高级统计师历年试题及答题思路

高级统计师历年试题及答题思路【真题一】背景：某省统计局对2021年规模以上工业企业研发（R&D）投入进行抽样调查，采用分层PPS抽样，共抽取1200家企业。已知全省共有3个行业层，层内企业数分别为4200、6800、9000家，层内研发强度（R&D经费/营业收入）均值分别为2.1%、1.8%、1.2%，层内标准差分别为0.8%、0.7%、0.5%。调查后获得样本均值分别为2.3%、1.9%、1.3%，样本量分别为300、400、500家。问题：1.估计全省平均研发强度及其抽样标准误；2.若2021年全省规模以上工业企业营业收入合计5.8万亿元，估计全省R&D经费总量及其95%置信区间；3.若2022年欲将总量估计的相对误差控制在3%以内，置信水平95%，求所需样本量（假定分层比例与2021年相同，层内标准差不变）。答案与解析1.分层估计层权W_h=N_h/N，N=4200+6800+9000=20000W_1=0.21，W_2=0.34，W_3=0.45全省均值估计Ŷ=ΣW_h·ȳ_h=0.21×2.3%+0.34×1.9%+0.45×1.3%=1.73%抽样方差V(Ŷ)=ΣW_h²(1–n_h/N_h)S_h²/n_h代入：V(Ŷ)=0.21²×(1–300/4200)×0.008²/300+…=1.02×10⁻⁷标准误SE=√V=0.032个百分点2.总量估计总量Ĉ=营业收入×Ŷ=5.8万亿×1.73%=1003.4亿元95%置信区间：Ĉ±1.96×营业收入×SE=1003.4±1.96×5.8×10⁴×0.00032=[967.0,1039.8]亿元3.样本量设计相对误差r=0.03，Z=1.96总量允许绝对误差d=r×Ĉ=0.03×1003.4=30.1亿元由d=Z·√V_total反推V_total=(d/Z)²=236.6又V_total=N²·ΣW_h²(1–n_h/N_h)S_h²/n_h令n_h=n·W_h，整理得n=N²·ΣW_hS_h²/[V_total+NΣW_hS_h²]计算分子2.0×10⁴²×(0.21×0.008²+…)=1.33×10⁵分母236.6+2.0×10⁴×0.000066=1566.6n≈85家，远小于1200，说明2021年样本已足够。但“相对误差3%”针对的是总量，需重新按总量公式迭代：n_opt=(ZS_total/d)²，其中S_total²=ΣN_h²W_hS_h²=1.33×10⁵得n_opt≈1920家。结论：2022年需扩大至约1920家，层内按比例分配。【真题二】背景：某市2020年1月至2021年12月新建商品住宅月度网签量呈现明显季节波动。现建立SARIMA模型，经ADF检验原始序列I(1)，一阶差分后平稳；ACF与PACF显示差分后序列在lag=12处显著，且呈几何衰减。问题：1.写出可能的SARIMA阶数(p,d,q)(P,D,Q)_s；2.给出建模步骤与诊断流程；3.若最终拟合SARIMA(1,1,1)(1,0,1)₁₂，系数φ₁=0.62，Φ₁=0.55，θ₁=-0.41，Θ₁=-0.38，求2022年1月（t+1）的95%预测区间，已知2021年12月实际值28.4万m²，模型残差标准差σ̂=2.1万m²。答案与解析1.阶数判定d=1（一阶差分平稳），D=0（季节差分未显著）；s=12。差分后ACF在lag=12显著且衰减→P≥1,Q≥1；PACF在lag=1截尾→p=1；ACF在lag=1截尾→q=1。初步候选：SARIMA(1,1,1)(1,0,1)₁₂或(0,1,1)(1,0,1)₁₂。2.建模步骤①数据清洗：剔除异常值、填补缺失；②平稳化：对数化→差分(1)→季节差分(0)检验；③定阶：用AICc比较(p,q)(P,Q)组合，限制p,q,P,Q≤2；④估计：最大似然，必要时用CSS初值；⑤诊断：Ljung-BoxQ(24)p>0.05，残差ACF无显著；⑥预测：滚动原点验证MAPE<8%。3.预测区间模型写为(1−0.62L)(1−0.55L¹²)Δy_t=(1+0.41L)(1+0.38L¹²)ε_t2022年1月点预测ŷ_{t+1}=y_t+φ₁Δy_t+Φ₁Δy_{t−11}−θ₁ε_t−Θ₁ε_{t−11}代入最新观测与残差，得ŷ=29.7万m²95%区间：ŷ±1.96σ̂=[25.6,33.8]万m²。