假定缺陷数服从泊松分布，但样本量较小，需用正态近似。（1）检验H₀:μ_A=μ_BvsH₁:μ_A≠μ_B，α=0.05；（2）给出μ_A−μ_B的95%置信区间；（3）若实际关心的是A是否比B多3个缺陷，检验H₀:μ_A−μ_B=3vsH₁:μ_A−μ_B≠3；（4）计算（3）中检验的p值。解记X̄=28.4,S_X²=26.2,n=10；Ȳ=22.7,S_Y²=18.5,m=12。泊松均值大时可用正态近似，方差等于均值，故可用样本方差估计。（1）检验统计量T=(X̄−Ȳ)/√(S_X²/n+S_Y²/m)=(28.4−22.7)/√(26.2/10+18.5/12)=5.7/√(2.62+1.5417)=5.7/√4.1617=5.7/2.04=2.79。自由度用Welch–Satterthwaiteν=(2.62+1.5417)²/[(2.62²/9)+(1.5417²/11)]=4.1617²/[0.761+0.216]=17.32/0.977=17.7≈18。双侧t_{0.975}(18)=2.101，|T|>2.101，拒绝H₀。结论：两工艺缺陷数均值显著不同。（2）95%置信区间(X̄−Ȳ)±t_{0.975}(18)·SE=5.7±2.101·2.04=5.7±4.29→(1.41,9.99)。（3）检验H₀:μ_A−μ_B=3，统计量T'=(5.7−3)/2.04=2.7/2.04=1.32。临界值仍为±2.101，|T'|<2.101，不拒绝H₀。（4）p值=2P(t(18)≥1.32)=2·0.101=0.202。5．（12分）设线性模型Y=Xβ+ε，ε～Nₙ(0,σ²I)，X为n×p列满秩。记H=X(XᵀX)⁻¹Xᵀ为帽子矩阵。（1）证明tr(H)=p；（2）证明Yᵀ(I−H)Y/σ²～χ²(n−p)；（3）若n=25,p=4，求E(||ε̂||²)与Var(||ε̂||²)，其中ε̂=Y−Xβ̂；（4）在（3）条件下，给出σ²的无偏估计及其方差。解（1）tr(H)=tr(X(XᵀX)⁻¹Xᵀ)=tr((XᵀX)⁻¹XᵀX)=tr(I_p)=p。（2）I−H对称幂等，秩n−p，且(I−H)X=0，故(Y−Xβ)ᵀ(I−H)(Y−Xβ)/σ²=εᵀ(I−H)ε/σ²～χ²(n−p)。又Yᵀ(I−H)Y=(Y−Xβ)ᵀ(I−H)(Y−Xβ)，因为(I−H)X=0。得证。（3）||ε̂||²=Yᵀ(I−H)Y=εᵀ(I−H)ε。E(||ε̂||²)=E[εᵀ(I−H)ε]=σ²tr(I−H)=σ²(n−p)=21σ²。Var(||ε̂||²)=Var(εᵀ(I−H)ε)=2σ⁴tr((I−H)²)=2σ⁴tr(I−H)=2σ⁴(n−p)=42σ⁴。（4）σ²的无偏估计为σ̂²=||ε̂||²/(n−p)=||ε̂||²/21，Var(σ̂²)=Var(||ε̂||²)/(n−p)²=42σ⁴/21²=2σ⁴/21。6．（12分）为研究温度（°C）对某合金电阻Y(μΩ)的影响，测得8组数据：温度x:2025303540455055电阻y:4.214.655.025.505.886.306.757.20假定模型Yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ，εᵢiidN(0,σ²)。（1）求β₀,β₁的最小二乘估计；（2）给出σ²的无偏估计；（3）检验H₀:β₁=0vsH₁:β₁≠0，α=0.01；（4）预测x=60°C时电阻的99%置信区间。解n=8，x̄=37.5，ȳ=5.688，S_{xx}=∑(xᵢ−x̄)²=700，S_{xy}=∑(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)=43.4，S_{yy}=∑(yᵢ−ȳ)²=7.252。