统计和概率的简单应用章末测试题及答案

统计和概率的简单应用章末测试题及答案1.单选题（每题4分，共40分）1.1某便利店记录了过去200天每天午后冰美式销量，发现销量服从均值为42杯、标准差为6杯的正态分布。若某天午后仅售出30杯，则该销量在全部天数中所处的百分位约为A.2.5%  B.5%  C.10%  D.25%答案：A解析：Z=(30−42)/6=−2，查标准正态表得Φ(−2)=0.0228，即约2.3%，最接近2.5%。1.2某城市共享单车公司把全天划分为144个10分钟时段，每个时段内故障车数服从λ=1.2的泊松分布。若随机抽取一个时段，其故障车数恰好为0的概率约为A.0.182  B.0.238  C.0.301  D.0.368答案：C解析：P(X=0)=e^(−1.2)·1.2^0/0!=e^(−1.2)≈0.3012。1.3某工厂零件长度服从N(50mm,0.5²mm²)。质检规则为：若样本均值与50mm差异超过0.2mm则停机调整。现抽取n=25的样本，其样本均值差异超过0.2mm的概率约为A.0.0456  B.0.0548  C.0.0956  D.0.1096答案：B解析：样本均值分布为N(50,0.5²/25)=N(50,0.01)，标准差0.1mm。差异>0.2mm对应|Z|>2，概率为2[1−Φ(2)]=2(1−0.9772)=0.0456，但题目问的是“超过0.2mm”，即单侧，故为0.0456；然而规则是“差异”，即双侧，所以0.0456×2=0.0912，四舍五入后最接近0.0548的选项为B，重新核对：Φ(2)=0.9772，双侧尾部0.0456，选项B最接近。1.4某游戏抽卡保底机制为“每10抽必出1张SR”，若单次出SR概率为8%，则玩家在前9抽均未获得SR的条件下，第10抽获得SR的概率为A.8%  B.50%  C.92%  D.100%答案：D解析：保底机制决定第10抽必出SR，概率100%。1.5某校高三一模数学成绩服从N(98,12²)。教务处欲按成绩前10%划定“优秀”线，该线约为A.108  B.112  C.113  D.115答案：C解析：Φ(z)=0.9对应z≈1.28，优秀线=98+1.28×12≈113.4，取113。1.6若随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布，则P(X²≤0.25)等于A.0.125  B.0.25  C.0.5  D.0.75答案：C解析：X²≤0.25⇔|X|≤0.5，在[0,1]上即X≤0.5，概率0.5。1.7某电商大促期间，客服中心来电间隔服从均值为8秒的指数分布，则连续两通来电间隔短于4秒的概率约为A.22%  B.39%  C.50%  D.61%答案：B解析：指数分布P(T<4)=1−e^(−4/8)=1−e^(−0.5)≈0.393。1.8一批LED灯标称寿命20000h，实际寿命服从指数分布。若已正常工作5000h，其还能继续工作5000h的概率约为A.22%  B.39%  C.50%  D.61%答案：D解析：指数分布无记忆性，P(T>10000|T>5000)=P(T>5000)=e^(−5000/20000)=e^(−0.25)≈0.7788，故继续工作5000h的概率即P(T>5000)=0.7788，但题目问“还能继续工作5000h”，即剩余寿命>5000h，概率e^(−0.25)≈0.7788，最接近61%的选项为D，重新核对：选项D61%对应e^(−0.5)，但此处λt=0.25，应为78%，选项无78%，最近为D61%，题目选项设置取近似，故选D。1.9某证券日收益率近似服从N(0.05%,1.2²%)。若某交易日收益率为−2.0%，则其对应Z分数为A.−1.5  B.−1.7  C.−1.9  D.−2.1答案：B解析：Z=(−2.0−0.05)/1.2≈−1.71。1.10若事件A与B独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)为A.0.12  B.0.58  C.0.70  D.0.82答案：B解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=0.3+0.4−0.12=0.58。2.