全国中考数学试题分类汇编统计初步与概率问题及答案

全国中考数学试题分类汇编统计初步与概率问题及答案1．（重庆A卷）某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从全校480名九年级学生中随机抽取40名进行调查，得到如下数据（单位：min）：28354250384552603341465548364451394758434049533734565931544842504657445240455147（1）填写频数分布表：|时间x/min|30≤x＜36|36≤x＜42|42≤x＜48|48≤x＜54|54≤x≤60||-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------||频数||||||（2）估计该校九年级学生中每天锻炼时间不少于48min的人数；（3）从锻炼时间在54min及以上的学生中随机抽取2人，求这2人锻炼时间均不低于56min的概率．【答案与解析】（1）逐段统计：30≤x＜36：28，33，31，34→436≤x＜42：35，38，39，36，37，40，40→742≤x＜48：42，45，44，46，43，44，46，42，45，47→1048≤x＜54：50，48，51，49，53，54，48，50，52，51→1054≤x≤60：52，55，58，56，59，57→6填表：4，7，10，10，6（2）不少于48min的频数为10＋6＝16，频率16/40＝0.4估计人数：480×0.4＝192（3）54min及以上共6人，其中≥56min的有55，58，56，59，57共5人所求概率＝C(5,2)/C(6,2)＝10/15＝2/32．（江苏南京）某商场举行“转转盘赢大奖”活动，转盘被均匀分成8个扇形，分别标有数字1～8，其中1，3，5，7为红色，2，4，6，8为黑色．顾客转动一次，指针停在红色区域即可获得纪念品．（1）求顾客转动一次获得纪念品的概率；（2）若甲、乙两人各转一次，求恰有一人获得纪念品的概率；（3）若连续转3次，求红色出现次数X的分布列及期望．【答案与解析】（1）红色扇形4个，P＝4/8＝1/2（2）恰一人获奖含两种互斥情形：甲中乙不中：1/2×1/2＝1/4甲不中乙中：1/2×1/2＝1/4总概率＝1/4＋1/4＝1/2（3）X～B(n＝3，p＝1/2)分布列：P(X＝0)＝C(3,0)(1/2)^0(1/2)^3＝1/8P(X＝1)＝C(3,1)(1/2)^1(1/2)^2＝3/8P(X＝2)＝C(3,2)(1/2)^2(1/2)^1＝3/8P(X＝3)＝C(3,3)(1/2)^3(1/2)^0＝1/8期望E(X)＝np＝3×1/2＝3/23．（浙江杭州）某校举行“垃圾分类知识竞赛”，随机抽取100名学生的成绩（满分100分），得到如下频数分布：|成绩段|[50,60)|[60,70)|[70,80)|[80,90)|[90,100]||--------|----------|----------|----------|----------|-----------||频数|6|14|30|35|15|（1）计算样本平均数（用组中值代表）；（2）若将成绩≥80分定为“优秀”，估计全校800名学生中优秀人数；（3）从样本中随机抽取2人，求这2人成绩均不低于80分的概率．【答案与解析】（1）组中值：55，65，75，85，95平均数＝(55×6＋65×14＋75×30＋85×35＋95×15)/100＝(330＋910＋2250＋2975＋1425)/100＝7890/100＝78.9（2）优秀频数35＋15＝50，频率0.5估计优秀人数：800×0.5＝400（3）优秀共50人，所求概率＝C(50,2)/C(100,2)＝(50×49/2)/(100×99/2)＝2450/9900＝49/198≈0.2474．（山东青岛）袋中有4个红球、3个白球、2个黑球，除颜色外完全相同．从中一次随机取出3个球，记X为取到红球的个数．（1）求X的分布列；（2）求X的期望．【答案与解析】总球数9，取3球，C(9,3)＝84X可能取值0，1，2，3P(X＝0)＝C(5,3)/84＝10/84P(X＝1)＝C(4,1)C(5,2)/84＝4×10/84＝40/84P(X＝2)＝C(4,2)C(5,1)/84＝6×5/84＝30/84P(X＝3)＝C(4,3)/84＝4/84分布列：X0123P10/8440/8430/844/84期望E(X)＝0×10/84＋1×40/84＋2×30/84＋3×4/84＝(40＋60＋12)/84＝112/84＝4/35．（四川成都）某校为了解学生使用手机的时间，随机抽取n名学生，得到如下频率分布直方图信息：[0,0.5)频率0.08；[0.5,1)频率0.20；[1,1.5)频率0.32；[1.5,2)频率0.24；[2,2.5)频率0.16．（1）若[1,1.5)的频数为32，求n；（2）求学生平均每天使用手机的时间（用组中值）；（3）若从每天使用不低于2小时的学生中随机抽取3人，设其中使用时间落在[2,2.5)的人数为Y，求P(Y＝2)．【答案与解析】（1）[1,1.5)频率0.32，频数32→n＝32/0.32＝100（2）组中值：0.25，0.75，1.25，1.75，2.25平均时间＝0.25×0.08＋0.75×0.20＋1.25×0.32＋1.75×0.24＋2.25×0.16＝0.02＋0.15＋0.40＋0.42＋0.36＝1.35h（3）不低于2小时频率0.16，人数100×0.16＝16其中[2,2.5)人数100×0.16＝16，即全部落在该段Y～H(N＝16，K＝16，n＝3)，实际上Y≡3，故P(Y＝2)＝0（注：题意隐含“不低于2小时全部落在[2,2.5)”，否则需补充条件；若仅知频率，则Y～B(3,1)退化，Y≡3，概率为0）6．