人教A版高二下学期数学（必修二）《6.3.1平面向量基本定理》同步练习题及答案

第第页人教A版高二下学期数学（必修二）《6.3.1平面向量基本定理》同步练习题及答案一、必备知识基础练1.(探究点一)设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,42.(探究点二(角度1))如图所示,在△ABC中,AD=23AB,BE=12BC,则A.13AC−C.12AC−3.(探究点二(角度1))如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<04.(探究点二(角度1)·2025四川泸州高一期中)如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,2BD=3DC,则AD=()A.25a+35b B.25aC.25b+35a D.25b5.(多选题)(探究点三)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是()A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点OD.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)6.(探究点二(角度1)·2025山东济宁高一期中)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD上靠近A的三等分点,则BE=()A.34AB−C.56AB−7.(探究点二(角度2))已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.

8.(探究点二(角度2)·2025江苏南京高一期中)在平行四边形ABCD中,CM=2MD,AM交BD于点Q,若AQ=λAD+μAC,则λ+μ=.

9.(探究点一)设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,表示向量c=3e1-e2.10.(探究点二(角度2))在△ABC中,∠BAC=120°,AB=3,AC=1,D是边BC上一点,CD=2BD,设AB=a,AC=b.(1)试用a,b表示AD;(2)求AD·二、关键能力提升练11.在△ABC中,AB=4,AC=2,点M是边BC的中点,则BC·A.-6 B.6 C.-8 D.812.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点,若AP=mA.13 B.23 C.2 13.如图,在△ABC中,AD=DB,AE=13EC,若DE=A.8 B.4 C.2 D.114.如图,在△ABC中,BM=2MC,N为线段AM上一点,且AN=(1-λ)AB+λ3A.34 B.25 C.5615.已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,OA=(3,1),将OA绕O点逆时针旋转π6弧度得到OB,则点B的坐标为16.(2025山东潍坊高一期中)如图,在平行四边形ABCD中,P,Q分别为线段BC,CD的中点.(1)若AC=λAP+μBQ,求λ,μ的值;(2)若AB=2,AD=1,∠BAD=60°,求AP与三、学科素养创新练17.在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,记AB=a,AD=b,M是线段BD上一点,N是线段DC上一点,且A,M,N三点共线.若ANAM=3参考答案1.D因为向量e1与e2不共线,所以3x=42.DDE=DB+BE3.B如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB,则OA=mOP1,OB=nOP4.A由2BD=3DC,可得BD=35BC,AD=AB故选A.5.BCD由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.6.D如图,BE=BA+AE=BA+137.-2∵点P在直线AB上,且OP=3OA+xOB,∴3+x=1,∴x=-2.8.34如图,在▱ABCD中,DM∥AB,则△DQM∽△BQA,因为CM=2MD,所以DMAB=QMAQ=13,所以AQ=34AM=34(AD+DM)=349.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得λ所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一个基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+n,-1=-2m+310.解(1)∵D是边BC上一点,CD=2BD,∴BD=13BC,又∵AB=a,AC=b,得BC=b-a,∴AD=AB+BD=AB+13BC=a(2)∵|a|=|AB|=3,|b|=|AC|=1,∠BAC=120°,∴a·b=|a|·|b|cos∠BAC=-32,AD·BC=(23a+13b)·(b-a)=13b2+13a11.A∵在△ABC中,点M是边BC的中点,∴AM=12(AB+AC).∴BC·AM=12(AC−AB)·(AB+AC)=1212.A设BP=λBD,因为AD=13DC,所以AD=14AC,则AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+13.A因为DE=DA+AE,AD=DB,AE=13EC,所以DE=12BA+14AC=12BA+14(14.D因为BM=2MC,所以BM=23BC,所以AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+所以1-λ=t3,λ315.(1,3)设与x轴方向相同的单位向量为i,由题意,|OB|=|OA|=12+(3)2=2,所以OA与i的夹角θ的正弦值为sinθ=12,故θ=π6,所以由题意得OB与i的夹角为π6+π6=π316.解(1)因为P,Q分别为BC,CD的中点,所以AP=AB+于是AC=λAP+μBQ=λ(AB+12AD)+μ(-12AB+AD)=(λ-12μ)AB又AC=AB+AD,AB,AD不共线,由平面向量基本定理得λ-(2)由(1)可知AP=AB+所以|AP|=AB2+14AD2+2×12AB·AD=4+14+2×12×2×1×12=212.同理|BQ|=(-12AB所以cos<AP,BQ>=AP·17.b+12a43设DN=λAB,λ∈[0,1],则AN=b+λa,若ANAM=32,则AM因为B,M,D三点共线,则23+23λ=1,得λ=12,所以AN=b+λa=设ANAM=μ,μ∈[1,2],则AM=1μAN又B,M,