第五章 5.1.1变化率问题(2课时)-课件（人教A版选择性必修第二册）

5.1.1变化率问题1在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是

越来越慢的，

“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻

画变化速度的快慢呢?下面我们就来研究这个问题.问题1:高台跳水运动员的速度.在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：h)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t²+4.8t+11.如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢?问题导入直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员

在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.例如，在0≤

t≤0.5这段时间里，在1≤t≤2

这段时间里，新

知

探

索一般地，在t₁≤t≤t₂这段时间里，思考1:计算运动员在

段时间里的平均速度，你发现了什么?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?我们发现，运动员在

段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬间速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.新知探索问题2:瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗?设运动员在t₀时刻附近某一时间段内的平均速度是??,可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t₀时刻的瞬时速

度.

为了求运动员在t=1

时的瞬时速度，我们在t=1

之后或之前，任意取一

个时刻1+△t,△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，

但不为0.当△t>0时，1+△t在1之后；当△t<0

时，1+△t在1之前.当△t>0

时，把运动员在时间段[1,1+△

t]内近似看成做匀速直线运动，

计算时间段[1,1+△t]内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬间速度.新知探索当△t<0时，在时间段[1+△t,1]内当△t>0时，在时间段[1,1+△t]内当△t<0

时，把运动员在时间段[1+△t,1]

内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.当△t趋近于0时，平均速度趋近于一5.新

知探

索当△t<0时，在时间段[1+△t,1]内当△t>0时，在时间段[1,1+△t]内-0.01-4.9510.01-5.049-0.001-4.99510.001-5.0049-0.0001-4.999510.0001-5.00049-0.00001-4.9999510.00001-5.000049-0.000001-4.99999510.000001-5.0000049问题3:给出△t更多的值，利用计算工具对应的平均速度的值.当△t无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势?新知探索我们发现，当△t无限趋近于0时，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于-5.事实上，由以发现，当△t无限趋于0时，-4.9△t也无限趋近于0,所以无限趋近于-5.这与前面得到的结论一致.数学中，我们把-5叫做“当△t无限趋近于0时，

的极限”,记为从物理的角度看，当时间间隔|△t|

无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1

时的瞬时速度.因此，运动员在t=1s

时的瞬时速度v(1)=-5m/s.新

知

探

索思考2:(1)求运动员在t=2s时的速度；(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t。的瞬时速度?解(1):因为h(t)=-4.9t²+4.8t+11,所以运动员在时间段[2,2+△t](或[2+△t,2])的平均速度新知探索14.8.思考2:(1)求运动员在t=2s时的速度；(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t。的瞬时速度?解(2):因为h(t)=-4.9t²+4.8t+11,

所以运动员在时间段[to,to+△t](或[to+△t,to])的平均速度为新知探索=-4.9△t-9.8t₀+4.8.问题4:抛物线的切线的斜率.我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C,

如何定义它的切线呢?

下

面我们以抛物线f(x)=x²

为例进行研究.你认为应该如何定义抛物线f(x)=x²

在点P₀(1,1)处的切线?与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x²

在点P₀(1,1)处的切线，我们通常在点P₀(1,1)的附近任取一点P(x,x²),

考察抛物线f(x)=x²

的割线

P₀P

的变化情况

.新知探索我们发现，当点P

无限趋近于点P₀时，割线P₀P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置P₀T

的直线称为抛物线f(x)=x²

在

点P₀(1,1)处的切线.问题5:如图，当点P(x,x²)沿着抛物线趋近于点P₀(1,1)时，割线P₀P

有什么变新

知探

索化趋势?问题6:我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线f(x)=x²在点P₀(1,1)处的切线P₀T的斜率k₀呢?从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x²

在点P₀(1,1)处的切线P₀T的斜率与割线P₀P

的斜率有内在联系.记△x=x-1,则点P的坐标是(1+△x,(1+△x)²).于是，割线PoP的斜我们可以用割线P₀P

的斜率k近似地表示切线P₀T的斜率ko,并且可以通过不断缩短横坐标间隔|△x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格.新知探索△x<0△x>0△xk=△x+2△xk=△x+2-0.011.990.012.01-0.0011.9990.0012.001-0.00011.99990.00012.0001-0.000011.999990.000012.00001-0.0000011.9999990.0000012.000001·

··新知探索思考3:利用计算工具计算更多割线P₀P

的斜率k的值，当△x无限趋近于0时，割线P₀

P的斜率k

有什么变化趋势?我们发现，当△x无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P₀P的斜率k都无限趋近于2.事实

