《应用统计学》练习试题和答案解析

《应用统计学》练习试题和答案解析一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某电商平台想研究“618”大促期间用户下单金额是否受优惠券面额影响，随机抽取1000名用户，记录其使用优惠券面额与最终实付金额。下列哪种图形最适合初步观察两变量间线性关系强弱？A.直方图 B.箱线图 C.散点图 D.雷达图答案：C解析：散点图用横纵坐标分别表示两个连续变量，点的分布趋势可直观反映线性相关强弱；直方图、箱线图用于单变量分布，雷达图适合多指标对比，均不满足需求。2.在简单线性回归y=β₀+β₁x+ε中，若ε服从N(0,σ²)，则β₁的OLS估计量β̂₁的抽样分布为：A.t(n-2) B.N(β₁,σ²/Σ(xi-x̄)²) C.χ²(n-1) D.F(1,n-2)答案：B解析：高斯-马尔可夫定理下，β̂₁是β₁的无偏估计，且Var(β̂₁)=σ²/Sxx，其中Sxx=Σ(xi-x̄)²；又因ε正态，故β̂₁~N(β₁,σ²/Sxx)。3.对同一组数据分别建立95%置信区间与99%置信区间，则：A.两者宽度相同 B.95%更宽 C.99%更宽 D.无法比较答案：C解析：置信水平越高，临界值zα/2或tα/2越大，区间半宽越大，因此99%区间更宽。4.某质检部门每天抽检10件产品，记录不合格数，连抽30天，欲建立控制图监控过程质量，应选：A.x̄-R图 B.p图 C.c图 D.u图答案：B解析：每件产品只有“合格/不合格”两种结果，属二项分布，样本量固定为10，故选p图监控不合格率；c图、u图用于计点数据，x̄-R图用于连续变量。5.在单因素方差分析中，若F统计量=4.5，分子自由度=3，分母自由度=20，查表得F₀.₀₅(3,20)=3.10，则：A.拒绝原假设，说明所有总体均值全相等 B.拒绝原假设，说明至少一对均值不等 C.不拒绝原假设 D.需再作多重比较才能下结论答案：B解析：F=4.5>3.10，p<0.05，拒绝H₀；拒绝仅表明“不全相等”，并非“全不相等”，也无需先做多重比较即可得出“至少一对不等”的结论。6.对某城市1200名成年人进行血型调查，得到A:B:AB:O=270:240:90:600，欲检验该分布是否符合“民族学理论比例”2:2:1:5，应采用的检验为：A.单样本t检验 B.配对t检验 C.卡方拟合优度检验 D.独立样本非参数检验答案：C解析：比较观测频数与理论频数差异，属多项分布拟合问题，用χ²拟合优度检验；t检验用于均值，非参数检验不针对比例。7.若随机变量X~Poisson(λ)，则Var(X)与E(X)的比值为：A.λ² B.1 C.1/λ D.λ答案：B解析：泊松分布的期望与方差均为λ，故比值为1。8.在多元回归中，若某自变量xk的VIF=8.5，则通常认为：A.不存在多重共线性 B.存在轻度多重共线性 C.存在严重多重共线性 D.模型必定错误答案：C解析：经验规则VIF>10为严重，5~10为中度偏高，8.5已接近10，应视为“严重”门槛边缘，需警惕。9.对同一总体，若样本量从n增大到4n，则样本均值的抽样标准误将：A.不变 B.变为原来1/2 C.变为原来1/4 D.变为原来2倍答案：B解析：标准误=σ/√n，√(4n)=2√n，故新标准误为σ/(2√n)=原标准误的一半。10.在时间序列加法模型Y=T+S+C+I中，若采用移动平均法估计趋势T，则季节指数计算步骤中，首先应：A.对原序列做中心化移动平均 B.对原序列做差分 C.用回归拟合趋势 D.直接求各月平均答案：A解析：加法模型下，用中心化12期移动平均可消除季节与不规则成分，得到趋势循环分量TC，再用Y-TC得SI，继续求季节指数。二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于假设检验的陈述，正确的有：A.p值是H₀为真时，出现当前样本及更极端结果的概率 B.显著性水平α是犯第一类错误的最大允许概率 C.