第五章 导数 微专题05 函数在比较大小中的应用课件（人教A版选择性必修第二册）

选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》微专题05函数在比较大小中的应用比较大小的常用技巧：①估值②放缩：0,1

…or

切线不等式③(正数)同时平方再比较④(正数)同时取对数⑤化同底：指数或对数比较大小的常用方法：①作差法：与0作比较②作商法：与1作比较③中间值法：与中间值比较④构造函数法：结合单调性洛必达法则0·0→00·0→0→0000为实数，也可为±∞)0

·

∞型，∞-∞型，1

型，0°型，0型等，:若

且在点a的某去心邻域内两者都可到，g'(x)≠0;且在点a的某去心邻域内两者都可到，g'(x)≠0;可通过简单变换化为型或型.为实数，也可为±∞)型：若

00→00型，1型，0°型，0型等，可通过简单变换

型或

型.若x→a

时，f(x)→0,g(x)→0,或x→a时，f(x)→∞,g(x)→0,0·0→0O·00→00→0000→

○

0

洛必达法则型：

→0快

慢慢

快000000x→+∞

时

，e→+0,∴f(x)→+00;x→-∞时

，eˣ→0,e⁻×→+00,.6个经典函数(1f(x)=xe*,x

∈Rf'(x)=(x+1)e画出f(x)=(x+

1e

的大致图象求f(x)=a的解的个数洛：6个经典函数

,x

∈R①定义域：R②单调性：

极

大

值f(1)

x<1

时

，f'(x)>0;

x>1

时，f'(x)<0.③取值与趋势：x>0

时

，f(x)>0;x→+∞

时，f(x)→0⁺;x<0时

，f(x)<0.

x→-∞

时

，e→0,f(x)→-0.④特殊点：(0,0),①定义域：{x|x≠0}②单调性：

极小值f(1)x<0

和0<x<1

时，f'(x)<0;x>1

时

，f'(x)>0.③取值与趋势：x>0

时，f(x)>0;

x<0

时，f(x)<0.④特殊点：(1,e)x→+∞时，f(x)→+∞;x→0+时，e×→

1,f(x)→+∞;x→-

∞时，e×→0,f(x)→0.x→0

时，e→

1,f(x)→-∞

.6个经典函数x→+∞

时，f(x)→+0;x→0

时，In

x→

一∞,6个经典函数(4)f(x)=xlnx,x

∈(0,+∞)f'(x)=1+Inx过

,(1,0)(5)

,x

∈(0,1)U(1,+0)①定义域：(0,1

U(1,+0)②单调性：

极小值f(e)

0<x<1和1<x<e时，f'(x)<0;x>e时

，f'(x)>0.③取值与趋势：x>1

时，f(x)>0;

x→+∞

时，f(x)→+00;x→-∞,f(x)→0.x→0,f(x)→∞;0<x<1时，f(x)<0.x→0④特殊点：(e,e)6个经典函数时，In

时，Inx→

10<x<1

和1<x<e

时，f'(x)<0;

x>e时，f'(x)>0.③取值与趋势：x>1

时

，f(x)>0;x→+∞

时，f(x)→0;0<x<1

时

，f(x)<0.

x→0

时，In

x→-∞,f(x)→-

∞.6个经典函数(6)

,x∈(0,+∞)①定义域：(0,+0∞)②单调性：极大值f(e)④特殊点：(1,0),0x⑤

,x

∈(0,+∞)e

xxx,x∈(0,+∞)x-1(4)f(x)=xln6个经典函数(1)f(x)=xe*,x∈R0

1

x,x

∈R1

一

e0T型

型(3)

(5).

x>0

且x≠16个经典函数∞

·

∞型(1)f(x)=xInx

x>0(2)f(x)=xe*x∈Rx→+0,y→+∞一看趋势：定形状二看定义域+零点：定位置三看零点：定极值x

∈R

(6)

x≠0x→+∞,y→0

x→+0,y→+0快

慢①k=1

时，方程化为在R上无解；②k≠1

时，方程化为

结合y=xe

的图象得，

,解得1-e<k<1.综上，k的最大值为1.[例1]已知函

,若直线l:y=kx-1

与曲线y=f(x)没有公共点求实数k的最大值解：依题意得方程x1无实数解，即方程无解，经典函数的应用经典函数的应用C=f(5)∵f(x)