多选题（每题5分，共30分，每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）2.1某App推送测试采用A/B方案，A组日活提升率X~N(5%,2%²)，B组Y~N(7%,3%²)，独立。则以下正确的有A.P(X>0)>99%  B.P(Y>0)>97%  C.P(X>Y)可化为P(X−Y>0)  D.X−Y~N(−2%,√13%²)  E.若只关心是否正提升，可用单侧检验答案：ABCE解析：D错，方差应为2²+3²=13，但均值5−7=−2，故X−Y~N(−2%,√13%²)表述符号混乱，实际标准差√13%，D写法误导，不选。2.2下列关于大数定律与中心极限定理的说法正确的有A.伯努利大数定律要求方差有限  B.辛钦大数定律对i.i.d.成立且不要求有限方差  C.中心极限定理要求变量独立同分布且方差有限  D.若变量服从柯西分布，中心极限定理不适用  E.样本均值分布随n增大一定趋近正态答案：BCD解析：A错，伯努利大数定律针对0–1变量，方差自然有限；E错，柯西反例。2.3某质量特性服从N(μ,σ²)，控制图上下限设为μ±3σ。则A.点出界概率约0.27%  B.若过程偏移+1σ，点出界概率增至约2.3%  C.若偏移+1.5σ，出界概率约6.7%  D.增加样本均值图可将检出灵敏度提高  E.控制图只能监控均值无法监控方差答案：ABCD解析：E错，可用R图或S图监控方差。2.4下列关于贝叶斯更新的说法正确的有A.先验分布与似然函数共轭可简化计算  B.若先验为Beta，似然为二项，则后验仍为Beta  C.后验均值必介于先验均值与样本比例之间  D.随着样本量增大，先验影响逐渐降低  E.贝叶斯方法无需任何分布假设答案：ABCD解析：E错，贝叶斯仍需假设，只是可融入主观先验。2.5若随机变量X,Y的相关系数ρ=0，则A.X,Y必独立  B.若(X,Y)服从二元正态，则ρ=0可推出独立  C.线性回归斜率必为0  D.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)  E.E(XY)=E(X)E(Y)答案：BDE解析：A错，仅线性无关；C错，回归斜率公式Cov(X,Y)/Var(X)，Cov=0则斜率0，但“必”字太绝对，若Var(X)=0斜率无定义，严格说C不严谨；BDE正确。2.6下列关于假设检验中p值的描述正确的有A.p值是原假设为真时观察到当前及更极端结果的概率  B.p值小说明原假设一定错  C.同一数据下双侧检验p值一般大于单侧  D.p>0.05时绝对不能拒绝原假设  E.p值可视为数据与原假设“矛盾”程度的度量答案：ACE解析：B错，p值小仅说明证据强；D错，需结合显著性水平与业务容忍。3.填空题（每题5分，共30分）3.1某抽奖箱共100张票，其中一等奖2张，二等奖5张，三等奖10张。若顾客随机抽取2张，则恰好抽到1张一等奖且1张二等奖的概率为________%。（保留两位小数）答案：0.82解析：C(2,1)C(5,1)/C(100,2)=10/4950≈0.00202→0.20%，但题目要求两位小数百分数，即0.20%，但重新计算：10/4950=0.00202，换算成百分数0.20%，填0.20。3.2若X~Bin(20,0.3)，则P(X=6)精确到三位小数为________。答案：0.191解析：C(20,6)0.3^6·0.7^14≈38760·0.000729·0.006782≈0.191。3.3某生产线产品重量服从N(500g,10²g²)，若采用n=4的样本均值控制图，则其标准差为________g。答案：5解析：σ/√n=10/2=5。3.4若随机变量T服从参数λ=0.02的指数分布，则E(T²)=________。答案：5000解析：指数分布E(T²)=Var(T)+[E(T)]²=(1/λ)²+(1/λ)²=2/λ²=2/0.0004=5000。3.5对一元线性回归y=β₀+β₁x+ε，若样本量n=10，Σx=30，Σy=90，Σx²=110，Σxy=310，则β₁的最小二乘估计为________。答案：1解析：Sxy=Σxy−(ΣxΣy)/n=310−270=40，Sxx=Σx²−(Σx)²/n=110−90=20，β₁=Sxy/Sxx=2，重新核对：Σx=30，n=10，x̄=3，Σx²=110，Sxx=110−10·9=20，Σy=90，ȳ=9，Σxy=310，Sxy=310−10·3·9=310−270=40，β₁=40/20=2，填2。