人教版七年级数学下册《7.5判断两直线平行的五种方法》同步练习题（含答案解析）

第页人教版七年级数学下册《7.5判断两直线平行的五种方法》同步练习题（含答案解析）知识清单一、判断两直线平行的方法1平行线的定义（在同一平面内。不相交的两条直线叫做平行线：2平行于同一条直线的两条直线平行：3.同位角相等，两直线平行：4内错角相等，两直线平行：5同旁内角夏补，两直线平行：6.在同一平面内，同垂直于第三条直线的两直线平行二、判定两直线平行的基本思路1,基本图形法：若是“三线八角”的基本图形，剥可利用同位角相等或内错角和等我同常内角互补来说明：若是”第三直线”的基本图形，则可运用“第三直钱线”（平行煮色直）来说明2,添加辅助线法：若图形不具备“基本图形”的特征，可作适当的辅动线，使它具备基本图形的补征，再运用“基本图形法”来说明类型一、同位角相等，两直线平行1．（七年级下·广西河池·期末）如图，∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°，直线l₁与l22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB，AC，CD被直线BE所截，CD平分∠ACE，已知∠3=∠5=60°，求证：AB∥CD．类型二、内错角相等，两直线平行3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，∠1=82°，∠2=98°，∠C=∠D，试探索∠A与∠F有怎样的数量关系，并说明理由．4．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）如图所示，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．试判断BE与CF的关系，并说明你的理由．类型三、同旁内角互补，两直线平行5．（七年级下·全国·课后作业）如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由.6．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE的延长线交CD于点F,且∠1+∠2=90°．(1)试说明AB∥CD；(2)猜想∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由．类型四、同平行于第三条直线的两条直线互相平行7．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，∠1+∠B=180°，∠2=∠D，AD与EF平行吗？为什么？8．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线BG上，∠1+∠3=180°，∠1=∠2，∠EAB=∠BCD，说明类型五、同垂直于第三条直线的两条直线互相平行（同一平面内）9．（21-22七年级下·广东广州·期中）已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB．10．（21-22七年级下·江西赣州·期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN是否平行，为什么？一、解答题1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠42．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，△ABC中，∠A=70°，∠ABC=75°，点D为线段AC上的点（不与点A，C重合），点E在AB的延长线上，连接DE，∠E=40°，DF平分∠ADE．

(1)求∠C的度数；(2)说明BC∥DF的理由．3．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，已知∠B=46°，EF交AB于点D，DG平分∠ADE，∠ADG=67°，求证：BC∥EF．

4．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知AB∥EF，∠ABE=56°，∠ECD=152°，EC平分(1)求∠CEF的度数；(2)AB与CD平行吗？请说明理由．5．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF交DE于点D．(1)试说明OC⊥OD；(2)若∠D与∠1互余，试说明ED∥AB．6．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，F分别在边BC，AC的延长线上，作射线CE，使CD平分∠ECF．试说明：AB∥7．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，点D在直线CN上，AD⊥BD，BC平分∠ABD交AD于E，∠2+2∠1=90°．(1)求证：AB∥CD；(2)若DM平分∠ADB，∠BCD：∠2=7:4，求∠MDN的度数．8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD．(1)求∠A的度数；(2)AB与EC平行吗？请说明理由．9．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知∠DEB=100°，∠BAC=80°．判断DF与AC的位置关系，并证明．