（湖南长沙）甲、乙两班各派出5名同学参加知识竞赛，成绩如下：甲班：7882858892乙班：7680849095（1）计算两班成绩的平均数、方差；（2）若从两班共10人中随机抽取2人，求这2人来自同一班的概率；（3）规定成绩≥90分为“优秀”，从甲班抽1人、乙班抽1人，求恰有1人优秀的概率．【答案与解析】（1）平均数：甲＝(78＋82＋85＋88＋92)/5＝85乙＝(76＋80＋84＋90＋95)/5＝85方差：甲＝[(78－85)²＋(82－85)²＋(85－85)²＋(88－85)²＋(92－85)²]/5＝(49＋9＋0＋9＋49)/5＝106/5＝21.2乙＝[(76－85)²＋(80－85)²＋(84－85)²＋(90－85)²＋(95－85)²]/5＝(81＋25＋1＋25＋100)/5＝232/5＝46.4（2）同一班概率＝[C(5,2)＋C(5,2)]/C(10,2)＝(10＋10)/45＝20/45＝4/9（3）甲班优秀1人（92），乙班优秀2人（90，95）恰1人优秀含：甲优秀乙不优秀：1/5×3/5＝3/25甲不优秀乙优秀：4/5×2/5＝8/25总概率＝3/25＋8/25＝11/257．（广东深圳）某市对居民用水实行阶梯价格：第一档0～15t，水价2.5元/t；第二档15～25t，水价3.5元/t；第三档25t以上，水价5.5元/t．随机抽取100户家庭某月用水量，得到频率分布：[0,5)频率0.06；[5,10)频率0.18；[10,15)频率0.30；[15,20)频率0.24；[20,25)频率0.14；[25,30)频率0.08．（1）估计全市10万户家庭该月水费不少于60元的户数；（2）从样本中随机抽取2户，求这2户水费均落在第二档的概率；（3）设某户用水量为Xt，写出水费Y关于X的分段函数，并求E(Y)（用组中值近似）．【答案与解析】（1）水费≥60元对应用水量≥20t（因15t水费37.5元，20t水费37.5＋5×3.5＝55元，25t水费55＋5×5.5＝82.5元，故需≥20t）≥20t频率0.14＋0.08＝0.22估计户数：100000×0.22＝22000（2）第二档用水量15～25t，频率0.24＋0.14＝0.38，人数38所求概率＝C(38,2)/C(100,2)＝703/4950≈0.142（3）分段函数：Y＝2.5X，0≤X≤15Y＝37.5＋3.5(X－15)，15＜X≤25Y＝37.5＋35＋5.5(X－25)，X＞25组中值：2.5，7.5，12.5，17.5，22.5，27.5对应水费：2.5×2.5＝6.252.5×7.5＝18.752.5×12.5＝31.2537.5＋3.5×2.5＝46.2537.5＋3.5×7.5＝63.7537.5＋35＋5.5×2.5＝86.25E(Y)＝6.25×0.06＋18.75×0.18＋31.25×0.30＋46.25×0.24＋63.75×0.14＋86.25×0.08＝0.375＋3.375＋9.375＋11.1＋8.925＋6.9＝40.05元8．（福建厦门）某游戏设置一条由A到B的通道，共5个路口，每个路口独立设置红绿灯，红灯概率1/3，绿灯2/3．玩家遇到红灯需等待1min，绿灯直接通过．（1）求玩家全程等待时间Y的分布列；（2）求Y的期望；（3）若等待时间超过2min即视为“失败”，求失败概率．【答案与解析】Y～B(n＝5，p＝1/3)，Y表示红灯数，等待时间＝Ymin（1）分布列：P(Y＝k)＝C(5,k)(1/3)^k(2/3)^(5－k)，k＝0,1,2,3,4,5（2）E(Y)＝np＝5/3min（3）失败即Y≥3P(Y≥3)＝1－P(Y≤2)＝1－[C(5,0)(2/3)^5＋C(5,1)(1/3)(2/3)^4＋C(5,2)(1/3)^2(2/3)^3]＝1－[32/243＋80/243＋80/243]＝1－192/243＝51/243＝17/819．（安徽合肥）某校举行“诗词大会”，比赛分两轮，每轮满分100分．随机抽取10名同学的成绩：|学生|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||第一轮|82|85|78|90|88|76|92|80|86|84||第二轮|86|84|80|95|90|78|94|82|88|85|（1）计算两轮成绩的样本相关系数r（保留两位小数）；（2）若规定“进步”指第二轮比第一轮高5分及以上，估计全校200名学生中“进步”人数；（3）从10人中随机抽取2人，求这2人第二轮均比第一轮高的概率．【答案与解析】（1）计算得：第一轮平均＝84.1，第二轮平均＝86.2协方差Σ(xi－x̄)(yi－ȳ)＝156.9第一轮标准差sx＝√[Σ(xi－x̄)²/10]＝√158.9≈12.61第二轮标准差sy＝√[Σ(yi－ȳ)²/10]＝√156.4≈12.51r＝156.9/(12.61×12.51)≈0.99（2）进步学生：1号＋4分，2号－1，3号＋2，4号＋5，5号＋2，6号＋2，7号＋2，8号＋2，9号＋2，10号＋1仅4号满足≥5分，频数1，频率0.1估计人数：200×0.1＝20（3）第二轮高于第一轮共9人（仅2号下降）所求概率＝C(9,2)/C(10,2)＝36/45＝4/510．（河北石家庄）某校为了解学生每天睡眠时间，随机抽取50人，得到数据（单位：h）：5.56.06.57.07.58.08.59.0频数：25101512411（1）求样本平均数、中位数、众数；（2）若睡眠时间不足7h视为“不足”，估计全校1200名学生中睡眠不足人数；（3）从样本中随机抽取3人，求恰有1人睡眠时间在8h及以上的概率．【答案与解析】（1）平均数＝(5