2026届河南省济源英才学校数学高二上期末检测试题含解析

2026届河南省济源英才学校数学高二上期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.2．某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：学科类别文学新闻经济政治人数400300100200若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取50名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，103．执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（）A. B.C. D.4．设集合，集合，当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为（）A.或 B.或C.或 D.或5．若公差不为0的等差数列的前n项和是，，且，，为等比数列，则使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.126．积分（）A. B.C. D.7．命题“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，8．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（）A. B.C.或 D.或9．若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.1511．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用12．直线与直线平行，则两直线间的距离为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线C：，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则______14．设公差的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数列，则的最小值为______15．一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．截止到18时，最后一辆车行驶了____小时，如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队各辆车行驶路程之和为______千米16．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值②当时，三棱锥的体积为定值③当时，有且仅有一个点P，使得④当时，有且仅有一个点P，使得平面三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，圆：过椭圆的三个顶点，过点的直线（斜率存在且不为0）与椭圆交于两点（1）求椭圆的标准方程（2）证明：在轴上存在定点，使得为定值，并求出定点的坐标19．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆上的动点到焦点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，弦的中垂线交轴于，当变化时，是否为定值?若是，定值为多少?20．（12分）已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程21．（12分）在等差数列中，已知且（1）求的通项公式；（2）设，求数列前项和22．（10分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】由，有曲线在点处的切线方程为，整理为故选：A2、D【解析】利用分层抽样的等比例性质求抽取的样本中所含各小组的人数.【详解】根据分层抽样的等比例性质知：文学小组抽取人数为人；新闻小组抽取人数为人；经济小组抽取人数为人；政治小组抽取人数为人；故选：D.3、A【解析】由程序图可得，，再分段求解函数的值域，即可求解【详解】由程序图可得，当时，，，当时，，，综上所述，的取值范围为，故选：A4、B【解析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素时，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，如下图所示，当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，所以当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为或，故选：B.5、C【解析】设等差数列的公差为d，根据，且，，为等比数列，求得首项和公差，再利用前n项和公式求解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，且，，为等比数列，所以，解得或（舍去），则，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故选：C6、B【解析】根据定积分的几何意义求值即可.【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，所以.故选：B7、C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，是特称命题，所以其否定是全称命题，即为，故选：C8、C【解析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，当椭圆焦点在轴上时，，，椭圆方程为，故选：C.9、C【解析】利用函数在上单调递减即可求解.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以若，，则；反之若，，则.所以若，则“”是“”的充要条件，故选：C.10、C【解析】y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.11、C【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.【详解】∵，，∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，故选：C.12、B【解析】先根据直线平行求得，再根据公式可求平行线之间的距离.【详解】由两直线平行，得，故，当时，，，此时，故两直线平行时又之间的距离为，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解析】过A、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.【详解】由抛物线，可知，则，所以抛物线的焦点坐标为，如图，过点A作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，由抛物线的定义可得，再根据为线段的中点，而四边形为梯形，由梯形的中位线可知，则，所以.故答案为：9.14、##0.4【解析】应用等比中项的性质及等差数列通项公式求公差d，进而写出等差数列的通项公式、前n项和公式，再求目标式的最小值.【详解】由题设，，则，整理得，又，解得，故，，所以，故当时目标式有最小值为.故答案为：15、①.2.5####②.1950【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.【详解】因为，所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为18-15.5=2.5小时，第一辆车行程为km，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，这10辆车的行驶路程可以看作首项为240，公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为（km）.故答案为：2.5,195016、②④【解析】①结合得到P在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P，使得线面垂直.【详解】由题意得：，，，所以P为正方形内一点，①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误；②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确；③，当时，即，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确.故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），最大值为.【解析】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值【小问1详解】圆化为标准方程为：.则.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，所以所求的直线为：，即.【小问2详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.而的面积：因为所以（其中时等号成立）.所以S的最大值为.18、（1）；（2）见解析，定点【解析】（1）先判断圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，令圆方程中的，得，即．再由求即可.（2）设在轴上存在定点，使得为定值，根据题意，设直线的方程为，联立可得，再运算将韦达定理代入化简有与k无关即可.【详解】（1）由圆方程中的时，的两根不为相反数，故可设圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，令圆方程中的，得，即有又，解得∴椭圆的标准方程为（2）证明：设在轴上存在定点，使得为定值，由（1）可得，设直线的方程为，联立可得，设，则，，要使为定值，只需，解得∴在轴上存在定点，使得为定值，定点的坐标为【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19、（1）（2）是，【解析】(1)由抛物线方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出，的方程，解方程求，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦的长和其中垂线方程，再计算，由此完成证明.【小问1详解】抛物线的交点坐标为（1，0），，又，又，∴，椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线的斜率为，则直线的方程为，联立消元得到，显然，，∴，又的中点坐标为，直线的中垂线的斜率为∴直线的中垂线方程为，令，，（常数）.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20、；【解析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.【详解】解：过的两点式方程为，整理得即边所在直线的方程为，边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为，即过，的直线的方程为，即整理得所以边上中线所在直线的方程为21、（1）（2）【解析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】解：由题意，设等差数列的公差为，则,，解得,；【小问2详解】解：，.22、（1）答案见解析（2）【解析】(1)求函数的定义域及导函数，根据导数与函数的单调性关系判断函数的单调性；(2)结合已知条件，根据函数的单调性，极值结合零点存在性定理列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】的定义域为，当时，恒成立，上单调递增，当时，在递减，在递增【小问2详解】当时，恒成立，上单调递增，所以至多存一个零点，不符题意，故舍去.当时，在递减，在递增；所以有极小值为构造函数，恒成立，所以在单调递减，注意到①当时，，则函数至多只有一个零点，不符题意，舍去.②当时，函数图象连续不间断，的极小值为，又函数在单调递减，所以在上存在唯一一个零点；