2026统计学课后试题及答案

2026统计学课后试题及答案1.（单选）2026年3月，某市卫健委对1200名18—25岁居民进行体脂率检测，得到样本均值22.8%，标准差4.1%。若已知总体服从正态分布，且历史资料显示该人群体脂率标准差稳定在4.0%，则下列关于“μ的95%置信区间”计算正确的是A.22.8%±0.20%  B.22.8%±0.23%  C.22.8%±0.25%  D.22.8%±0.27%答案：B解析：总体标准差已知，用Z区间。Z0.975=1.96，σ=4.0%，n=1200，误差限E=1.96×4.0%/√1200≈0.226%≈0.23%，故选B。2.（单选）在简单线性回归y=β0+β1x+ε中，若Cov(εi,εj)=0(i≠j)但Var(εi)=σi²并不相等，则下列说法正确的是A.OLS估计仍是无偏的，但标准误需用White修正B.OLS估计有偏，必须改用加权最小二乘C.OLS估计无偏且有效，t检验仍严格服从t分布D.必须采用极大似然估计才能得到无偏系数答案：A解析：误差项期望为零且互不相关⇒OLS无偏；异方差使传统标准误失效，White稳健标准误可修正，故A正确。3.（单选）设X1,…,Xni.i.d.∼Exp(λ)，记样本均值为X̄，则下列统计量中服从卡方分布的是A.2nλX̄  B.2λ∑Xi  C.2nX̄/λ  D.2λnX̄答案：B解析：Xi∼Exp(λ)⇒2λXi∼χ²(2)，由可加性得2λ∑Xi∼χ²(2n)，故B正确。4.（单选）对两独立正态总体N(μ1,σ²)、N(μ2,σ²)做双侧检验H0:μ1=μ2，样本量n1=n2=16，合并方差Sp²=25，若观测得t=2.45，则p值所在区间是A.(0.01,0.02)  B.(0.02,0.025)  C.(0.025,0.05)  D.(0.05,0.10)答案：B解析：df=30，查t分布表t0.975(30)=2.042，t0.99(30)=2.457，2.45介于2.042与2.457之间，对应双侧p∈(0.02,0.025)。5.（单选）某研究欲检验“城市A日均外卖单量是否高于城市B”，收集连续30天数据，用Wilcoxon符号秩检验，得负秩和T⁻=187，正秩和T⁺=278。若显著性水平α=0.05，则结论为A.拒绝H0，城市A显著更高B.不拒绝H0，差异不显著C.拒绝H0，城市A显著更低D.需用Mann-WhitneyU检验才能判断答案：B解析：n=30，查表得临界值T0.05=151。检验统计量T=min(T⁻,T⁺)=187>151，故不拒绝H0，差异不显著。6.（单选）在R语言中执行set.seed(2026);x<-rnorm(100);shapiro.test(x)得到p=0.003，则下列说法正确的是A.样本显著偏离正态，应放弃t检验B.样本来自正态总体，p值小属偶然C.样本量小，结果不可信D.需改用非参数bootstrap答案：A解析：p=0.003<0.05，拒绝正态性假设，t检验前提不满足，A正确。7.（单选）设随机变量X取值{0,1,2}，概率质量函数为P(X=0)=θ，P(X=1)=2θ，P(X=2)=1−3θ，0<θ<1/3。给定样本n0=12，n1=24，n2=64，则θ的极大似然估计为A.0.12  B.0.15  C.0.18  D.0.20答案：B解析：似然函数L=θ^12·(2θ)^24·(1−3θ)^64，对数似然l=12lnθ+24ln(2θ)+64ln(1−3θ)，求导dl/dθ=36/θ−192/(1−3θ)=0，解得θ=36/(36+192)=0.15。8.（单选）对k=5组独立样本做单因素方差分析，得组间均方MSB=240，组内均方MSW=60，则F值与结论为A.F=4.0，p>0.05  B.F=4.0，p<0.05  C.F=0.25，p>0.05  D.F=0.25，p<0.05答案：B解析：F=MSB/MSW=240/60=4.0，df1=4，df2=45，查表F0.95(4,45)≈2.58，4.0>2.58⇒p<0.05。9.（单选）在贝叶斯框架下，若先验θ∼Beta(2,2)，样本X∼Bin(n=20,θ)，观测到x=8，则后验均值为A.8/20  B.10/24  C.10/22  D.8/22答案：B解析：后验θ|x∼Beta(2+8,2+12)=Beta(10,14)，后验均值=10/(10+14)=10/24。10.（单选）对某时间序列拟合ARIMA(1,1,1)模型，得φ1=0.6，θ1=−0.4，则其一步ahead预测误差序列的自相关函数在滞后k=2处为A.0  B.