当p>α时，可认为H₀必定为真 D.降低α会同时降低检验功效 E.双侧检验的p值总是单侧的两倍答案：A、B、D解析：C错误，p>α仅表示“无充分证据拒绝”，非“证明为真”；E错误，仅当抽样分布对称且观测值位于单侧尾部时才成立，非普遍。12.关于χ²分布的性质，正确的有：A.取值非负 B.为对称分布 C.随着自由度增加，逐渐趋近正态 D.独立χ²变量之和仍服从χ²，自由度相加 E.均值等于自由度答案：A、C、D、E解析：χ²为右偏，非对称，故B错；其余均正确。13.在简单随机抽样下，估计总体比例p时，所需样本量n与下列哪些因素有关：A.允许误差d B.置信水平对应的zα/2 C.总体大小N（当N有限） D.预估比例p E.总体方差σ²答案：A、B、C、D解析：比例估计的公式n₀=z²p(1-p)/d²，若N有限再修正n=n₀/(1+n₀/N)，与σ²无关。14.下列哪些方法可用于检验数据是否来自正态总体：A.Q-Q图 B.Shapiro-Wilk检验 C.Kolmogorov-Smirnov检验 D.Jarque-Bera检验 E.Levene检验答案：A、B、C、D解析：Levene检验用于方差齐性，不针对正态性。15.若建立Logistic回归模型logit(π)=β₀+β₁x，则：A.π表示事件发生的概率 B.e^β₁表示x增加一个单位时的优势比 C.参数估计采用最大似然法 D.残差服从正态分布 E.可用Hosmer-Lemeshow检验拟合优度答案：A、B、C、E解析：Logistic回归残差非正态，D错。三、填空题（每空2分，共20分）16.若X~N(μ,25)，抽取n=16的样本，得x̄=18，则μ的95%置信区间为(____,____)。（保留一位小数）答案：(15.5,20.5)解析：σ=5，σx̄=5/√16=1.25，z₀.₀₂₅=1.96，区间=18±1.96×1.25=18±2.45。17.在单因素方差分析中，已知SSB=180，SSE=420，k=4组，n=60，则MSB=____，MSE=____，F=____。答案：60；7.5；8解析：dfB=k-1=3，MSB=180/3=60；dfE=n-k=56，MSE=420/56=7.5；F=60/7.5=8。18.若随机变量T服从自由度为15的t分布，则P(T>2.131)=____。（查表得t₀.₀₂₅(15)=2.131）答案：0.025解析：双侧尾部对称，单尾概率为0.025。19.某指数平滑模型中，平滑系数α=0.3，上期平滑值Sₜ₋₁=120，本期观测yₜ=135，则本期平滑值Sₜ=____。答案：124.5解析：Sₜ=αyₜ+(1-α)Sₜ₋₁=0.3×135+0.7×120=40.5+84=124.5。20.在质量控制中，若过程均值偏移1.5σ，则采用3σ控制图时，ARL（平均运行长度）约为____。答案：14解析：查偏移1.5σ的ARL表，得近似14。四、计算与综合题（共45分）21.（10分）某高校欲估计本科生月均生活费，历史σ=180元。现希望估计误差不超过20元，置信水平95%，求所需样本量。若预算限制最多调查400人，问允许误差变为多少？解：n₀=z²σ²/d²=1.96²×180²/20²=3.8416×32400/400=311.17→312人。若n=400，则d=zσ/√n=1.96×180/√400=352.8/20=17.64元。答案：需312人；若仅400人，误差降至约17.6元。22.（12分）为比较三种包装材料对零食保质期的影响，随机分配15批产品，每批5包，记录保质期（天）：材料A：185190188184187材料B：180178182181179材料C：175173176174175（1）提出假设；（2）完成方差分析表；（3）若显著，用TukeyHSD做多重比较（α=0.05）。解：（1）H₀：μA=μB=μC；H₁：至少一对不等。