上，以直接看出，当△x无限趋近于0时，△x+2

无限趋近于2.我们把2叫做“当△x无限趋近于0时，

的极限”,记为新

知探

索的切线P₀T

的斜率k₀.因

此

，切

线P₀T

的斜率ko=2.h(t)=-4.9t2+4.8t+11思考4:观察问题1中的函数h(t)=-4.9t²+4.8t+11的图象，平均速度的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢

?(1,h(1))(1+△t,h(1+△t))从几何图形上看，当横坐标间隔|△x|无限变小时，点P

无限趋近于点Po

,于

是割

线P₀P无限趋近于点P₀处的切线P₀T.这

时

，割

线P₀P的

斜

率k无限趋近于点P₀

处新知探索新知探索瞬时速度辨析1.质点运动规律为s(②?)=t²+3,

则从3到3+△t的平均速度为(

).

C.3+△tD.9+△t答案：A.辨析2.如果质点按规律s=3t²运动，则在t₀=3

时的瞬时速度为(

).A.6

B.18C.54

D.81答案：B.新知探索辨析3.抛物线f(x)=3x²+1在点(2,13)处的切线方程为

答案：12x-y-11=0.解：切线的斜率为∵切线过点(2,13),∴所求切线方程为y-13=12(x-2),即12x-y-11

=0.新知探

索题型一：运动物体的平均速度例1.已知s(t)=5t².(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度.解(1):

练

习方法技巧：求平均速度的一般步骤(1)先计算对应值的改变量f(x₂)-f(x₁);(2)再计算自变量的改变量x₂-X₁;(3)求平均速练

习变1.一物体的运动方程是s=3+t²,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为(

).A.0.41

B.3

C.4D.4.1答案：D.练

习解：题型二：求瞬时速度例2.已知质点M

做直线运动，且位移(单位：cm)

随时间(单位：

s)变化的函数为s=2t²+3.(1)当t=2,△t=0.01

时，求平均速度；练

习(1):当t=2,△t=0.01时，例2.已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)

随时间(单位：s)

变化的函数为s=2t²+3.(2)求质点M在t=2

时的瞬时速度.即质点M

在t=2

时的瞬时速度为8cm/s.练

习(2):当t=2

时，瞬时速●方法技巧：设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s

=s(t),

则求物体在t=t₀时刻的瞬时速度的步骤如下.(1)写出时间改变量△t,

位移改变量△s(△s=s(to+△t)-s(t₀));(2)求平均速度：(3)求瞬时速度v:当△t→0

时，

(常数).练

习变2

.

一

质点的运动方程为s=8-3t²,其中s表示位移(单位：m),t表示时间(单位：s).(1)求该质点在[1,1+△t]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1

时的瞬时速度

.解(1):该质点在[1,1+△t]这段时间内的平均速度为解(2):由(1)知，当△t趋近于0时，趋近于-6,∴该质点在t=1

时

的

瞬

时

速

度

为

-

6m/s.练习例3.已知函数f(x)=x²,xo=-2.(1)分别令△x=2,1,0.5,

求f(x)=x²在区间[xo,xo+△x]上的相应割线的斜率，并画出过点(x₀

,f(x₀))的相应割线；解(1):当△x=2,1,0.5时，区间[xo,xo+△x]相应为[-

2,0],[-

2,-

1],[-2,-1.5].函数f(x)=x²

在这些区间上相应割线的斜率分别为：练

习题型三：抛物线的切线_斜率，并画出过点(x₀

,f(xo))的相应割线；其相应割线如图所示，分别是过点(-2,4)和(0,0)

点的直线l₁

,过点(-2,4)和点(-1,1)的直线l,

过

点(-2,4)和(-1.5,2.25)点的直线l₃

.例3.已知函数f(x)=x²,xo=-2.(1)分别令△x=2,1,0.5,求f(x)=x²在区间[xo,??o+△x]上的相应割线的练

习例3.已知函数f(x)=x²,xo=-2.(2)求函数f(x)=x²在x=x₀处的切线的斜率，并画出曲线f(x)=x²在点(-2,4)

处的切线.解(2):

f(x)=x²在区间[-2,-2+△x]上割线的斜率为当△x趋近于0时，函数f(x)=x²

在区间[-2,-2+△x]上割线的斜率趋近于-4,∴函数f(x)=x²