广东省清远市清城区松岗中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省清远市清城区松岗中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是（）A.3x2+x-6=0 B.x2+y2-4=0 C.6x+1=0 D.-2=02.某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的主视图是（）A.

B.

C.

D.3.在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中.通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，则袋中红球约有（）A.4个 B.6个 C.8个 D.12个4.把2m长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形6.如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A.

B.∠B=∠ADE

C.

D.∠C=∠AED

7.若关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k＞2 B.k≥2 C.k≤2 D.k＜28.如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=1，，则tanA的值为（）A.

B.

C.

D.

9.以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为（1，2），则对应点A′的坐标为（）A.（2，4）或（-2，-4） B.（1，2）或（-1，-2）

C.（2，4） D.（-2，-4）10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若△ABC与△ADE相似，相似比为3：2，则对应周长的比为

.12.已知m是方程x2-2x-2=0的一个根，则m2-2m+3的值为

.13.若===3，且b+d+f=4，则a+c+e=

.14.把二次函数y=x2-2x+4变形为y=a（x-h）2+k的形式，则h+k的值为

.15.如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中OA0=1，A0A1=A1A2=A2A3=⋯=An-1An=1，每个三角形都以点O为顶点.若∠An-1OAn是第一个小于18°的角，则n的值为

.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325，，

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

（1）解方程：x2-4x+3=0；

（2）cos30°tan30°.17.(本小题7分)

已知抛物线.y=ax2-2x+c与x轴的一个交点为点A（3，1），与y轴的交点为点B（0，-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求y的最值.18.(本小题7分)

水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千克.通过调查发现，这种水果的单价每降低0.1元，每天可多售出20千克.为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售.

（1）若将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是______千克；（用含x的代数式表示）

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至多少元？19.(本小题9分)

如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作AD的垂直平分线、分别交AB，AC于点E，F，连接DE、DF.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形.20.(本小题9分)

3月14日是国际数学日.某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A.数字猜谜；B.数独；C.魔方；D.24点游戏；E.数字华容道.该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示.

根据上述信息，解决下列问题.

（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；

（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.21.(本小题9分)

马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，OA'与AB相交于点M，OC′与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系．

（1）小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的______”；

（2）马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，求四边形ABCD的面积．请你帮小颖解答这道题．22.(本小题13分)

【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时；小明用了如下的思路方法计算出了tan15°的值.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则BD=AD，∠BAD=∠B=15°，∠ADC=30°，设AC=k,则BD=AD=2k,DC==k,tanB=tan15°====2-.

【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出tan22.5°=______；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠B=α，tanα=，由上述小明思路的启发，你能算出tan=______，tan2α=______；

【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树AB的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为α，tanα=，然后她向后退到D1处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到D2处，测得此时的仰角变为2α.在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点C、C1、C2共线且与地面DB平行），若小红眼睛到地面的距离为1.6米（即CD=C1D1=C2D2=1.6），后退与前进的距离之和为21米（即CC1+C1C2=21米），请求出这棵树AB的高度.

23.(本小题14分)

生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决.也可以从“图形”的角度来研究.

某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系.小组成员进行了如下研究：

【问题探究】

（1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m=10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由.

（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为：______，将满足要求的（x,y）可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标.观察图象可看出交点坐标为______，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的.

（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围______.

【拓展应用】

（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图2，函数的图象G经过点A（4，1），直线l：与图象G交于点B，与y轴交于点C.记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W.若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围______.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】3：2

12.【答案】5

13.【答案】12

14.【答案】4

15.【答案】10

16.【答案】x1=1，x2=3

17.【答案】y=x2-2x-3

-4

18.【答案】（100+200x）

张阿姨需将单价降至3元

19.【答案】图形如图所示：

∵EF垂直平分线段AD，

∴EA=ED，FA=FD，

∴∠EAD=∠EDA，

∵又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠ADE=∠DAC，

∴DE∥AC，

同法可证DF∥AB，

∴四边形AEDF为平行四边形．

∵EA=ED，

∴四边形AEDF为菱形

20.【答案】200人

估计该校参加魔方游戏的学生人数为900人

21.【答案】解：（1）；

（2）过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，

​​​​​​​

∵AE⊥AC，

∴∠EAC=90°，

∵∠BAD=90°，

∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC=90°，

∴∠DAE=∠BAC，

∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴∠ADC+∠B=180°，

∵∠EDA+∠ADC=180°，

∴∠EDA=∠B，

∵AD=AB，

在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA），

∴S△ABC=S△ADE，

∴AC=AE，

∵AC=6，

∴AE=6，

∴S△AEC=×6×6=