10．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，已知EM平分∠AEF，FN平分∠EFD，∠1=∠2，试说明：AB∥11．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，∠1=∠2，∠A=∠E，求证：AD∥BE．12．（16-17七年级下·广东梅州·阶段练习）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G，求证：AB∥13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，点F在DC的延长线上，连接AF、BE相交于点O，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E．(1)试说明AD∥(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？14．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，OA⊥OC，OB⊥OD，若∠OBE=∠COD，求证：BE∥15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，试说明DE∥16．（23-24七年级下·全国·期末）直线AB∥CD，P为直线AB上方一点，连接PA、PD．(1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如图1，设∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度数（用含α、(3)如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN，连接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC17．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM．(1)请对OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．18．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、(1)如图1，试探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130°时，求出∠PFQ的度数；(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=80∘时，请求出19．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：AB∥CD．(1)如图1，点E在AB，CD之间，请说明∠A+∠C=∠E；(2)如图2，请用等式表示∠A，∠C，∠E之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，请直接用等式表示∠A，∠C，∠E1，∠E20．（20-21七年级上·吉林长春·期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；（直接写出答案）(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，参考答案与解析类型一、同位角相等，两直线平行1．（七年级下·广西河池·期末）如图，∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°，直线l₁与l2【答案】l1【分析】先根据对顶角相等得到∠4=55°，再根据平角的定义得到∠5=40°，再由平行线的判定即可得出结论．【详解】解：l1∵∠2=55°（已知），∠2=∠4（对顶角相等），∴∠4=55°（等量代换）．∵∠3=85°（已知），∠3+∠4+∠5=180°（平角定义），∴∠5=40°，又∵∠1=40°（已知），∴∠1=∠5（等量代换），∴l12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB，AC，CD被直线BE所截，CD平分∠ACE，已知∠3=∠5=60°，求证：AB∥CD．【答案】见详解【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得∠1=∠2，结合已知得∠1=∠2=60°，那么，∠1=∠5，利用同位角相等两直线平行即可得AB∥CD．【详解】证明：∵CD平分∠ACE，∴∠1=∠2，∵∠3=∠5=60°，∴∠1+∠2=180°−∠3=120°，∴∠1=∠2=60°，∴∠1=∠5，∴AB∥CD．类型二、内错角相等，两直线平行3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，∠1=82°，∠2=98°，∠C=∠D，试探索∠A与∠F有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】∠A=∠F，理由见解析【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找∠A与∠F的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得∠1+∠2=180°，则CE∥BD；根据平行线的性质，可得∠C=∠ABD，结合已知条件，得∠ABD=∠D，根据平行线的判定，得AC∥DF，从而求得结论．【详解】解：∠A=∠F．理由：∵∠1=82°，∴∠1+∠2=180°，∴CE∥DB，∴∠C=∠ABD，∵∠C=∠D，∴∠ABD=∠D，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．4．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）如图所示，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．试判断BE与CF的关系，并说明你的理由．【答案】BE∥【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定．由垂直的定义得到∠ABC=∠BCD=90°，根据等角的余角相等得到∠EBC=∠BCF，再由“内错角相等，两直线平行”得到BE∥【详解】解：BE∥∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵∠1=∠2，∴∠ABC−∠1=∠BCD−∠2，即∠EBC=∠BCF，∴BE∥类型三、同旁内角互补，两直线平行5．（七年级下·全国·课后作业）如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由.【答案】平行，理由见解析.【分析】先做辅助线延长BE，交CD于F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论.【详解】解：AB∥CD,理由如下:如图所示,延长BE,交CD于点F,因为∠BEC=95°,所以∠CEF=180°-95°=85°.又因为∠DCE=35°,所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°.因为∠ABE=120°(已知),所以∠ABE+∠BFC=180°,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键.6．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE的延长线交CD于点F,且∠1+∠2=90°．(1)试说明AB∥CD；(2)猜想∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠2+∠3=90°，理由见解析【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质是解题的关键．（1）由∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，可得∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，∠EDF=∠2，由∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠CDB=2∠1+∠2（2）由∠1+∠2=90°，可得∠DEF=∠DEB=90°，由∠3+∠EDF=∠DEB，可得∠3+∠2=90°．【详解】（1）解：∵∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，∴∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠CDB=2∠1+∠2∴AB∥CD；（2）解：∠2+∠3=90°，理由如下：∵∠1+∠2=90°，∴∠DEF=∠1+∠2=90°，∴∠BED=180°−∠DEF=90°∵∠3+∠EDF=∠DEB=90°，∴∠2+∠3=90°．类型四、同平行于第三条直线的两条直线互相平行7．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，∠1+∠B=180°，∠2=∠D，AD与EF平行吗？为什么？【答案】AD∥EF，证明见解析．【分析】此题考查了平行线的判断和性质，由∠2=∠D得到AD∥BC．又由∠1+∠B=180°得到EF∥BC，即可得到AD∥EF．【详解】解：AD∥EF．理由如下：∵∠2=∠D，∴AD∥BC．∵∠1+∠B=180°，∴EF∥BC，∴AD∥EF．8．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线BG上，∠1+∠3=180°，∠1=∠2，∠EAB=∠BCD，说明【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性；由∠1+∠3=180°，∠1=∠2可分别得EF∥BG，AE∥BC，则∠EAB+∠2=180°；由∠EAB=∠BCD得【详解】解：∵∠1+∠3=180°，∴EF∥∴∠EAB+∠2=180°；∵∠EAB=∠BCD，∴∠BCD+∠2=180°，∴BG∥∵EF∥∴EF∥类型五、同垂直于第三条直线的两条直线互相平行（同一平面内）9．（21-22七年级下·广东广州·期中）已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB．【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出EF∥CD，根据平行线的性质得出∠2=∠3，根据∠1=∠2，得出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥BC，根据平行线的性质，得出∠AGD=∠ACB．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．【详解】证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF∥CD，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴DG∥BC，∴∠AGD=∠ACB．10．（21-22七年级下·江西赣州·期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN是否平行，为什么？【答案】BM∥DN；理由见解析【分析】根据AB⊥EF，CD⊥EF，得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根据∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得出BM∥DN．【详解】BM∥DN；理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)，∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，即∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．【点睛】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出∠MBE＝∠NDE，是解题的关键．一、解答题1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4【答案】见解析【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意可证∠MEF=∠NFE，再根据内错角相等，两直线平行即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴180°−∠1+∠2=180°−∠3+∠4∴EM∥FN．2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，△ABC中，∠A=70°，∠ABC=75°，点D为线段AC上的点（不与点A，C重合），点E在AB的延长线上，连接DE，∠E=40°，DF平分∠ADE．