【真题三】背景：某大型电商平台欲评估“618”大促对月度GMV的因果效应，采用2019–2021年36个月面板数据，其中2020年6月、2021年6月为大促月。平台引入双重差分法，以2019年6月作为基准，选择“非6月”作为对照组，使用省份×商品类二维固定效应。问题：1.写出DID回归方程，并解释核心系数；2.列出识别假设与检验方法；3.若平行趋势检验显示2019年4月、5月交互项显著，该如何修正；4.给出一种基于合成控制（SCM）的稳健性思路。答案与解析1.方程lnGMV_{ipt}=α+β₁Treat_i×Post_t+β₂Treat_i+β₃Post_tγ_{ip}+λ_{pt}+ε_{ipt}其中Treat_i=1表示6月，Post_t=1表示2020年3月之后；核心系数β₁即大促净效应。2.识别假设①平行趋势：若无大促，处理组与对照组GMV趋势相同；②无同时期冲击：除大促外无其他6月特异性政策；③稳定处理效应：大促效应不随时间漂移。检验：画事件研究图，检验Pre交互项联合显著性；用placebo测试把大促提前1个月。3.平行趋势失败修正①加入省份×月份线性趋势交互；②只保留2019年7–12月与2020年7–12月作为对照，删除4–5月；③改用Callaway&Sant’Anna多期DID估计量，允许每期的ATT异质。4.SCM思路将2021年6月作为处理期，以2021年1–5月及2019年全年共17个月作为预测变量，选取权重w_j使得合成GMV与真实GMV在预处理期RMSE最小，然后外推2021年6月反事实，差值即为SCM估计效应。可用安慰剂检验：对每个非6月构造伪处理，验证SCM能否恢复零效应。【真题四】背景：国家人口普查事后质量抽查采用双系统估计（DSE）评估漏登率。抽查区抽取500个普查小区，共登记12.4万人；独立调查登记12.0万人；两系统匹配11.2万人。问题：1.计算漏登率估计值及其标准误；2.若匹配错误率为1.5%，修正后的漏登率；3.讨论DSE的“独立性”假设不满足时的偏误方向；4.给出一种基于捕获—再捕获的贝叶斯层次模型框架。答案与解析1.DSEN̂=(C×P)/M=(12.4×12.0)/11.2=13.29万人漏登率Ĝ=(N̂−C)/N̂=6.7%方差（Seber公式）V(N̂)=N̂²[1/C+1/P−1/M]=13.29²×(0.0807+…)=0.042万²SE=0.205万人漏登率标准误SE_G≈SE/N̂=1.5个百分点2.匹配错误假阳性1.5%×12.0=0.18万，假阴性同理。修正匹配数M′=11.2−0.18+0.18×(12.4/12.0)≈11.20万（近似抵消）故Ĝ几乎不变，但方差增大：V_new=N̂²[1/C+1/P−1/M′+2θ/(M′)²]θ为匹配误差协方差，取0.02，得SE_G升至1.7个百分点。3.独立性不满足若普查与抽查存在正向依赖（如亲属代报），M被高估→N̂低估→漏登率低估；反之负向依赖则高估。4.贝叶斯层次模型层一：捕获数C_i~Bin(N_i,p_i)，P_i~Bin(N_i,r_i)层二：logitp_i=α_p+u_i，logitr_i=α_r+v_i(u_i,v_i)服从二元正态，允许相关性ρ刻画依赖；层三：N_i~Poisson(λ_i)，λ_i用人口密度、城镇化率作协变量；MCMC拟合后，posteriormeanof1−C_i/N_i即为小区漏登率，可汇总全国。【真题五】背景：某金融机构构建企业违约预警模型，样本8000家中小企业，其中800家违约。采用LASSO-Logistic筛选变量后，保留42个财务与15个非财务指标，再用随机森林（RF）集成，最终AUC=0.924。问题：1.解释AUC与PR曲线差异，何时应看PR；2.给出一种针对极端不平衡的代价敏感学习方案；3.若监管要求可解释性，列出三种事后解析方法并比较；4.设计一个基于Shapley值的变量重要性抽样算法，降低计算量。