江西省景德镇市乐平市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（有解析）

江西省景德镇市乐平市2025−2026学年八年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（）A. B. C. D.03.如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（）A.菲菲 B.红红 C.平平 D.英英4.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.5.有一组被墨水污染的数据：4、17、7、15、★、★、3、15、10、4、4、11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（）A.这组数据的下四分位数是4B.这组数据的中位数是10C.这组数据的上四分位数是15D.被墨水污染的数据一个数是18，另一个数可能是136.为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（）款扫地机可以购买．A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.已知点和点关于轴对称，则的值为_____．8.已知一组数据的方差为：，则____．9.已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________．10.如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限．11.如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________．12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.计算：（1）（2）14.如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？15.已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．（1）求，，的值；（2）求的平方根．16.（1）如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．画出关于轴对称的；（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点，请仅用无刻度直尺找出点关于轴的对称点（保留作图痕迹）．17.如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与轴交于点，与直线相交于点．（1）方程组的解是_________；（2）求直线，与轴围成的三角形的面积．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是．（1）①点的“美好点”坐标是__________；②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？（2）若点的“美好点”位于轴上，求的值．19.如图一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．（1）求证：；（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角度数；（3）当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角．20.每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99、80、99、86、99、96、90、100、89、82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94、90、94；七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数93众数100方差52八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）请直接写出上述图表中，，的值：_______，_______，_______；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数是多少？五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题：素材一套餐类型服务内容单人收费（元）单人成本（元，含门票、物料、人工等）套餐A（研学+采摘）参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜）15080套餐B（深度研学）参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等）200110素材二某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元．素材三该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠．问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B员工人数各是多少？问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式．22.数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．（1）直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________；（2）知识迁移：请用这种方法解方程组（3）拓展应用：已知关于，二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．六、解答题（本大题共12分）23.模型建立：如图1，在等腰直角中，，，经过点，，，求证：．模型应用：如图2，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以点为直角顶点在第二象限作等腰直角，求出直线的函数关系式．拓展应用：如图3，在长方形中，点，点是线段上的一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰直角三角形，且，求点的坐标．

江西省景德镇市乐平市2025−2026学年八年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，熟练掌握各象限坐标符号(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限是解题关键．利用平面直角坐标系中各象限坐标符号特征来判断点所在象限．【详解】解：∵点横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征∴点在第四象限故选：D．2.《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】本题考查无理数．“面”是指无理数，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数即可解答．【详解】解：A．是分数，属于有理数；B．是无限不循环小数，是无理数；C．是循环小数，是有理数；D．0是整数，是有理数．故选：B．3.如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（）A.菲菲 B.红红 C.平平 D.英英【答案】C【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角的性质、平方根等知识点，掌握相关性质是解题的关键．根据平行线的性质、对等角的相等、平方根的性质逐项判断即可．【详解】解：A．两直线平行、同旁内角互补，即菲菲回答正确，不符合题意；B．对顶角相等，即红红回答正确，不符合题意；C．若，则，即平平回答错误，符合题意；D．负数没有平方根，即英英回答正确，不符合题意．故选：C．4.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决．【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意；故选∶C．5.有一组被墨水污染的数据：4、17、7、15、★、★、3、15、10、4、4、11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（）A.这组数据的下四分位数是4B.这组数据的中位数是10C.这组数据的上四分位数是15D.被墨水污染的数据一个数是18，另一个数可能是13【答案】B【解析】【分析】本题考查箱线图．根据箱线图逐一分析即可．【详解】解：A、箱线图箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，本选项说法正确；B、箱线图箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，本选项说法错误；C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，本选项说法正确；D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18，所以被墨水污染的数据中一个数是18；由图可得这组数据的中位数为，将这组数据已知的部分进行排序，为3、4、4、4、7、10、11、15、15、17、18，要使中位数为，则被污染的一个数要大于11，即可能是13，故本选项说法正确．故选：B．6.为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（）款扫地机可以购买．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则，，在中，，即，∴，∵扫地机能从角落自由进出，∴扫地机的直径不大于长，∴小善可以购买扫地机的尺寸直径可以为、、、，共4款，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.已知点和点关于轴对称，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了代数式求值，平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．由题意得出，代入计算即可．【详解】解：由题意得，∴．故答案为：

