安徽省合肥市2025-2026学年高一数学上学期期中试题含解析

（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位．2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出两集合，再根据交集和补集的含义即可得到答案.【详解】，或，则，则.故选：D.2.使“”成立的必要不充分条件是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】【分析】根据分式不等式的解法，求得，结合选项，即可求解.【详解】由不等式，即，解得，结合选项，可得不等式成立的必要不充分条件是.故选：C.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域求法，即可列式求解.【详解】函数的定义域满足不等式,解得且,则函数的定义域为;故选：A4.如图为函数的图象，则的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案.【详解】当时，则，由函数图象，时，，所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C.故选：D.5.已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件可得在上单调递减，列出不等式代入计算，即可得到结果.【详解】因为对任意，当时，都有成立，所以在上单调递减，则，即，所以.即实数的取值范围是.故选：A6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法，结合已知数据，即可比较大小.【详解】∵，∴，∴；又，∴，又均为正数，∴，∴，∴.故选：A.7.已知函数，则图象上关于原点对称的点有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【答案】C【解析】【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.故选：C8.已知正实数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得.【详解】由正实数，满足，所以，.，当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立.所以的最小值为.故答案为：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.命题，则命题的否定是：B.，则的最大值为1C.定义在上的函数为奇函数的充分条件是D.“且”是“”的充分不必要条件【答案】AD【解析】【分析】特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；举反例即可判断B选项；充分必要条件的判定：，则是的充分条件；，则是的必要条件条件；判断C，D选项.【详解】A选项：命题，则命题的否定是，A选项正确；B选项：举例，满足，但是该函数最大值为0，并不是1，故B错误；C选项：在0处函数值为0的函数不一定是奇函数，例如，所以充分性不成立，C选项错误；D选项：当且时，成立，满足充分条件；当时，且不成立，例如，，故不是且的必要条件；所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确.故选：AD.10.下列命题是真命题的为（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】对A、C、D：根据不等式的性质结合作差法逐项判断，对B：根据幂函数的单调性判断.【详解】对A：若，则，所以，A正确；对B：在上单调递增，若，则，即，B正确；对C，，若，则，，即，C错误.对D：，当且仅当，即时，等号成立，则成立，D正确；故选：ABD.11.已知定义在上的函数满足：，且，，则下列说法正确的是（）（注：分别表示对应函数的平方）A.B.C.为奇函数D.的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确.【详解】对于A，取，则，A正确；对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意，不恒等于，令，则，，故B错误；对于D，将代入A中式子可得：，即，，令，则，即，为定义在上偶函数，；令，则，令，则，即，，的图象关于点对称，D正确；对于C，取，，则，由D知：，，为奇函数，C正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____【答案】或【解析】【分析】分与进行讨论即可得.【详解】当时，，则，故，符合要求；当时，，令，解得；综上所述：满足条件的实数为或.故答案为：或.13.______．【答案】【解析】【分析】根据对数运算法则和性质即可计算.详解】.故答案为：.14.已知偶函数的定义域为，已知当时，，若，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】由，可得，令，从而可得出函数在上得单调性，再判断函数的奇偶性，结合，求得，而所求不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案.【详解】解：当时，由，得，令，当时，，则，所以函数在上递减，因为函数为偶函数，所以，则，所以函数也是偶函数，因为，所以，不等式可化为，即，所以，解得，所以的解集为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.设集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先得出，然后按照是否为空集分类讨论；（2）根据题意，可将问题转化成的讨论，再利用正难则反的思想，先计算出的范围，再求其补集即可.【小问1详解】，根据可知，，有两种情况：若，则，解得；若，根据可得，解得.综上可得，实数的取值范围为.【小问2详解】若存在实数x，使同时成立，即，考虑正难则反，先求，有两种情况：若，则，解得；若且时，则有，解得，或，解得，综上可得当时，或，则当时，.则实数的取值范围.16.我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）；（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.【解析】【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数；（2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可.【小问1详解】当时，，当时，，所以.【小问2详解】当时，，当时，万元，当时，，当且仅当，即时等号成立，万元.即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.17.已知幂函数在定义域上不单调．（1）求函数的解析式；（2）函数是否具有奇偶性？请说明理由；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）奇函数，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解.（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.【小问1详解】由幂函数，得，解得或，若，则在定义域内单调递增，不合题意；若，则在定义域内单调递减，但在定义域内不单调，符合题意；所以函数的解析式为.【小问2详解】函数为奇函数，理由如下：函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数.【小问3详解】由及为奇函数，得，即，而在上递减且恒负，在上递减且恒正，所以或或，解得或，所以实数的取值范围.18.已知函数是定义在上的奇函数且（1）求函数的解析式；（2）判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；（3）设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值.【答案】（1）（2）函数在上增函数，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于a、b方程，解之即可求得a、b的值，进而得到函数的解析式；（2）利用函数单调性定义去证明函数在上为增函数；（3）利用函数在上为增函数，构造关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.【小问1详解】由在上的奇函数，所以，则，则由，得，所以.经检验符合题意；【小问2详解】函数在上增函数，证明如下：设，且，则，又，所以，因为，所以，所以，则，故函数在上增函数；【小问3详解】，使得成立，即，使得成立，即，∵，即，使得成立，，使得，即，且，即且，当时，，即且，解得：.19.定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）是上的有界函数；理由见解析（2）（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数；（2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案；（3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案.【小问1详解】是上的有界函数，理由如下：当时，，当时，，由对勾函数性质得或，或，或，∴的值域为，，∴存在，使得，所以是上的有界函数；【小问2详解】由题意可知在上恒成立，，，即，∴在上恒成立，∴．设，，，由，得．∵在上单调递减，在上是单调递增，∴在上，，．所以，实数a的取值范围是.【小问3详解】，∵，，∴在上递增，根据复合函数的单调性可得在上递减，∴，∴h(x)存在上界.①若，两边平方整