四川省巴中市南江县2025-2026学年高二数学上学期1月月考试题含解析

（满分分，考试时间分钟）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､座号､准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号答案写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（）A.B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】令即可求解.【详解】由截距的概念，令，可得，即，故直线在轴上的截距为，故选：A2.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的知识可直接选出答案.第1页/共22页

【详解】抛物线的准线方程为故选：C3.样本数据：的第70百分位数是（）A.16B.19C.20D.22【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的求解方法求解即可.【详解】将样本数据从小到大排列：10,11,13,14,16,17,18,22,32,36.样本容量，.因为是整数，所以第70百分位数为第项和第项数据的平均值，所以第70百分位数为.故选：C.4.某城市一年的空气质量状况如下表所示：不大于污染指数概率其中当污染指数质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可求得结果.【详解】结合题意与表格中的数据可知，该城市一年空气质量达到优或良的概率为.故选：D.5.已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（）第2页/共22页

A.5B.6C.9D.10【答案】C【解析】【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出的值即可.【详解】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆，所以，解得，故选：C.6.已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，解即可.【详解】由题知，，，所以.故选：B第3页/共22页

7.若直线被圆截得的弦长为2的最小值为（）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案.【详解】圆化为标准方程为，所以圆心坐标为，半径为，可得圆心到直线的距离为，若直线被圆截得的弦长为2，则，整理得，即，又，所以，当且仅当即时等号成立，则的最小值为2.故选：C.8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（）A.B.C.D.第4页/共22页

【答案】C【解析】【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率.【详解】由题知，，因为点为在第一象限上的一点，所以，则，又为直角三角形，所以不可能为，若，则，即，可得，无解，此时不存在，所以，即，所以，即，所以，.第5页/共22页

故选：C二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列给出的命题中正确的有（）A.已知两个向量，且，则B.三棱锥中，点为平面内的一点，且，则C.已知，则在上的投影向量坐标为D.若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底【答案】ABC第6页/共22页

【解析】AB于C，利用投影向量的定义计算判断；对于D，根据空间的基底概念即可判断.【详解】对于A，由可得，解得，故A正确；对于B，点为平面内的一点，且，由共面向量基本定理，可得，即，故B正确；对于C，因，则在上的投影向量为，故C正确；对于D，是空间的一组基底，而，即是共面向量，故不是空间的一组基底，即D错误.故选：ABC.10.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（）A.以为直径的圆与准线相切B.若点，则的最小值为5C.若直线的倾斜角为，则D.点为线段中点，则点的坐标可以是【答案】ABD【解析】【分析】计算和中点到准线的距离可判断A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B；应用韦达定理计算面积可判断C；根据点差法可判断D.【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线方程为；设，的中点，第7页/共22页

则到准线的距离为，，所以以为直径的圆与准线相切，故A正确；过点作垂直于准线，垂足为，则，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为5，故B正确；若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即，则点到直线的距离，由得，所以，，所以，故C错误；假设点的坐标为，则，由直线与抛物线交于两点得，两式相减得，即，所以，所以直线的方程为，即，点在直线上，由得，，故D正确.故选：ABD第8页/共22页

的棱长为分别是棱是其侧面上）A.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是B.当时，三棱锥的体积为定值C.当平面时，点的轨迹长度为D.过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为【答案】AC【解析】与所成角即为直线与值与最小值，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，求得的法向量和，结合向量的距离公式和体积公式，可判定B错误；求得平面的法向量为的轨迹是直线判定C正确；根据球的截面的性质，结合距离公式，可判定D错误.【详解】对于A，在正方体中，可得，第9页/共22页

所以异面直线与所成角即为直线与所成角，当M运动到点或A点时，异面直线与所成角最小，当M运动到线段中点时，异面直线与所成角最大，所以A正确；对于B，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，设，则，由，可得，因为，所以，解得，所以，在正方体中，由，可得是等边三角形，所以，可得，又由，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设点到平面的距离为，可得，所以三棱锥的体积为，所以B错误；对于C，连接，因为正方体的棱长为，可得，设因为分别是棱的中点，所以，则，设平面的法向量为，则，第10页/共22页