．8.已知一组数据的方差为：，则____．【答案】14【解析】【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义．由可知平均数和数据数量，从而得出答案．【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10．数据包括11，13，4，m，8，共5个数据．根据平均数定义，有：解得故答案为：14．9.已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，熟练掌握以上知识点是关键．根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可．【详解】解：根据题意先化简，由条件可知，解得．故答案为：．10.如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限．【答案】二【解析】【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解．由方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可．【详解】解：∵方程组无解，∴，解得，将代入得，∵，∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．11.如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________．【答案】##64度【解析】【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数．【详解】解：如图：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由光的反射定律得到：，∴，∴，∴．故答案为：．12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________．【答案】或或【解析】【分析】本题考查了作图以及利用折叠性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分别当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标．【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点为E，作．设，由题意可得，，，与关于直线对称，，，在中，，．在中，，，即，解得，点D的坐标是．②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则，这时，，；③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，，在中，，则，中，设，利用勾股定理得到，解得，D点坐标为，故D的坐标为或或．故答案为：或或．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，掌握相关的运算法则是解题的关键．（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）运用加减消元法求解即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，，得，解得，把代入①，得，解得，所以方程组的解为．14.如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？【答案】米【解析】【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键．先画出展开图，再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，长为米；宽为4米．∴最短路径为：（米）．15.已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．（1）求，，的值；（2）求的平方根．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；（1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识即可求解；（2）先求出，再求其平方根即可．【小问1详解】解：的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，，，，，，．【小问2详解】解：∵，，，∴，∵64的平方根为的平方根为．16.（1）如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．画出关于轴对称的；（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点，请仅用无刻度的直尺找出点关于轴的对称点（保留作图痕迹）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了轴对称的性质、限定工具作图等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可解答；（2）如图：连接并延长交y轴于D，连接，则，连接交y轴于E，连接交于，则，即即为所求．【详解】解：（1）如图所示即为所求．（2）如图所示点即为所求．17.如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与轴交于点，与直线相交于点．（1）方程组的解是_________；（2）求直线，与轴围成的三角形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：（1）直接利用图象法求方程组的解即可；（2）待定系数法求出直线的函数解析式，再求出的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可．【小问1详解】解：由图象可知：方程组的解为；故答案为：；【小问2详解】解：直线过、，，，直线的解析式是：；当时，，，，，，．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是．（1）①点的“美好点”坐标是__________；②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？（2）若点的“美好点”位于轴上，求的值．【答案】（1）①②（2）【解析】【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键．（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可；②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可；（2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可．【小问1详解】解：①设点的“美好点”为，∴点的“美好点”坐标是；故答案为：点的“美好点”的坐标是．②设点的坐标是根据“美好点”的定义可得解得：点的坐标是【小问2详解】解：设点的“美好点”为，根据“美好点”的定义可得，，即又在轴上．19.如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．（1）求证：；（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角度数；（3）当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、角的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．（1）由对等角相等可得，进而得到，再根据同位角相等、两直线平行即可证明结论；（2）由平行线的性质以及题意可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质以及角的和差可得，再根据同位角相等、两直线平行即可解答；（3）由题意可得，再根据角的和差即可解答．【小问1详解】证明：∵，，，∴．【小问2详解】解：，，，，，，平分，，∵，，，∵，．【小问3详解】解：∵，，，且平角为，即，．20.每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99、80、99、86、99、96、90、100、89、82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94、90、94；七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数93众数100方差52八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）请直接写出上述图表中，，的值：_______，_______，_______；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数是多少？【答案】（1）40，94，99（2）八年级，理由见解析（3）780人【解析】【分析】本题主要考查了中位数与众数、扇形统计图、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．（1）先求出八年级10名学生的竞赛成绩在C组的人数所占百分比，再根据扇形统计图即可得a的值；然后根据中位数和众数的定义即可得b、c的值；（2）从平均数、中位数与众数的角度进行分析即可得；（3）利用该校七、八年级参加了此次竞赛活动的总人数乘以七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数所占的百分比即可得．【小问1详解】解：，八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，，故第5和第6个数据是94、94，，在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，．故答案为：40，94，99．【小问2详解】解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．【小问3详解】解：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数（人）．答：估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数是780人．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题：素材一套餐类型服务内容单人收费（元）单人成本（元，含门票、物料、人工等）套餐A（研学+采摘）参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜）15080套餐B（深度研学）参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等）200110素材二某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元．素材三该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠．问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式．【答案】问题1：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；问题2：．【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键．问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；问题2：分和列出函数