答案与解析1.AUC对类别平衡不敏感，PR曲线在稀有事件更直观；当违约率<5%时，PR曲线微小抬升即意味召回率大幅提升，因此监管审查应同时报告PR-AUC。2.代价敏感①在RF节点分裂时使用加权基尼，违约权重10:1；②在损失函数层面用focalloss，γ=2，α=0.9；③合成少数类：SMOTE仅对训练集生成，交叉验证保持验证集真实分布。3.可解释a)置换重要性：打乱某变量后AUC下降幅度，计算快但高相关时失真；b)SHAP交互汇总：给出每个样本的边际贡献，兼容非线性；c)LIME局部线性近似：对单条贷款生成稀疏解释，易于口头告知客户。4.快速Shapley采用MonteCarlo采样：对每一树模型，每次随机排列变量顺序，计算边际贡献，重复m=128次，得近似Ø_i。进一步优化：只采样非零路径，对深度>8的叶节点剪枝；使用antitheticvariates减少方差；并行GPU加速，8000样本×57变量耗时2.3秒（A100）。【真题六】背景：某市地铁刷卡数据2021年9月共1.2亿条，字段含卡ID、线路、站点、时间。欲估计早高峰（7–9点）各站点进站人数，并识别异常大客流。问题：1.给出基于MapReduce的并行计算框架伪代码；2.设计一种无需阈值的异常检测算法；3.若需保护乘客隐私，给出差分隐私实现细节；4.讨论刷卡数据与手机信令数据在估计真实人口流动时的系统差异。答案与解析1.MapReducemap(key,record):if7≤hour<9:emit(station,1)reduce(station,counts):sumcounts→station_totalCombiner本地聚合，减少shuffle量；二次map对station_total排序，输出Top-20。2.无阈值异常采用孤立森林（iForest）:特征：站点7–9点进站均值、方差、熵、周同比增幅；子采样256条，树数500，异常得分s>0.6即标记；无需先验阈值，得分归一化。3.差分隐私在reduce阶段加Laplace噪声：sensitivityΔ=1（单条记录改变最多影响1），ε=0.1，噪声scaleb=Δ/ε=10，发布̃count=true_count+Lap(10)，post-processing将负值置0，保证无偏。4.系统差异刷卡：覆盖率高但缺失无卡儿童、外地游客；信令：含全年龄但基站漂移导致空间误差100–300米；工作日早高峰两者相关系数0.87，节假日降至0.62；建议贝叶斯融合：以刷卡为基准，信令作空间平滑先验。【真题七】背景：国家卫健委开展癌症登记漏报调查，采用三阶段抽样：第一阶段抽区县（PPS与人口成比例），第二阶段抽乡镇（与肿瘤发病数成比例），第三阶段抽村（简单随机）。最终样本180村，查得2019年新发癌症2140例，户籍人口42万；同期登记系统上报1980例。问题：1.估计全国漏报率及95%置信区间；2.若第一阶段仅抽中东部区县，讨论估计偏差；3.给出一种基于模型辅助的校准估计；4.若第三阶段无回答率12%，给出加权调整方案。答案与解析1.漏报率样本漏报比例p̂=(2140−1980)/2140=7.48%设计效应deff≈1+(m̄−1)ρ，m̄=10村/区县，ρ=0.02，deff=1.18SE=√[p̂(1−p̂)/n×deff]=0.62%95%CI:[6.3%,8.7%]2.地域偏差东部发病率高、医疗记录完整，漏报率低于中西部；估计量向下偏，需构建事后分层权重，以2015年全国抽样调查地域发病率为辅助变量。3.模型辅助建立logistic模型：logit(漏报)=β₀+β₁(人均GDP)+β₂(每百万人医生数)用人口普查县域协变量预测漏报概率，GREG校准权重：w_i=w_{s,i}×(X_pop/X̂_{sam})，使估计总量与已知人口结构一致。4.无回答调整第三阶段12%无回答，用logistic倾向模型预测回答概率π_i，逆概率权重IPW=1/π_i，再叠加入非响应分层，将村按东中西、城乡分6层，层内校准，最终权重：w_{final}=w_{s,i}×IPW×校准因子。【真题八】背景：某高校欲评估“线上教学”对本科生成绩的影响，利用2020年春季学期疫情自然实验，处理组3120人（线上），对照组20