令，可得，故，因为平面，所以，可得，整理得，即，则点的轨迹是直线，在面内，又由，当时，，可得；当时，，可得，所以轨迹是点和点构成的线段，由两点间距离公式得，即此时点的轨迹长度为，所以C正确；对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心，如图所示，把球心记为，连接，由外接球性质得，外接球半径为，由两点间距离公式得，又由球的截面的性质，可得截面一定是圆，且设圆的半径为，由勾股定理得，所以截面面积为，即截面面积的最小值为，所以D错误.故选：AC.第11页/共22页

三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分.12.已知直线，，且，则_____.【答案】【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件可求出的值.【详解】因为直线，，且，所以，解得.故答案为：.13.抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是__________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义，由抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，求出点的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标.【详解】由题意设，，抛物线准线方程为，由抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可得：，即，代入抛物线方程可得，所以，故的坐标是，故答案为：第12页/共22页

14.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.【答案】【解析】【分析】设|PF|=r，|PF|=r，|FF|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e，e由余弦定理可得4c2=（r）2+（r）2﹣2rrcos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3rr②，在双曲线中，化简为即4c2=4a2+rr③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆长半轴为a，双曲线的实半轴为aa＞ac，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF|=r，|PF|=r，|FF|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e，e∵∠FPF=，则∴由余弦定理可得4c2=（r）2+（r）2﹣2rrcos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3rr②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a2+rr③，，由柯西不等式得（1+）≥（）2故答案为【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．四､解答题：本大题共5小题，共分解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.500名志愿者中随机抽第13页/共22页

取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（22组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随即抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人，求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．【答案】（1），人.（2）.【解析】1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数；（2）由分层抽样的等比例性质求出5名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.【小问1详解】由直方图知：，可得，∴500名志愿者中年龄在的人数为人.【小问2详解】由,故5名志愿者有2名来自第2组，令两人分别为、,3名来自第4组，令三人分别为、、，则有、、、、、、、、、共十种基本可能，其中有、、、四种符合要求，第14页/共22页

∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.16.已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点．（1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；（2）设点是上第一象限内的点，，求x的值．【答案】（1，，方程（2）【解析】1离心率与渐近线方程；（2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值.【小问1详解】由题意得，可得，，，故顶点坐标为，，焦点坐标，，离心率为，渐近线为；【小问2详解】设，则，点Q在第一象限，，且，，，解得，第15页/共22页

．17.已知圆过点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆相切，求的方程．【答案】（1）（2）或【解析】1）圆心在直线和线段的中垂线上，求出即可得解；（2）根据圆心到切线的距离等于半径求切线方程.【小问1详解】因为点，所以线段的中点为，所以的中垂线方程为．联立得，故圆的圆心为点，又圆半径，所以所求圆的方程为．小问2详解】由题意及（1）知，圆的圆心为，半径为，直线过点．①若的斜率不存在，则的方程为，此时，圆心到的距离为3，符合题意；②若的斜率存在，设的方程为，即，因为与圆相切，所以，解得，此时，的方程为．第16页/共22页

综上，的方程为或．18.如图，等腰梯形ABCD中，，，，于E沿AE翻折至，使得.（1）证明：；（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值；（3）求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）.【解析】1）由，得到平面即可求证；（2EDD作于FECEAEP为轴轴轴建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量法求解即可；（3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；【小问1详解】，，又沿AE翻折至，，即.平面，平面，平面.又平面，.【小问2详解】第17页/共22页

连接ED，过D作于，又四边形为等腰梯形，且，又，.又且，即.又，，平面，平面平面.以E为坐标原点，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系，，，，，.设平面PAD的法向量为则，即令，则，，.设与平面所成角为则与平面所成角的正弦值为.第18页/共22页

【小问3详解】设平面的法向量为则，即令，则，，.由（2）知平面