2026届广东省东莞市第四高级中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2026届广东省东莞市第四高级中学数学高二上期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题是真命题，那么的取值范围是（）A. B.C. D.2．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）A.1 B.2C.-1 D.-23．已知的三个顶点是，，，则边上的高所在的直线方程为（）A. B.C. D.4．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（）A. B.C. D.5．从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（）A. B.C. D.6．已知、为非零实数，若且，则下列不等式成立的是()A. B.C. D.7．若关于一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．设平面向量，，其中m，，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（）A. B.C. D.9．设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件10．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（）A. B.C. D.11．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为A.3 B.2C. D.12．“”是“方程为双曲线方程”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在公差不为的等差数列中，，，成等比数列，数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求14．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断进行构造，又可以得到新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到数列1，，，，…，，2；记则______，设数列的前n项和为，则______15．在中，若面积，则______16．已知直线l：和圆C：，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，且.（1）求数列{an}的通项公式an（2）记数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值.18．（12分）已知在时有极值0.（1）求常数，的值；（2）求在区间上的最值.19．（12分）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）已知椭圆的短轴长是2，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由21．（12分）已知A，B两地相距200km，某船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（v＞8）．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元（1）求比例系数k（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？（3）当（x为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？22．（10分）某餐馆将推出一种新品特色菜，为更精准确定最终售价，这种菜按以下单价各试吃1天，得到如下数据：（1）求销量关于的线性回归方程；（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每份特色菜的成本是15元，为了获得最大利润，该特色菜的单价应定为多少元？（附：，）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】依据题意列出关于的不等式，即可求得的取值范围.【详解】当时，仅当时成立，不符合题意；当时，若成立，则，解之得综上，取值范围是故选：C2、D【解析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选：D3、B【解析】求出边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式方程可得答案.【详解】因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.故选：B.4、D【解析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，且求解.【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，所以的周长为，在图②中，的周长为，因为光速相同，且，所以，即，所以，即的长轴长与的实轴长之比为，故选：D5、C【解析】列举出所有情况，然后根据两边之和大于第三边数出能构成三角形的情况，进而得到答案.【详解】5个数取3个数的所有情况如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10种情况，而能构成三角形的情况有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3种情况，故所求概率.故选：C.6、D【解析】作差法即可逐项判断.【详解】或，对于A：，∵，无法判断正负，故A错误；对于B：，∵无法判断正负，故B错误；对于C：，∵，，∴，，故C错误；对于D：，∴，故D正确.故选：D.7、B【解析】结合判别式求得的取值范围.【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B8、D【解析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.【详解】由题意可知，即，因为所有的基本事件共有种，其中满足的为，，只有1种，所以事件A发生的概率为.故选：D9、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.【详解】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；直线和直线平行，则，解得或，即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.故选：.10、D【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.11、D【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，∴≥2∴，故选D【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题12、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”原则进行判断即可.【详解】因为方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）（2）【解析】（1）由解出，再由前项和为55求得，由等差数列通项公式即可求解；（2）先求出，再由裂项相消求和即可.【小问1详解】设公差为，由，，成等比数列，可得，即有，整理得，数列的前项和为55，可得，解得1，1，则；【小问2详解】，则14、①.81②.【解析】根据数列的构造写出前面几次得到的新数列，寻找规律，构造等比数列，求出通项公式，再进行求和.【详解】第1次得到数列1，3，2，此时；第2次得到数列1，4，3，5，2，此时；第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时；第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，故81，且故，又，所以数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，故，所以故答案为：81，15、##【解析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案.【详解】解：由三角形的面积公式得，所以，因为，所以，即，因为，所以故答案为：16、1【解析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.【详解】圆C：，圆心为，半径，点C到直线l的距离，由圆的切线性质知：，当且仅当，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”，所以的最小值为1故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）由裂项相消求和法得出，再由不等式的性质得出n的最小值.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，依题意有解得，所以an=2n.【小问2详解】由（1）得，则，所以因为，即，解得n>99，所以n的最小值为100.18、（1），；（2）最小值为0，最大值为4.【解析】（1）对求导，根据在时有极值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判断的单调性，再求出的值域【详解】解：（1），由题知：联立（1）、（2）有(舍)或.当时在定义域上单调递增，故舍去；所以，，经检验，符合题意（2）当，时，故方程有根或由，得或由得，函数的单调增区间为：，，减区间为：.函数在取得极大值，在取极小值；经计算，，，，所以最小值为0，最大值为4.19、（1）（2）【解析】（1）由，，成等比数列和，可得，解方程求出，从而可求出的通项公式，（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求出【小问1详解】因为等差数列的公差为2，所以又因为成等比数列，所以，解得，所以.【小问2详解】由（1）得，所以.20、（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】(1)利用离心率，短轴长求出a，b，即可求得椭圆方程.(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理计算判定，由M为线段AB中点即可确定存在常数推理作答.【小问1详解】因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】存在常数，使恒成立，

由消去y并整理得：，设，，则，，又，，，则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有所以存在常数，使恒成立.21、（1）5（2）8km/h（3）答案见解析【解析】（1）列出关系式，根据当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元即可求解;（2）列出燃料费的函数解析式，利用导数求其最值即可；（3）讨论x的范围，结合（2）的结论可得答案.【小问1详解】设每小时的燃料费为，则当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，代入得.【小问2详解】由（1）得.设全程燃料费为y，则（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以当时，；当时，，所以当v＝16时，y取得最小值，故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为8km/h【小问3详解】由（2）得，若时，则y在区间上单调递减，当v＝x时，y取得最小值；若时，则y区间（8，16）上单调递减