（1）β̂₁=S_{xy}/S_{xx}=43.4/700=0.0620，β̂₀=ȳ−β̂₁x̄=5.688−0.062·37.5=5.688−2.325=3.363。（2）σ̂²=(S_{yy}−β̂₁S_{xy})/(n−2)=(7.252−0.062·43.4)/6=(7.252−2.691)/6=4.561/6=0.760。（3）t统计量t=β̂₁/(σ̂/√S_{xx})=0.062/√(0.760/700)=0.062/0.0330=1.88。双侧t_{0.995}(6)=3.707，|t|<3.707，不拒绝H₀。（4）x₀=60，预测值ŷ₀=3.363+0.062·60=7.083。预测方差Var(ŷ₀)=σ̂²[1/n+(x₀−x̄)²/S_{xx}]=0.760[0.125+(22.5)²/700]=0.760[0.125+0.723]=0.760·0.848=0.644。标准误0.802，t_{0.995}(6)=3.707，99%区间7.083±3.707·0.802→(4.11,10.06)。7．（12分）设随机变量X的密度为f(x;θ)=θ(1+x)^{−(θ+1)},x>0,θ>0。（1）求θ的矩估计θ̃；（2）求θ的极大似然估计θ̂；（3）计算Fisher信息I(θ)；（4）比较θ̃与θ̂的渐近相对效率ARE(θ̃,θ̂)。解（1）先算一阶矩E(X)=∫₀^∞xθ(1+x)^{−(θ+1)}dx令u=1+x，得θ∫₁^∞(u−1)u^{−(θ+1)}du=θ[∫₁^∞u^{−θ}du−∫₁^∞u^{−θ−1}du]=θ[1/(θ−1)−1/θ]=1/(θ−1),θ>1。令X̄=1/(θ−1)⇒θ̃=1+1/X̄。（2）对数似然ℓ(θ)=nlnθ−(θ+1)∑ln(1+Xᵢ)。令导数为零∂ℓ/∂θ=n/θ−∑ln(1+Xᵢ)=0⇒θ̂=n/∑ln(1+Xᵢ)。（3）计算二阶导∂²ℓ/∂θ²=−n/θ²，I(θ)=−E[∂²ℓ/∂θ²]=n/θ²。（4）矩估计渐近方差用Delta法：令g(μ)=1+1/μ，μ=E(X)=1/(θ−1)，g'(μ)=−1/μ²，Var(θ̃)≈[g'(μ)]²Var(X̄)=Var(X)/(nμ⁴)。先算E(X²)=∫₀^∞x²θ(1+x)^{−θ−1}dx=θ∫₁^∞(u−1)²u^{−θ−1}du=θ[∫₁^∞u^{−θ+1}du−2∫₁^∞u^{−θ}du+∫₁^∞u^{−θ−1}du]=θ[1/(θ−2)−2/(θ−1)+1/θ],θ>2。Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=θ[1/(θ−2)−2/(θ−1)+1/θ]−1/(θ−1)²经化简得Var(X)=θ/[(θ−1)²(θ−2)]。于是Var(θ̃)≈[1/μ⁴]·θ/[(θ−1)²(θ−2)]·1/n=θ(θ−1)²/[n(θ−2)]。MLE的渐近方差为I(θ)^{-1}=θ²/n。ARE=lim_nVar(θ̂)/Var(θ̃)=[θ²/n]/[θ(θ−1)²/(n(θ−2))]=θ(θ−2)/(θ−1)²。当θ→∞，ARE→1；θ→2⁺，ARE→0。8．（12分）某电商平台想评估新版推荐算法对GMV的提升效果。随机抽取100个时段，每时段30min，分别记录旧算法GMV(X)与新算法GMV(Y)，得d̄=x̄−ȳ=−0.42万元，样本标准差S_d=1.35万元。假定差值D_i=X_i−Y_i独立同分布于N(μ_D,σ²)。（1）检验H₀:μ_D=0vsH₁:μ_D<0，α=0.05，即判断新算法是否显著提升GMV；（2）