在(e,+∞)递减，∴

f(3)>f(4)>f(5),

即b>a>C.[例2]

,则a,b,c的大小关系是

b

>

a

>

c1.由同构式构造函数f(x);2.判断f(x)的单调性作草图3.将各数转化到同一个单调区间b=f(3)析

：

x>0过(1,0),二[变式1]若a=3πln2,b=2πln3,c=6ln

π,则a,b,c的大小关系是b>c>a

0<x<e:

个,则f'(x)=6π

·

,x>0经典函数的应用1.由同构式构造函数f(x);2.判断f(x)的单调性作草图3.将各数转化到同一个单调区间∵f(x)在(e,+∞)递减，∴

f(3)>f(π)>f(4),即b>c>a.a=f(2)=6π

·b=f(3)C=f(π)过(1,0),[变式1]若a=3πln2,b=2πln3,c=6lnπ,则a,b,c

的大小关系是b>c>a析：要比较a,b,c,可同除以6πln

2

In

3

Inπ即比较2'3'π'则f(x)在(e,+の)递减.,即b>c>a.经典函数的应用1.由同构式构造函数f(x);2.判断f(x)

的单调性作草图3.将各数转化到同一个单调区间经典函数的应用析

：

,由图可得f(x)

在(e,+∞)单调递减，∵e<π<√

15,f(e)>f(π)<f(√

15),∴b>a>C.,则a,b,

c的大小关系是

[变式3]下列命题为真命题的序号是__

③

,f(2)f4)-f√

15)4

I(J8)<1(0

(1)

13)<1(2)f(√π)<f(√e)经典函数的应用ln

9∴比较8⁹和98⇔比较91n8

和81n9⇔

比较

和由图可得f(x)

在(e,+0)

单调递减，∴f(8)>f(9),

即

经典函数的应用取对数，同除以ab[例3]比较8⁹和98的大小.

比

较a和ba

比

较∴91n

8>91n

9,即8⁹>98

.[变式]比较3”和π³的大小.⇔比较析：8⁹和98同时取对数得ln

8⁹=91n8,In9⁸=8ln9.lnππ(法1)

则x=log₂t,y=log₃t,z=log₅t.则2x=2log₂,3y=3log₃

,5z=5log₅故比较2x,3y,5z,只需比,由图可得f(x)在(e,+∞○)单调递增经典函数的应用[例4]若2*=3=5²,且

x,y,

z都是正数，则2x,3y,5z从小到大依次为

∵t>1,∴Int>0,∴3y<2x<5z.不同底换同底[例4]若2*=3=5²,且

x,y,

z都是正数，则2x,3y,5z从小到大依次为

(法2)设x=1,

则

2

=

3

=

5²,

则y=log₃2,z=log,2,∴2x=23y=3log₃2=log₃8<2=log₃9,5z=5log₅2=log,32>2=log₅25,∴3y<2x<5z.经典函数的应用析：依题意得,则f(a)=f(5),f(b)=f(4),f(c)=f(3),由图可得f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，∴f(5)>f(4)>f(3),

即

f(a)>f(b)>f(c),∵a,b,c∈(0,1),∴a<b<c.经典函数的应用[练习1]已知a<5且ae⁵=5ea,b<4且be⁴=4eb,c<3且ce³=3e°,则(D)

A.c<b<a

B.b<C<a

C.a<C<b

D.a<b<C[练习2]设

,c=e√2-1-In

2,则

(A)A.a<b<C

B.b<a<C

C.b<C<a

D.c<a<b析

易

知f(x)在[2,+∞]上单调递减∴

f(2)>f(3),即

b>

a,

排除B,C,经典函数的应用∴C>b>a.经典函数的应用即证x>0时，由y=xln

x的图象知只需

.即ex²-xe≤0[练习3]已知函数f(x)=ax²-xlnx.(2)若a=e,证明：x>0时，∴g(x)=x(ex-e)≥0.由分