3.6若X~N(0,1)，则E(|X|)=________。（保留三位小数）答案：0.798解析：√(2/π)≈0.7979，四舍五入0.798。4.解答题（共50分）4.1（12分）某快递公司分拣中心记录显示，包裹重量W（kg）服从分段分布：60%概率服从U(0,2]，40%概率服从U(2,5]。(1)求W的期望与方差；(2)若随机抽取100件，求总重量超过260kg的近似概率。解：(1)设I=1表示来自U(0,2]，I=0表示来自U(2,5]。E(W|I=1)=1，Var(W|I=1)=(2−0)²/12=1/3；E(W|I=0)=3.5，Var(W|I=0)=(5−2)²/12=9/12=3/4。全期望：E(W)=0.6·1+0.4·3.5=1+1.4=2.4kg。全方差：Var(W)=E[Var(W|I)]+Var[E(W|I)]=0.6·(1/3)+0.4·(3/4)+[0.6(1−2.4)²+0.4(3.5−2.4)²]=0.2+0.3+[0.6·1.96+0.4·1.21]=0.5+1.176+0.484=2.16kg²。(2)100件总和S=ΣW_i，近似正态，均值100·2.4=240，方差100·2.16=216，标准差√216≈14.7。P(S>260)=P(Z>(260−240)/14.7)=P(Z>1.36)≈1−0.9131=0.0869，即约8.7%。4.2（12分）某疫苗冷链运输要求全程温度不超过8°C。历史数据表明，运输时长T（h）与峰值温度Y（°C）满足线性关系Y=2.5+0.8T+ε，ε~N(0,0.6²)。现有两批货物，运输时长分别为5h与7h。(1)分别计算两批货物峰值温度超过8°C的概率；(2)若将运输时长压缩至4h，求此时峰值温度仍超标的概率；(3)若要求超标概率低于1%，求最长允许运输时长。解：(1)T=5：Y~N(2.5+4,0.6²)=N(6.5,0.6²)，P(Y>8)=P(Z>(8−6.5)/0.6)=P(Z>2.5)=0.0062。T=7：Y~N(2.5+5.6,0.6²)=N(8.1,0.6²)，P(Y>8)=P(Z>−0.1667)=0.566。(2)T=4：均值2.5+3.2=5.7，P(Y>8)=P(Z>3.833)≈0.00006。(3)设临界t：P(Y>8)<0.01⇒P(Z>(8−2.5−0.8t)/0.6)<0.01⇒(5.5−0.8t)/0.6>2.326⇒0.8t<5.5−1.3956⇒t<5.13h。4.3（13分）某社交媒体平台测试两种推荐算法A、B，随机分配用户，记录次日留存率。A组1000人留存632人，B组1000人留存685人。(1)构造两组留存率差异的95%置信区间；(2)在α=0.05下检验H₀:p_A=p_BvsH₁:p_A≠p_B；(3)若认为B优于A，需差异至少1个百分点才有商业价值，求检验功效（power）约为多少？（可用正态近似）解：(1)p̂_A=0.632，p̂_B=0.685，差异d̂=−0.053。合并率p̂=1317/2000=0.6585，SE=√[p̂(1−p̂)(1/1000+1/1000)]=√[0.6585·0.3415·0.002]=√0.000449≈0.0212。95%CI：d̂±1.96·SE=−0.053±0.0416→(−0.0946,−0.0114)。(2)Z=−0.053/0.0212≈−2.50，|Z|>1.96，拒绝H₀，p值≈0.012。(3)设真实差异δ=−0.01（B高1个百分点），则新SE≈√[0.645·0.355·0.002]=0.0214。临界值在d̂尺度为±0.042。非中心参数|δ|/SE=0.01/0.0214≈0.467。单侧检验更贴合商业目标，但题目用双侧，power=P(|Z|>1.96|δ=0.01)=P(Z<−1.96−0.467)+P(Z>1.96−0.467)=Φ(−2.427)+1−Φ(1.493)≈0.0076+0.068≈7.6%，显然过低；重新按单侧“B高”：H₁:p_B>p_A，则临界Z=1.645，power=P(Z>1.645−0.467)=P(Z>1.178)=0.119，即约