广东省潮州市2026届高三上学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省潮州市2026届高三上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx2−x−2≤0，B=xA.0,2 B.0,2 C.−1,2 D.0,12.已知i为虚数单位，复数z=m2−2m+mi(m∈R)是纯虚数，则m=A.2或0 B.2 C.0 D.−23.已知向量a=(1,1)，b=(−1,3)，则向量b在向量a上的投影向量为(

)A.(1,1) B.(−1,1) C.(0,1) D.(0,0)4.已知函数f(x)=x2−2x,x<02x,x≥0A.−2 B.1 C.5 D.75.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为正方形A1BA.0 B.34 C.126.若1,a1,a2,4成等差数列；1,A.−12 B.12 C.±7.从5名医生中选择4人参加为期三天的社区志愿服务活动，这三天中，有一天安排两人，另外两天各安排一人，共有(    )种安排方法A.180 B.90 C.36 D.308.过抛物线C:x2=4y焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过点A作C的切线l，交y轴于点M，过点B作l的平行线交y轴于点N，则MN的最小值是A.8 B.6 C.5 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据资料如下表：耕种深度x/cm810121416每公顷产量y/t6.07.57.89.29.5经计算可知每公顷产量y与耕种深度x的线性回归方程为y=0.435x+aA.每公顷产量与耕种深度呈负相关 B.耕种深度的平均数为12

C.每公顷产量的平均数为7.8 D.a10.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为6，点P为线段AA.三棱锥P−C1CD B.三棱锥P−B1D1D11.已知f(x)=x3+ax2+bx−2，若不等式f(x)<2A.ab=−2

B.函数f(x)的对称中心为(−1,0)

C.过点(−1,0)可作一条直线与曲线y=f(x)相切

D.当−2<x<−12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tan(α−π4)=3，则sin13.记O为坐标原点，若直线y=kx与圆x2+y2−2x−3=0交于A，B两点，且|OA|=2，则14.若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3成等差数列且满足1x1+1x2=2x3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外其余均相同．(1)从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸两次恰好只有第2次中奖的概率;(2)每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的分布列及数学期望．16.(本小题15分)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列．(1)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围;(2)若7sinA=3sinC17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为BC，PD中点．

(1)求证：MN//平面PAB；

(2)若PA=PB=5，平面PAB⊥平面ABCD，求平面AMN与平面DMN夹角的余弦值．18.(本小题17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点Q(−4,0)，且斜率不为0的直线l与E相交于两点A，B(A在B的左侧)，设直线F1A，F1B的斜率分别为 ①求证：k1k2为定值;

 ②设直线F1B，F219.(本小题17分)已知函数f(x)=(a+2)x−lnx(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)已知曲线y=af(x)x与曲线y=(a+1)2−参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.A

7.A

8.D

9.BD

10.ACD

11.BCD

12.−413.3214.1012

15.解：(1)设“摸2次恰好第2次中奖”为事件A，则P(A)=C42(C32+C31C21)C72C52=935．

所以摸2次恰好只有第2次中奖的概率为935．

(2)设“每次同时摸2个球，恰好中奖”为事件B，则P(B)=C32+C3X01234P161606001000625随机变量X的数学期望E(X)=0×16716.解：(1)因为a，b，c是公差为2的等差数列，

所以b=a+2，c=a+4，

所以a+(a+2)>(a+4)，则a>2，

其次，因为△ABC为锐角三角形，

所以最大角C∈(0,π2)，

所以cosC>0，则a2+b2−c22ab>0，

所以c2<a2+b2，即a2−4a−12>0，解得a>6；

(2)因为7sinA=317.(1)证明：取PA中点E，连接BE，NE，

∵△PAD中，E，N分别为PA，PD中点，

∴EN//AD且EN=12AD，

又正方形ABCD中，M为BC中点，

∴BM//AD，BM=12BC=12AD，

∴BM//EN且BM=EN，

∴四边形BMNE为平行四边形，∴BE//MN，

∵MN⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，

∴MN//平面PAB；

(2)解：取AB中点为O，CD中点为F，连接PO，OF，

∵△PAB中，PA=PB，∴PO⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，PO⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，

∴PO⊥平面ABCD，

又四边形ABCD为正方形，∴OF⊥AB，

以OB，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

∵PA=PB=5,AB=2，

∴A(−1,0,0),D(−1,2,0),M(1,1,0),N(−12,1,1)，

∴AM=(2,1,0),DM=(2,−1,0),MN=(−32,0,1)，

设平面AMN的法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则由n1⊥AM，n1⊥AN，可得n1⋅AM=0n1⋅MN=0，即2x18.解：(1)设椭圆的焦距为2c，则c=1，

又12⋅2c⋅b=3，则b=3，a2=b2+c2=4，得a=2

所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1．

(2) ①由Q(−4,0)，直线l的斜率存在且不为0．

设直线l的方程为x=my−4，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1<0，

联立x24+y23=1x=my−4得(3m2+4)y2−24my+36=0，

则Δ>0，y1+y2=24m3m2+4，y1y2=363m2+4

所以my1y2=32(y1+y2).

又F1(−1,0)，所以k1=y1x1+1，19.解：(1)a=2，f(x)=4x−lnx，f′(x)=4−1x，f(1)=4，即切点坐标(1,4)，切线斜率k=f′(1)=3，

故所求切线方程y−4=3(x−1)，即3x−y+1=0．

(2)∵f(x)=(a+2)x−lnx，∴f′(x)=a+2−1x=(a+2)x−1x，x>0．

当a+2≤0，即a≤−2时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，

当a+2>0，即a>−2时，在(0,12+a)上，f′(x)<0，在(12+a,+∞)上f′(x)>0，

f(x)在(0,12+a)上单调递减，在(12+a,+∞)上单调递增．

综上，a≤−2时，f(x)在(0,+∞)上单调递减;

a>−2时，f(x)在(0,12+a)上单调递减，在(12+a,+∞)上单调递增．

(3)因为曲线y=af(x)x与曲线y=(a+1)2−ex−1有两个不同的交点，

所以方程ex−1+af(x)x=(a+1)2有两个不同实根，等价于方程xex−1−alnx−x=0有两个不同实根，

设g(x)=xex−1−alnx−x=(ex−1−1)x−alnx，则g′(x)=(x+1)ex−1−ax−1且g′(1)=1−a，

当a≤0时，x∈(0,1)时，g(x)<0，x∈(1,+∞)时，g(x)>0，此时函数g(x)只有一个零点x=1，方程只有一个根，不符合题意;

当a>0时，g′(x)=(x+1)ex−1−1−ax在(0,+∞)上单调递增，

当