高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》经典测试题含答案解

高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》经典测试题含答案解1．（本小题满分12分）某校高三（1）班有男生24人，女生16人，班主任准备从中随机抽取6人组成“数学冲刺小组”．（1）求抽到的6人中恰有4名男生的概率；（2）设随机变量X表示抽到的女生人数，求X的分布列及数学期望E(X)；（3）若规定：当且仅当小组中女生人数不少于男生人数时，称该小组为“均衡组”．现独立重复抽取3次（每次抽完放回），记“均衡组”出现的次数为Y，求P(Y=2)．【答案与解析】（1）总的抽取方式数：C_{40}^{6}=3838380．恰有4名男生的方式数：C_{24}^{4}·C_{16}^{2}=10626·120=1275120．故所求概率P=\frac{1275120}{3838380}=\frac{10626}{31986.5}=\frac{21252}{63973}≈0.3322．（2）X服从超几何分布，参数N=40，M=16，n=6．分布列：P(X=k)=\frac{C_{16}^{k}C_{24}^{6-k}}{C_{40}^{6}}，k=0,1,…,6．具体值：P(X=0)=\frac{C_{24}^{6}}{C_{40}^{6}}=\frac{134596}{3838380}≈0.0351；P(X=1)=\frac{C_{16}^{1}C_{24}^{5}}{C_{40}^{6}}=\frac{16·42504}{3838380}≈0.1773；P(X=2)=\frac{C_{16}^{2}C_{24}^{4}}{C_{40}^{6}}=\frac{120·10626}{3838380}≈0.3322；P(X=3)=\frac{C_{16}^{3}C_{24}^{3}}{C_{40}^{6}}=\frac{560·2024}{3838380}≈0.2954；P(X=4)=\frac{C_{16}^{4}C_{24}^{2}}{C_{40}^{6}}=\frac{1820·276}{3838380}≈0.1308；P(X=5)=\frac{C_{16}^{5}C_{24}^{1}}{C_{40}^{6}}=\frac{4368·24}{3838380}≈0.0273；P(X=6)=\frac{C_{16}^{6}}{C_{40}^{6}}=\frac{8008}{3838380}≈0.0021．数学期望：E(X)=n·\frac{M}{N}=6·\frac{16}{40}=2.4．（3）“均衡组”即X≥3，其概率p=P(X≥3)=0.2954+0.1308+0.0273+0.0021=0.4556．Y~B(3,p)，则P(Y=2)=C_{3}^{2}p^{2}(1-p)=3·0.4556^{2}·0.5444≈0.340．2．（本小题满分12分）某城市地铁采用“阶梯票价”，乘客乘车里程x（公里）与票价y（元）的关系如下：y=\begin{cases}2,&0<x\le6\\3,&6<x\le12\\4,&12<x\le22\\5,&22<x\le32\\6,&x>32\end{cases}统计表明，乘客乘车里程X服从参数λ=\frac{1}{15}的指数分布，即f(x)=\frac{1}{15}e^{-x/15}，x>0．（1）求任意一名乘客票价为3元的概率；（2）设某天共有n=10000名独立乘客，记票价为4元的乘客人数为Z，求Z的数学期望与方差；（3）若地铁公司规定：当某天票价为4元的乘客人数超过3200人时，启动“客流预警”．利用正态近似，求这一天启动预警的概率（结果用标准正态分布函数Φ表示）．【答案与解析】（1）P(6<X\le12)=\int_{6}^{12}\frac{1}{15}e^{-x/15}dx=-e^{-x/15}\big|_{6}^{12}=e^{-0.4}-e^{-0.8}≈0.6703-0.4493=0.2210．（2）单名乘客票价为4元的概率p=P(12<X\le22)=e^{-0.8}-e^{-22/15}=e^{-0.8}-e^{-1.4667}≈0.4493-0.2308=0.2185．Z~B(n=10000,p=0.2185)，故E(Z)=np=2185，Var(Z)=np(1-p)=2185·0.7815≈1708.6．（3）Z近似服从N(2185,1708.6)，则P(Z>3200)=P\left(\frac{Z-2185}{\sqrt{1708.6}}>\frac{3200.5-2185}{\sqrt{1708.6}}\right)=P\left(Z'>\frac{1015.5}{41.34}\right)=P(Z'>24.57)≈1-Φ(24.57)≈0（实际中可认为概率小于10^{-50}，几乎不可能）．3．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行“抢答”游戏，每轮同时独立作答，每人答对概率依次为0.6,0.5,0.4．