(1)求∠C的度数；(2)说明BC∥DF的理由．【答案】(1)35°(2)见解析【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义和平行直线的判定，（1）根据三角形内角和直接求解即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠ADE，从而求得∠ADF，即可证得∠ADF=∠C，根据同位角相等，两直线平行即可证得BC∥DF．【详解】（1）解：∵∠A=70°，∠ABC=75°，∴∠C=180°−∠A−∠ABC=180°−70°−75°=35°；（2）解：∵∠A=70°，∠E=40°，∴∠ADE=180°−∠A−∠E=180°−70°−40°=70°；∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=1∴∠ADF=∠C，∴BC∥DF．3．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，已知∠B=46°，EF交AB于点D，DG平分∠ADE，∠ADG=67°，求证：BC∥EF．

【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到∠ADE=2∠ADG=134°，再由平角的定义得到∠ADF=∠B=46°，则可由同位角相等，两直线平行证明BC∥EF．【详解】证明：∵DG平分∠ADE，∠ADG=67°，∴∠ADE=2∠ADG=134°，∴∠ADF=180°−∠ADE=46°，∵∠B=46°，∴∠ADF=∠B=46°，∴BC∥EF．4．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知AB∥EF，∠ABE=56°，∠ECD=152°，EC平分(1)求∠CEF的度数；(2)AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】(1)∠CEF=28°(2)平行，理由见详解【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据平行线的性质得∠FEB=∠ABE=56°，结合EC平分∠BEF，得出∠CEF=28°，即可作答．（2）根据同旁内角互补得出CD∥EF，结合AB∥【详解】（1）解：∵AB∥EF∴∠FEB=∠ABE=56°∵EC平分∠BEF．∴∠CEF=（2）解：AB与CD平行，理由如下：∵∠ECD=152°，∠CEF=28°∴∠ECD+∠CEF=152°+28°=180°∴CD∵AB∴AB5．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF交DE于点D．(1)试说明OC⊥OD；(2)若∠D与∠1互余，试说明ED∥AB．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点．（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；（2）利用∠COD=90°结合已知求得∠D=∠DOB，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．【详解】（1）解：因为OC平分∠AOF，OD平分∠BOF所以∠COF=12∠AOF因为∠AOF+∠BOF=180°，所以∠COD=∠COF+∠DOF=1所以OC⊥OD；（2）解：由（1）知∠COD=90°，所以∠1+∠DOB=90°因为∠D与∠1互余，所以∠D+∠1=90°，所以∠D=∠DOB，所以ED∥AB．6．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，F分别在边BC，AC的延长线上，作射线CE，使CD平分∠ECF．试说明：AB∥【答案】见详解【分析】该题主要考查了平行线的判定，解题的关键是证明∠B=∠DCF=∠DCE．根据角平分线得出∠DCF=∠DCE，再根据等边对等角得出∠B=∠ACB，证出∠B=∠DCF=∠DCE，即可证明；【详解】证明：∵CD平分∠ECF，∴∠DCF=∠DCE，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠DCF=∠ACB，∴∠B=∠DCF=∠DCE，∴AB∥7．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，点D在直线CN上，AD⊥BD，BC平分∠ABD交AD于E，∠2+2∠1=90°．(1)求证：AB∥CD；(2)若DM平分∠ADB，∠BCD：∠2=7:4，求∠MDN的度数．【答案】(1)见解析(2)∠MDN=105°【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．（1）首先根据题意可得∠ABD=2∠1，∠ADB=90°，进而可知∠2+∠ABD=90°，可证明∠CDB+∠ABD=180°，即可证明结论；（2）根据平分线的定义可得∠BDM=45°，设∠BCD=7x,∠2=4x，则∠1=45°−2x，再求出∠BDN，可得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可．【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠1，∵∠2+2∠1=90°∴∠2+∠ABD=90°∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠2+∠ADB+∠ABD=180°，即∠CDB+∠ABD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵DM平分∠ADB，∠ADB=90°，∴∠EDM=∠BDM=45°∵∠BCD:∠2=7:4，设∠BCD=7x,∠2=4x，∵∠2+2∠1=90°，∴∠1=90°−4x∴∠BDN=∠BCD+∠1=4x+45°−2x=45°+2x，∴4x+90°+45°+2x=180°，解得：x=7.5°∴∠MDN=45°+2x+45°=105°．8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD．(1)求∠A的度数；(2)AB与EC平行吗？请说明理由．【答案】(1)72°(2)平行，理由见解析【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，平行线的判定：（1）根据∠A=∠B=2∠ACB，结合三角形的内角和定理，进行求解即可；（2）根据三角形外角的性质，角平分线的性质，推出∠A=∠ACE即可得证．【详解】（1）解：∵∠A=∠B=2∠ACB，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴5∠ACB=180°，∴∠ACB=36°，∴∠A=72°；（2）平行，理由如下：∵∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD∴∠ACD=∠A+∠B=2∠A，∠ACD=2∠ACE，∴∠A=∠ACE，∴AB∥EC．9．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知∠DEB=100°，∠BAC=80°．判断DF与AC的位置关系，并证明．