（2）计算：x̄A=186.8，x̄B=180，x̄C=174.6，总均值x̄=180.47SSB=5[(186.8-180.47)²+(180-180.47)²+(174.6-180.47)²]=5(40.07+0.22+34.45)=373.7SSE=Σ(xij-x̄i)²=[(185-186.8)²+…+(187-186.8)²]+…=10.8+10+4.8=25.6dfB=2，dfE=12，MSB=186.85，MSE=2.133，F=87.6查F₀.₀₅(2,12)=3.89，87.6>3.89，拒绝H₀。（3）Tukey临界值q₀.₀₅(3,12)=3.77，标准误=√(MSE/5)=0.653，HSD=3.77×0.653=2.46|x̄A-x̄B|=6.8>2.46，|x̄A-x̄C|=12.2>2.46，|x̄B-x̄C|=5.4>2.46，均显著。结论：三种材料保质期差异显著，材料A最佳，C最差。23.（10分）某城市出租车公司想预测日均订单量y（千单），收集连续12个月数据，得回归方程：ŷ=2.5+0.8x₁-0.6x₂，其中x₁为“雨天比例(%)”，x₂为“油价(元/升)”。已知：SST=48，SSR=36，n=12，se(β̂₁)=0.15，se(β̂₂)=0.2。（1）计算R²并解释；（2）检验β₁是否显著（α=0.05）；（3）若x₁=30%，x₂=7.2元，求y的点预测及95%近似置信区间。解：（1）R²=SSR/SST=36/48=0.75，表示雨天比例与油价可解释75%的订单量波动。（2）t₁=β̂₁/se=0.8/0.15=5.33，t₀.₀₂₅(9)=2.26，|5.33|>2.26，拒绝H₀，β₁显著。（3）ŷ=2.5+0.8×30-0.6×7.2=2.5+24-4.32=22.18千单MSE=(SST-SSR)/(n-3)=12/9=1.33，s=√1.33=1.154近似区间=ŷ±t₀.₀₂₅(9)×s=22.18±2.26×1.154≈(19.6,24.8)。24.（13分）某连锁咖啡店推出新品，随机选择200家门店，其中100家设置“限时折扣”为实验组，另100家为对照组。一周后记录每家门店新品销量（杯）：实验组：x̄₁=520，s₁=80对照组：x̄₂=480，s₂=75（1）检验折扣是否有效（α=0.05）；（2）计算效应量Cohen’sd；（3）若总体为5000家门店，求实验组总销量提升的95%置信区间；（4）讨论结果商业意义。解：（1）H₀：μ₁≤μ₂，H₁：μ₁>μ₂（单侧）合并标准误sp²=[(99×80²+99×75²)/198]=6018.75，sp=77.58t=(520-480)/(77.58×√(1/100+1/100))=40/10.97=3.65t₀.₀₅(198)=1.65，3.65>1.65，拒绝H₀，折扣显著有效。（2）d=(x̄₁-x̄₂)/sp=40/77.58≈0.52，中等效应。（3）提升均值=40杯/店，总量提升=40×5000=200000杯标准误=10.97×50=548.5，区间=200000±1.96×548.5×50→(146000,254000)杯（4）折扣带来约14.6~25.4万杯增量，按毛利5元/杯，可增73~127万元利润，扣除折扣成本后仍可观，建议推广但需监控长期品牌溢价。五、软件输出解读题（共20分）25.下表为R输出Logistic回归部分结果，因变量为“是否复购”，自变量为“满意度评分(1~5)”与“配送时长(分钟)”：|系数  |估计值|标准误|z值 |Pr(>|z|)||----------|--------|--------|------|----------||截距  |-6.200|1.100 |-5.64|<0.001||满意度 |1.200 |0.250 |4.80 |<0.001||配送时长|-0.030|0.008 |-3.75|<0.001|（1）写出回归方程；（2）解释满意度系数；（3）计算满意度从3提升到5时，优势比变化百分比；（4）若配送时长缩短20分钟，求优势比变化；（5）预测满意度4分、配送30分钟顾客的复购概率。解：（