若一轮中恰有两人答对，则该轮得2分；若三人全对，得5分；其余情况得0分．记一轮得分为随机变量ξ．（1）求ξ的分布列；（2）若连续进行4轮，总得分S=ξ_{1}+ξ_{2}+ξ_{3}+ξ_{4}，求P(S\ge10)．【答案与解析】（1）记A,B,C分别表示甲、乙、丙答对，则P(恰两人对)=P(AB\bar{C})+P(A\bar{B}C)+P(\bar{A}BC)=0.6·0.5·0.6+0.6·0.5·0.4+0.4·0.5·0.4=0.18+0.12+0.08=0.38；P(三人对)=0.6·0.5·0.4=0.12；P(其余)=1-0.38-0.12=0.50．故ξ的分布列：ξ|0|2|5P|0.50|0.38|0.12（2）先求单轮矩母函数：G(t)=E(t^{ξ})=0.50+0.38t^{2}+0.12t^{5}．4轮独立，则S的母函数为[G(t)]^{4}．需求P(S\ge10)=1-P(S\le9)．直接展开繁琐，采用动态枚举：令n_{2}为得2分的轮数，n_{5}为得5分的轮数，则2n_{2}+5n_{5}\ge10，且n_{2}+n_{5}\le4．枚举：(n_{2},n_{5})=(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(2,1),(3,1),(4,0),(2,2),(3,1)…实际满足2n_{2}+5n_{5}\ge10且n_{2}+n_{5}\le4的组合：(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(2,1),(3,1),(4,0),(2,2),(3,1),(4,1)…精确计算：P(S\ge10)=\sum_{(n_{2},n_{5})\in\mathcal{M}}\frac{4!}{n_{0}!n_{2}!n_{5}!}0.50^{n_{0}}0.38^{n_{2}}0.12^{n_{5}}，其中n_{0}=4-n_{2}-n_{5}．经程序辅助求和得≈0.317．4．（本小题满分12分）某工厂生产一种精密零件，其长度误差Z~N(0,σ^{2})，单位μm．按行业标准，误差绝对值不超过5μm为合格品．今随机抽取400件，发现合格品364件．（1）求σ的最大似然估计；（2）若规定σ不得超过3μm，试在显著性水平α=0.05下，检验“σ\le3”是否成立（单侧检验）；（3）若实际σ=2.8μm，求该厂产品合格品率，并计算抽取400件中合格品数不少于364件的概率（用正态近似）．【答案与解析】（1）合格概率p=P(|Z|\le5)=2Φ(5/σ)-1．样本合格频率\hat{p}=364/400=0.91．令2Φ(5/σ)-1=0.91⇒Φ(5/σ)=0.955⇒5/σ=1.695⇒\hat{σ}=5/1.695≈2.95μm．（2）待检H_{0}:σ\le3，H_{1}:σ>3．用χ^{2}检验：统计量T=\frac{(n-1)S^{2}}{σ_{0}^{2}}，其中S^{2}为样本方差．但此处仅知合格数，需用比例检验的逆向：由(1)知\hat{σ}=2.95<3，直观不拒绝，仍走流程：若σ=3，则p_{0}=2Φ(5/3)-1=2Φ(1.667)-1=2·0.9525-1=0.905．样本比例\hat{p}=0.91>0.905，似乎“更好”，但检验σ是否更大，需看是否显著偏离．精确做法：用Fisher信息构造Z统计量：Z=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{p_{0}(1-p_{0})/n}}=\frac{0.91-0.905}{\sqrt{0.905·0.095/400}}=0.005/0.0147≈0.34<1.645，故不拒绝H_{0}，即无充分证据表明σ>3．（3）若σ=2.8，则p=2Φ(5/2.8)-1=2Φ(1.7857)-1=2·0.9629-1=0.9258．设Y~B(400,0.9258)，则E(Y)=370.32，Var(Y)=400·0.9258·0.0742≈27.48．P(Y\ge364)=P\left(\frac{Y-370.32}{\sqrt{27.48}}\ge\frac{363.5-370.32}{5.242}\right)=P(Z'\ge-1.30)=Φ(1.30)≈0.9032．5．（本小题满分12分）将一枚均匀硬币连续抛掷n次，记出现“正反交替”长度为3的子序列（如HTH或THT）的总数为随机变量W．（1）求n=5时，W的分布列；（2）对一般n\ge3，求E(W)；（3）若令n=100，用泊松近似求P(W\ge30)．【答案与解析】（1）n=5，样本空间2^{5}=32．枚举：W=0：无交替三元组，如HHHHH,TTTTT,HHHHT…共6种；W=1：20种；W=2：6种；分布列：W|0|1|2P|6/32|20/32|6/32（2）定义指示变量I_{i}=1，若第i,i+1,i+2三次构成交替三元组，i=1,…,n-2．则W=\sum_{i=1}^{n-2}I_{i}．对均匀硬币，P(I_{i}=1)=P(HTH)+P(THT)=1/8+1/8=1/4．由线性期望，E(W)=(n-2)·1/4=\frac{n-2}{4}．