−0.16  C.0.16  D.0.24答案：A解析：ARIMA(1,1,1)一步预测误差即为白噪声at，白噪声任意滞后k≥1的自相关均为0，故选A。11.（填空）设X1,…,Xni.i.d.∼N(μ,9)，若要求μ的95%置信区间宽度不超过1.0，则最小样本量n=________。（结果向上取整）答案：139解析：宽度=2×1.96×3/√n≤1.0⇒√n≥2×1.96×3⇒n≥(11.76)²=138.3⇒139。12.（填空）在线性回归y=Xβ+ε中，若设计矩阵X含列x1,x2，且x2=3x1，则矩阵XᵀX的行列式为________。答案：0解析：列完全共线⇒XᵀX奇异，行列式为0。13.（填空）设T∼t(15)，则P(T>2.131)=________。（保留三位小数）答案：0.025解析：查t分布双侧分位数表，t0.975(15)=2.131⇒右侧概率0.025。14.（填空）若随机变量X的矩母函数为MX(t)=exp(2t²+3t)，则E(X²)=________。答案：11解析：MX(t)=exp(3t+2t²)⇒X∼N(3,4)，故Var(X)=4，E(X)=3，E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=4+9=13。（注：原题系数已修正，若MX(t)=exp(2t²+3t)则对应N(3,4)，E(X²)=13；若MX(t)=exp(3t+2t²)结果相同，故填13。）15.（填空）对泊松过程N(t)，速率λ=0.8，则P(N(3)=4|N(5)=7)=________。（保留三位小数）答案：0.267解析：条件分布为二项，参数n=7，p=3/5=0.6，P=C(7,4)(0.6)^4(0.4)^3=35×0.1296×0.064≈0.267。16.（综合计算）某电商平台想评估新版推荐算法对GMV的提升效果。随机抽取1000名用户，随机分两组：对照组500人，实验组500人。运行两周后记录人均GMV（元）如下：对照组：均值=428，标准差=96；实验组：均值=461，标准差=108。假定两组独立且总体方差不等，（1）给出μ1−μ2的95%置信区间；（2）在α=0.05下检验H0:μ1=μ2vsH1:μ1<μ2，给出检验统计量与p值；（3）若实验组实际提升5%即为商业可接受最小值，请计算检验的效能（power）。（提示：用非中心t近似）答案与解析：（1）Welch区间：SE=√(96²/500+108²/500)=√(18.432+23.328)=√41.76≈6.46，df≈(41.76)²/(96⁴/(499×500²)+108⁴/(499×500²))≈973，t0.975(973)≈1.96，差值=461−428=33，95%CI:33±1.96×6.46→(20.3,45.7)元。（2）H1为单侧，t=(461−428)/6.46≈5.11，df=973，单侧p≈1−Φ(5.11)<0.00001，拒绝H0，实验组显著更高。（3）最小可检测差Δ=0.05×428=21.4元，非中心参数δ=21.4/6.46≈3.31，df=973，临界值t0.95(973)=1.65，power=P(T'>1.65)=1−Pt(1.65,df=973,ncp=3.31)≈0.91。17.（综合计算）某校欲建立学生每日线上学习时长Y（分钟）的预测模型，收集n=200份数据，含自变量：x1=性别（男1女0），x2=年级（1—4），x3=睡前手机使用时长（分钟），x4=周末dummy（周五至周日=1）。拟合多元线性回归得部分结果：系数表EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)45.311.24.04<0.001x1−18.74.5−4.15<0.001x26.22.12.950.003x30.480.086.00<0.001x422.45.34.22<0.001残差标准差σ̂=35.7，R²=0.42。（1）写出回归方程并解释x3系数的实际含义；（2）检验H0:β2=β4=0，给出F统计量及结论；（3）若某男生（x1=1）二年级（x2=2）睡前手机用时60分钟且为周六（x4=1），求其预测值及95%预测区间；（4）诊断发现残差QQ图尾部略偏离直线，简述两种改进策略并比较优劣。答案与解析：（1）方程：Ŷ=45.3−18.7x1+6.2x2+0.48x3+22.4x4。x3系数0.48表示：在控制性别、年级、是否周末的条件下，睡前手机使用时长每增加1分钟，次日线上学习时长平均增加0.48分钟。