第九章 章末复习提升

章末复习提升主干知识回顾核心题型突破1.简单随机抽样(1)特征:①逐个抽取;②每个个体被抽到的概率都相等.(2)常用方法:①抽签法;②随机数法.2.分层随机抽样(1)定义:按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.题型一随机抽样[典例1]

已知某校有小学生3

600名,初中生2

400名,为了解该校学生的近视情况,用比例分配的分层随机抽样的方法,从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是(

)[A]

24

[B]

48[C]

72

[D]

96A初中生应抽取的人数是120-72=48,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是

72-48=24.故选A.[跟踪训练]

(多选题)某学生社团有男生32人、女生24人,从中随机抽取一个容量为7的样本.某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是(

)[A]

这次抽样可能采用的是抽签法[B]

这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样[C]

这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率[D]

这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率AB【解析】

根据抽样结果,此次抽样可能采用的是抽签法,故A正确;若采用的是按性别进行分层的分层随机抽样的方法,则抽到的男、女生人数分别为4,3,所以这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样,故B正确;若按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等,故C,D错误.故选AB.题型二总体取值规律与百分位数的估计1.频率分布直方图可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律.2.百分位数与总体百分位数的估计(1)第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数.[典例2]

某家面包店以往每天制作120个三明治,为了解销售情况,店长统计了去年三明治的日销售量(单位:个),并绘制频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值,并计算该面包店去年(按360天算)三明治日销售量不少于100个的天数;【解】

(1)由(2×0.002

5+2a+0.035+0.04)×10=1,解得a=0.01.日销售量不少于100个的频率为(0.01+0.002

5)×10=0.125,则该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为360×0.125=45.(2)由于三明治的保质期不到一天,为了避免浪费,店长决定今年减少每天三明治的制作量,但要求有70%的天数可以满足顾客的需求,估计每天应该制作多少个三明治.[跟踪训练]

(1)某校举办了校园安全知识竞赛,把1

000名学生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成四组,并整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(

)[A]

a的值为0.015[B]

估计这组数据的众数为80[C]

估计这组数据的第60百分位数为87[D]

估计成绩低于80分的有350人C【解析】

(1)易知10a+0.020×10+0.050×10+0.025×10=1,解得a=0.005,所以A错误;由频率分布直方图可知众数落在区间[80,90)内,用区间中点值表示众数即85,所以B错误;由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005×10+0.020×10=0.25,前三组频率之和为0.005×10+0.020×10+0.050×10=0.75,故第60百分位数落在区间[80,90)内,设第60百分位数为x,则0.25+(x-80)×0.050=0.60,解得x=87,所以C正确;成绩低于80分的频率为0.005×10+0.020×10=0.25,所以估计成绩低于80分的有

1

000×0.25=250(人),所以D错误.故选C.(2)(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(

)[A]

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%[B]

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%[C]

估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元[D]

估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间C【解析】

(2)对于A,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1×100%=6%,故A正确;对于B,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1×100%=10%,故B正确;对于C,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),故C不正确;对于D,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)×1×100%=64%>50%,故D正确.故选C.题型三总体集中趋势与离散程度估计1.反映数据集中趋势的量有平均数、中位数、众数.2.反映离散程度的量有极差、方差、标准差.[典例3]

(多选题)在气象学上,进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于10

℃.某人记录了甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均气温(日平均气温都是整数),根据以下数字特征,一定符合进入冬季标准的是(

)[A]

甲:中位数为7,众数为8

[B]

乙:平均数为6,极差为4[C]

丙:中位数为7,极差为3

[D]

丁:平均数为7,方差为2ABD【解析】

对于A,甲:中位数为7,众数为8,则8出现次数最多,又只有5个数据,7为中位数,所以8出现次数为2次,另外两个数据只能是小于7的两个不同的数,故甲地一定符合进入冬季标准,故A正确;对于B,乙:平均数为6,极差为4,因为极差是最大值与最小值的差,假设存在某日的气温大于等于10

℃,又平均数为6,故一定存在某日的气温低于6

℃,此时极差不为4,故假设不成立,即每日气温都低于10

℃,所以乙一定符合进入冬季标准,故B正确;对于C,丙:中位数为7,极差为3,可以找到一组气温数据7,7,7,8,10,故丙不一定符合进入冬季标准,故C错误;对于D,丁:平均数为7,方差为2,故不可能每天都为7

℃,日平均气温都是整数,所以最多三天7

℃,若存在某日的气温高于10

℃,方差大于2,不符合方差为2的条件,若存在某日的气温等于10

℃,若三天7

℃,则五天的气温4,7,7,7,10,计算方差,可知不符合方差为2的条件,若两天7

℃,则五天的气温的方差一定大于2,若一天7

℃,则五天的气温的方差一定大于2,综上可知,所以丁一定符合进入冬季标准,故D正确.故选ABD.[跟踪训练]

(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:亩产量频数[900,950)6[950,1

000)12[1

000,1

050)18[1

050,1

100)30[1

100,1

150)24[1

150,1

200)10根据表中数据,下列结论中正确的是(

)[A]

100块稻田亩产量的中位数小于1

050

kg[B]

100块稻田中亩产量低于1

100

kg的稻田所占比例超过80%[C]

100块稻田亩产量的极差在200

kg至300

kg之间[D]

100块稻田亩产量的平均值在900

kg至1

000

kg之间C在应对统计综合应用题时,要仔细研读题目,明确已知条件和所求问题,合理选择统计方法和公式进行计算分析,同时要确保数据处理的准确性和合理性,注意单位换算等细节问题.题型四统计的综合应用A组y10.660.680.690.710.720.74B组y20.460.480.490.490.510.54[跟踪训练]

某公司为了解用户对其产品的满意程度,从A地区随机抽取了400名用户,从B地区随机抽取了100名用户,请用户根据满意程度对该公司产品评分,该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制成评分频率分布直方图如图.(1)估计A地区满意程度评分的第70百分位数;【解】

(1)因为前