第七章 概率于随机变量 7.1.2 全概率公式课件（人教A版选择性必修第三册）

(1)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率；

P(B|A)(2)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；P(AB)

性质1:若B和C互斥，则P(BUC|A)=P(

B|A)+P(

C|A)性质2:若B和B互为对立事件，则P(B|A)=1-P(B|A)旧知回顾——条件概率与积事件的概率P(AB)P(A)P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)(前提：A,B相互独立)将条件记为事件A,将目标记为事件B.P(AB)=P(A)P(B|A)P(B|A)的实际意义例题回顾

把一个复杂事件用简单的事件运算的结果例3.已银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率

.析：记事件A为“第i次按对密码”,事件A

为“不超过2次就按对”,则A=A₁U(A₁A₂),且A₁与

A₁A₂互斥，

概率加法公式(2)记事件B

为“最后一位为偶数”,概率乘法公式因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是a+b但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.问题1:

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

.那么第2次摸到红球的概率是多大?如

何计算这个概率呢?问题引入问题1:

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然第1次摸到红球的概率为

第2次摸到红球的概率也应该是证明：用A₁

表示事件“第1次摸到红球”,A₂表示事件“第1次摸到蓝球”,

B表示事件“第2次摸到红球”.

则B=

,

故P(B)=P(A₁BUA₂B)问题引入=P(A₁B)+P(A₂B)概率加法公式=P(A)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)

概率乘法公式把一个复杂事件表示为若干个互斥事件的并设A₁,A₂,…,An

是一组两两互斥的事件，

A₁UA₂U…UAn=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n

,

则对任意的事件B

≌Ω,有P(B)=Z'=1P(A;)P(B|A;).称为全概率公式.=P(A₁)P(B|A₁)+…+P(An)P(B|An)第

一

次发生的事件A₂,A₃,且A,A₂,A₂

互斥则Ω=AUA₂UA₃,第二次发生的事件为则B=ABUA₂BUA₃B,PB)=PAB)+PA₂B)+P(AB)=RA)PB|A)+PA)PB|A)+PA)RB|A)新知：全概率公式例题讲解——全概率公式的运用例4.某学校有A,B

两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐

.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.解：记A₁="第1天去A餐厅",A₂="

第1天去B

餐厅",则Ω=A₁UA₂,且A₁,A₂互斥.记B="第2天去A餐厅",则B=A₁BUA₂B,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A₂)P(B|A₂)

=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7全概率公式针对的是已知一定的条件，求出某个结果的概率问题，解题步骤一般如下：(1)找出条件事件里某一个完备事件组，分别命名为A,

且A;两两互斥(2)命名目标事件为事件B;(3)代入全概率公式求解.方法小结——全概率公式的运用P52-4.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2,从甲

箱子随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球

.

求摸到红球的概率.P52-1.

现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没

有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案，猜

对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.练习巩固——全概率公式的运用P52-1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没

有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案，猜

对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.解：记A₁="选到有思路的题'

,A₂="

选到没思路的题，且A₁,A₂互斥

.记B="

选到的题能做对',则B=ABUA₂B,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A₂)P(B|A₂)

练习巩固——全概率公式的运用练习巩固——全概率公式的运用P52-4.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2,从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球

.

求摸到红球的概率.解：记A₁="从甲箱摸球'

,A₂="

从乙箱摸球',且A₁,A₂互斥

.B="

摸到红球",则B=A₁BUA₂B,由全概率公式得，解：记A₁="取到第i治台机床加工的零件(i=1,2,3),则Ω=AUA₂UA₃,且

A,A₂,A₃

互斥.记B="取到的零件为次品，则B=A₁

BUA₂

BUA₃B,由全概率公式得

P(B)=P(A)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.

已知第1,2,3台机床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；例题讲解——全概率公式的运用解：记A="

取到第治加工的零件'(i=1,2,3),记B="

取到的零件为次品，由(1)得P(B)=0.0525,-0252同理可

若对加工的次品要求操作员承担相应的责任，则就分别是第1,2,3台机床操作员应承担的份额.

例题讲解例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台机床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台机床加工的概率.思考：P(A₁)

与P(A₁|B)

的实际意义是什么?P(A₁)是试验之前就已知的，它是第1台机床加工的零件所占的比例，称为先验概率.P(A₁

IB)是已知抽到的零件是次品，这件次品来自第1台机床的可能性，称为后验概率.新知：贝叶斯公式A₁U

A₂U…U

An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,

…

,n,则对任意的事件B≌Ω,P(B)>0,(选学内容*)贝叶斯公式：设A₁

,A₂

,…An是一组两两互斥的事件，1761)发现的，它有

,i=1,2,…,n.用来描述两个条件概率之间的关系.