（2）约简模型去掉x2,x4，得RSSr=RSS+(β2²/se2²+β4²/se4²)×σ̂²≈RSS+((6.2/2.1)²+(22.4/5.3)²)×35.7²≈RSS+8.8×1274.5≈RSS+11200，全模型RSS=σ̂²(n−p)=35.7²×195≈248000，F=((RSSr−RSS)/2)/(RSS/195)≈(11200/2)/(248000/195)≈4.4，df1=2,df2=195，F0.95(2,195)=3.0，4.4>3.0⇒p<0.05，拒绝H0。（3）预测值：Ŷ=45.3−18.7+6.2×2+0.48×60+22.4=45.3−18.7+12.4+28.8+22.4=90.2分钟。预测区间：SEpred=35.7×√(1+1/200+x0ᵀ(XᵀX)⁻¹x0)，x0=(1,1,2,60,1)，经计算杠杆h0≈0.025，SEpred≈35.7×1.025≈36.6，t0.975(195)=1.97，95%PI:90.2±1.97×36.6→(18.1,162.3)分钟。（4）策略：a.对Y做Box-Cox变换，可改善正态性但牺牲解释度；b.采用分位数回归，直接建模条件中位数或其他分位，无需正态假设，但对异常值敏感且计算量稍大。优劣：若目标为均值预测且需保持线性解释，优先a；若关注不同水平（如高分位）或存在异方差，b更稳健。18.（综合计算）某工厂质检按时间顺序记录零件直径（mm），得n=80个观测值。绘制时序图发现均值平稳但波动聚集，初步识别为AR(1)-GARCH(1,1)过程：Xt=μ+φ(Xt−1−μ)+εt，εt=σtzt，zt∼iidN(0,1)，σt²=ω+αεt−1²+βσt−1²。拟合得μ̂=10.02，φ̂=0.34，ω̂=0.018，α̂=0.087，β̂=0.898。（1）给出Xt的无条件均值与方差；（2）检验残差zt是否白噪声，列出两种检验名称及原假设；（3）计算波动持续系数，并解释其经济含义；（4）若下一期观测x80=9.95，σ̂80²=0.022，求一步ahead条件方差σ̂81²及95%置信区间。答案与解析：（1）无条件均值E[Xt]=μ̂=10.02；无条件方差Var(Xt)=Var(εt)/(1−φ²)=σ²/(1−φ²)，其中σ²=ω/(1−α−β)=0.018/(1−0.087−0.898)=0.018/0.015=1.2，故Var(Xt)=1.2/(1−0.34²)=1.2/0.8844≈1.357mm²。（2）检验：a.Ljung-BoxQ检验，H0：残差无自相关；b.ARCH-LM检验，H0：残差无异方差（即无剩余ARCH效应）。（3）持续系数=α̂+β̂=0.985，接近1表明波动冲击衰减极慢，具有长记忆性，外部冲击对未来波动预测影响持久。（4）σ̂81²=ω̂+α̂ε80²+βσ̂80²，ε80=x80−μ̂−φ̂(x79−μ̂)≈9.95−10.02−0.34(9.97−10.02)≈−0.07+0.017=−0.053，ε80²≈0.0028，σ̂81²=0.018+0.087×0.0028+0.898×0.022≈0.018+0.00024+0.01976≈0.038mm²。95%CIforx81：条件标准差=√0.038≈0.195，E[x81|I80]=μ̂+φ̂(x80−μ̂)=10.02+0.34(−0.07)≈9.996，95%CI:9.996±1.96×0.195→(9.61,10.38)mm。19.（综合计算）为研究大学生每日步数W与身体指标，采用分层抽样：按性别分层，男n1=200，女n2=300，样本均值w̄1=8200步，w̄2=7500步，样本方差s1²=1.44×10⁶，s2²=1.21×10⁶。已知总体中男生占比45%。（1）给出总体均值μ的无偏估计；（2）估计μ的标准误；（3）构建μ的95%置信区间；（4）若要求估计绝对误差不超过100步，求在性别比例不变下的最小总样本量。（按方差最大保守估计）答案与解析：（1）分层估计：μ̂=0.45w̄1+0.55w̄2=0.45×8200+0.55×7500=3690+4125=7815步。（2）标准误：SE²=0.45²s1²/n1+0.55²s2²/n2=0.2025×1.44×10⁶/200+0.3025×1.21×10⁶/300=1458+1220.08=2678.08，SE=√2678.08≈51.75步。（3）95%CI:7815±1.96×51.75→(7713,7917)步。（4）最大方差保守：令n1/n=0.45，n2/n=0.55，SE²≤(100/1.96)²=2603.