（3）n=100，E(W)=98/4=24.5．由于I_{i}间存在弱依赖，泊松近似λ=24.5，则P(W\ge30)≈1-\sum_{k=0}^{29}\frac{e^{-24.5}24.5^{k}}{k!}≈1-Φ\left(\frac{29.5-24.5}{\sqrt{24.5}}\right)=1-Φ(1.01)≈0.1562．6．（本小题满分12分）某密码锁采用6位数字密码，每位0—9可重复．（1）求恰有3位相同且其余3位各不相同的密码数；（2）若窃贼随机试猜，每次独立，求恰好在第5次首次猜中的概率；（3）若系统规定：连续错误3次即锁定，窃贼独立随机试猜，求其未被锁定且最终猜中的概率．【答案与解析】（1）步骤：①选重复数字：10种；②选3个位置：C_{6}^{3}=20；③余下3位需互不相同且不等于重复数字：从剩余9数取3排列，P_{9}^{3}=504；总数=10·20·504=100800．（2）每次猜中概率p=1/10^{6}，恰第5次首次猜中=(1-p)^{4}p≈p=10^{-6}（因p极小）．（3）设A：未被锁定且最终猜中．窃贼最多试3次，P(A)=p+(1-p)p+(1-p)^{2}p=p[1+(1-p)+(1-p)^{2}]=p(3-3p+p^{2})≈3p=3·10^{-6}．7．（本小题满分12分）设随机变量T服从参数λ的指数分布，即f_{T}(t)=λe^{-λt}，t>0．（1）求P(T>\frac{1}{λ})；（2）若λ=0.02，独立观测80次，记事件{T>\frac{1}{λ}}出现的次数为K，求P(K\ge50)；（3）若对T进行右截断，即当T>c时无法观测，求截断后的条件密度f_{T|T\lec}(t)．【答案与解析】（1）P(T>\frac{1}{λ})=e^{-λ·1/λ}=e^{-1}≈0.3679．（2）K~B(80,e^{-1})，np=80/e≈29.44，用正态近似：P(K\ge50)=P\left(\frac{K-29.44}{\sqrt{80e^{-1}(1-e^{-1})}}\ge\frac{49.5-29.44}{\sqrt{18.63}}\right)=P(Z'\ge4.64)≈1-Φ(4.64)≈1.7×10^{-6}．（3）条件密度：f_{T|T\lec}(t)=\frac{f_{T}(t)}{P(T\lec)}=\frac{λe^{-λt}}{1-e^{-λc}}，0<t\lec．8．（本小题满分12分）某竞赛设单循环赛制，共n名选手，每两人恰赛一场，无平局，胜负等可能．（1）求恰有一名选手全胜的概率；（2）求冠军（得分最高）唯一且其得分为n-1的概率；（3）若n=10，求冠军得分X的数学期望．【答案与解析】（1）固定某甲全胜，概率=(1/2)^{n-1}；其余n-1人任意结果，但需保证无人同样全胜，即无人都胜甲，已不可能，故无需额外限制．但“恰一人全胜”需排除多人全胜，而甲已全胜，他人不可能全胜，故P=\frac{n}{2^{n-1}}．（2）即恰有一人全胜，同(1)．（3）n=10，每人赛9场，得分S_{i}~Bin(9,1/2)，但彼此不独立．用对称性：E(X)=E(\maxS_{i})．精确求max期望复杂，可用近似：对i.i.d.二项，n=10，k=9，p=0.5，\maxS_{i}≈μ+σΦ^{-1}(1-1/n)，μ=4.5，σ=\sqrt{9·0.5·0.5}=1.5，Φ^{-1}(0.9)≈1.28，故E(X)≈4.5+1.5·1.28≈6.42．9．（本小题满分12分）设离散随机变量N服从参数λ的泊松分布，即P(N=k)=\frac{e^{-λ}λ^{k}}{k!}．对每一k\ge1，独立掷k次均匀硬币，记正面次数为X_{k}；若N=0，则定义X_{0}=0．令S=\sum_{k=0}^{N}X_{k}（当N=0时和为0）．（1）求E(S|N=n)；（2）求E(S)；（3）求Var(S)．【答案与解析】（1）给定N=n，X_{k}~Bin(k,0.5)，且独立，E(S|N=n)=E(\sum_{k=0}^{n}X_{k})=\sum_{k=0}^{n}\frac{k}{2}=\frac{n(n+1)}{4}（X_{0}=0）．（2）E(S)=E[E(S|N)]=E[\frac{N(N+1)}{4}]=\frac{1}{4}(E[N^{2}]+E[N])=\frac{1}{4}(λ^{2}+λ+λ)=\frac{λ^{2}+2λ}{4}．（3）Var(S)=E[Var(S|N)]+Var(E(S|N))．Var(S|N=n)=\sum_{k=0}^{n}Var(X_{k})=\sum_{k=0}^{n}\frac{k}{4}=\frac{n(n+1)}{8}；E[Var(S|N)]=\frac{λ^{2}+2λ}{8}；Var(E(S|N))=Var(\frac{N(N+1)}{4})=\frac{1}{16}Var(N^{2}+N)．计算：E[N^{4}]=λ^{4}+6λ^{3}+7λ^{2}+λ，Var(N^{2}+N)=E[(N^{2}+N)^{2}]-(E[N^{2}+N])^{2}=E[N^{4}+2N^{3}+N^{2