将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.贝叶斯公式是由英国

数学家贝叶斯(T.Bayes,例题讲解——全概率公式例6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.假设发送信号0和1是等可能的.

已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；解：记A="

发送的信号为0",B="接收的信号为0",则A="发送的信号为",B="接收的信号为I",(1)∵B=ABUAB,.由全概率公式得P(B)

=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475

P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525例6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.假设发送信号0和1是等可能的.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.解：记A="发送的信号为0",B="接收的信号为0",由(1)得P(B)=0.475,例题讲解——贝叶斯公式则A="发送的信号为I",B="

接收的信号为I",(2由贝叶斯公式A₃="

选取的人来自C地",B="

选取的人患流感，(1)由全概率公式得P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃)(2)由贝叶斯公式P53-5.在A,B,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5:7:8,现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率；(2)*如果此人患流感，求此人选自A

地区的概率解：记A₁="

选取的人来自A地",A₂="选取的人来自B地",练习巩固——全概率公式和贝叶斯公式甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑

球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.若以A₁

表

示“从甲罐取出的球是红球”的事件，以M表示“从乙罐取出的球是红球”的事件，

则P(M|A₁)=

,

P(M)=

.A₁

表示“从甲罐取出红球”A₂表示“从甲罐取出白球”A₃表示“从甲罐取出黑球”P(M)=P(A₁)P(M|A₁)+P(A₂)P(M|A₂)+P(A₃)P(M|A₃)4

5

2

4

2

4

98

10

8

10

8

10

20练习巩固——全概率公式和贝叶斯公式P52-2.两批同种规格的产品，第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%,将两批产品混合，从中任取一件.(1)求这件产品是合格品的概率；(2)*已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956(2)由贝叶斯公式得(AIB)=P(B)PAPB⁴)009565≈0937解：记A,="

取

到

第i批的产品"(i=1,2),

记B="

取到的产品为合格品，1

由全概率公式得

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A₂)P(B|A₂)解：记A₁

="甲命中目标',A₂

="

乙命中目标',B="

目标至少被命中次",则A₁和A₂相

互

独

立P(B)=1-P(A₁A₂)=1-P(A)P(A₂)=1-0.4×0.5=0.8P(A₁B)=P(A₁A₂UA₁A₂)=P(A₁)P(A₂)+P(A₁)P(A₂)=0.6×0.5+0.6×0.5=0.6练习巩固——事件的分解与积事件的计算P52-3.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5,已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.贝P53-7.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.练习巩固——事件的运算与积事件的计算解：记A,="抽检的第i件产品不合格'(i=1,2),记B="这批产品被拒绝',∴P(B)=P(A₁)+P(A₁A₂)=P(A₁)+P(A)P(A₂|A₁)则B=A₁UA₁A₂练习巩固——全概率公式P53-8.孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD,Dd,dd,其中D为显性基因

，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取

2颗豌豆作为亲本进行杂交试验，那么子三代中基因型为dd的概率是多大?P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃)解：记A₁="亲

本

选

到Dd,Dd",A₂="亲

本

选

到dd,dd",A₃="亲

本

选

到Dd,dd"B="子三代基因型为dd".由全概率公式得P91-7.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h

,这些人的近视率约为50%,现从

每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.析：即A="选到的一名学生玩手机超过1h",B="

选到的一名学生近视由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)即0.4=0.2×0.5+0.8×P(B|A),解

练习巩固——全概率公式P91-10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率.∴P(A+1)=P(A)P(A+1|A)+P(A)P(A+1IAₙ)析：设n次传球后球在甲手中的概率为

,

考

：n=1时

，p₁=0,即pn+1=Pn

·∵·[变1]甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在乙手中的概率.∴P(Bn+1)=P(Bn)P(Bn+1|Bₙ)+P(Bn)P(Bn+1|Bn)记B

。="n次传球后球在乙手中，则B₄

+=B₀

B₄₋

UBB₄

+1析：设n次传球后球在乙手中的概率为pn,即Pn+1=Pn[变2]甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球

者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率.记A="n次传球后球在甲手中，则A+1=A,A₄+1+A,A₄+1∴P(A+1)=P(A,)P(An+1IA)+P(A)P(A+1|A,)析：设n次传球后球在甲手中的概率为p,n=1

时，p₁=0,日,

氏*(2023山西二模)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，设第n次传球后球在甲手中的方法数为an,

在乙手中的方法数为bn,

则(ABD

)A.an+an-1