人教A版高二下学期数学（必修二）《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》同步练习题及答案

第第页人教A版高二下学期数学（必修二）《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》同步练习题及答案一、必备知识基础练1.(探究点一(角度1))已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=()A.-5 B.-3 C.3 D.52.(探究点二)已知BA=3CA,且AC=(-2,1),则|AB|=()A.43 B.32 C.33 D.353.(探究点一(角度1))已知向量a=(2,n),b=(-1,2),c=(n,n),若a∥b,则a·(2b+c)=()A.-12 B.24 C.-24 D.124.(探究点三)设向量a=(3,1),b=(x,-3),c=(1,-3).若b⊥c,则a-b与c的夹角为()A.0° B.30° C.60° D.90°5.(多选题)(探究点二、三·2025河北保定高一期中)已知向量a=(4,2),b=(-6,2),则()A.|a+b|=20B.与向量a共线的单位向量是(25C.(a+b)⊥aD.向量a在向量b上的投影向量是-126.(探究点二)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.

7.(探究点二、三)设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=,cosθ=.

8.(探究点一(角度2)·2025浙江舟山高一期末)在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2CD=2,点F是BC边上的中点,点E是CD边上一个动点(包括端点C,D),则EA·EF的取值范围是9.(探究点一(角度2)·2025广东深圳高一期中)在边长为1的正方形ABCD中,点E为线段CD上靠近点C的三等分点,BE=λBA+μBC.(1)求λ+μ的值;(2)若F为线段BE上的动点,点F可以与点B,E重合,G为AF的中点,求AF·二、关键能力提升练10.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是()A.若a∥b,则t的值为-1B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2C.|a+b|的最小值为1D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是(-∞,2)11.已知菱形ABCD的对角线相交于点O,点E为AO的中点,若AB=2,∠BAD=60°,则AB·A.-2 B.-12 C.-72 12.(多选题)已知向量a=(sinθ,cosθ),b=(1,3),c=(3,3),则下列选项正确的是()A.若a∥b,则θ=πB.b在c上的投影向量为12C.存在θ,使得a在c-b上的投影向量的模为1D.|a-b|的取值范围为[1,3]13.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc).若p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为.

14.(2025天津南开高一期中)已知扇形AOB半径为1,∠AOB=60°,AB上的点P满足OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值是 ;PA·PB的最小值是15.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t三、学科素养创新练16.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(22,-22),n=(sinx,cosx),x∈(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x参考答案1.B∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B.2.D由BA=3CA,得AB=3AC,又AC=(-2,1),所以AB=3AC=(-6,3),故|AB|=(-6)2+32=3.A因为a∥b,所以2×2-(-1)×n=0,解得n=-4,故a=(2,-4),c=(-4,-4),所以a·(2b+c)=(2,-4)·[2×(-1,2)+(-4,-4)]=(2,-4)·(-6,0)=-12.故选A.4.D根据题意,设a-b与c的夹角为θ,b=(x,-3),c=(1,-3),b⊥c,则b·c=x+33=0,解得x=-33,则b=(-33,-3),a-b=(43,4),则(a-b)·c=(43,4)·(1,-3)=43-43=0,所以(a-b)⊥c.因为θ∈[0°,180°],所以θ=90°.故选D.5.CD因为a=(4,2),b=(-6,2),所以a+b=(4,2)+(-6,2)=(-2,4),则|a+b|=(-2)2+42又|a|=42+22=25,则与向量a共线的单位向量为±a|a|,即(255,5因为(a+b)·a=4×(-2)+2×4=0,所以(a+b)⊥a,C正确;因为a·b=4×(-6)+2×2=-20,|b|2=(-6)2+22=40,所以向量a在向量b上的投影向量是a·b|b|2·b=-126.-2(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.7.21设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,-1),∴2x-3=-1,2y-3=-1,解得x8.[-116,12]以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则设E(x,1),x∈[0,1],EA=(-x,-1),EF=(32-x,-12),所以EA·EF=x(x-32)+12=(x-因为x∈[0,1],所以EA·EF=(x-34)2-116∈[9.解(1)以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(-1,1),E(-13,1),可得BA=(-1,0),BC=(0,1),BE=(-1因为BE=λBA+μBC=(-λ,μ),则-λ=-13,μ(2)因为点F在线段BE:y=-3x,x∈[-13,0]上所以可设F(a,-3a),a∈[-13,0],且G为AF的中点,则G(a-12,-32a),可得AF=(a+1,-3a),DG=(a+12,-32a-1),则AF·DG=(a+1)22+(-3a)·(-32a-1)=5(a+25)2-3所以当a=-13时,AF·DG取到最小值,为10.D选项A中,若a∥b,则-2×t=1×1,即t=-12,选项A正确.选项B中,若|a+b|=|a-b|,两边平方并化简,得a·b=0,即-2+t=0,即t=2,选项B正确.选项C中,|a+b|=|(-1,1+t)|=(t+1)2+1,当t=-1时,有最小值1,选项C正确.选项D中,若a与b的夹角为钝角,则a·11.B如图,以点O为坐标原点,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由AB=2,∠BAD=60°,得A(0,3),B(-1,0),D(1,0),E(0,32),所以AB=(-1,-3),DE=(-1,3所以AB·DE=1-32=-1212.BCD对于A,若a∥b,则3sinθ-cosθ=0,则tanθ=33,故A错误对于B,b在c上的投影向量为(|b|cos<b,c>)c|c|=(|b|b·c|b|·|c对于C,c-b=(2,0),所以a在c-b上投影向量的模为|a||cos<a,c-b>|=|a·(c-b)||c-b|=|sinθ|,当θ=π2时,sinθ=1,所以存在θ,对于D,向量a=(sinθ,cosθ),b=(1,3),|a-b|=(sinθ-1)2+(cosθ-3)2=5-2sinθ-23cosθ=513.(-2,1)设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).∴x-2y=-4,14.23332−3由题设,构建如图所示的平面直角坐标系,且A(12,32),则P(cosθ,sinθ),OA=(12,32),OB=(1,0),OP=(cosθ,sinθ),由OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),得(cosθ,sinθ)=λ(12,32)+μ(1,0),即cosθ=λ2+μ,sinθ=32λ,解得λ=23sinθ,μ=cosθ-13sinθ,故λ+μ=13sinθ+cosθ=23(12sinθ+32cosθ)=23PA·PB=(12-cosθ,32-sinθ)·(1-cosθ,-sinθ)=(12-cosθ)(1-cosθ)+(32-sinθ)(-sinθ)=cos2θ-32cosθ+12+sin2θ-32sinθ=32−32sin所以当θ=π6时,PA·PB15.解(1)当α=π4时,b=22,22,a∴|m|=(a+tb)2=5+t2+2ta·(2)存在.假设存在满足条件的实数t.由条件得cosπ4=(a-b)·(a+tb)|a-b||a+tb|,∵a⊥b,∴a·b=0,则|a-b|=(a-b∴t2+5t