【答案】DF∥【分析】本题考查平行线的判定，先求出∠DEA，根据内错角相等、两直线平行，可证DF∥【详解】解：DF∥∵∠DEB=100°，∴∠DEA=180°−∠DEB=180°−100°=80°，∵∠BAC=80°，∴∠DEA=∠BAC，∴DF∥10．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，已知EM平分∠AEF，FN平分∠EFD，∠1=∠2，试说明：AB∥【答案】见解析【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题关键．由角平分线的性质，得到∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，进而得出∠AEF=∠EFD，即可证明平行．【详解】证明：∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFD，∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1=∠2，∴∠AEF=∠EFD，∴AB∥11．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，∠1=∠2，∠A=∠E，求证：AD∥BE．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．由∠1=∠2，可证DE∥AC，则∠EBC=∠E=∠A，进而可得AD∥BE．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴DE∥AC，∴∠EBC=∠E，∵∠A=∠E∴∠EBC=∠A∴AD∥BE．12．（16-17七年级下·广东梅州·阶段练习）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G，求证：AB∥【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的定义．首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥【详解】证明：∵BE⊥FD（已知），∴∠EGD=90°（垂直的定义），∴∠1+∠D=90°，又∵∠2与∠D互余（已知），∴∠2+∠D=90°∴∠1=∠2（同角的余角相等），∵∠1=∠C（已知），∴∠2=∠C（等量代换），∴AB∥13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，点F在DC的延长线上，连接AF、BE相交于点O，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E．(1)试说明AD∥(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？【答案】(1)见解析(2)AB∥EF，理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义：（1）根据平角的定义和已知条件证明∠ADF=∠BCF，即可证明AD∥BC；（2）由角平分线的定义和已知条件证明∠ABE=∠E，即可证明AB∥EF．【详解】（1）证明：∵∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠BCF，∴AD∥BC；（2）解：AB∥EF，理由如下：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵∠ABC=2∠E，∴∠ABE=∠E，∴AB∥EF．14．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，OA⊥OC，OB⊥OD，若∠OBE=∠COD，求证：BE∥【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．根据垂直的定义，得出∠COD+∠BOC=∠AOB+∠BOC=90°，进而得出∠OBE=∠AOB，即可求证BE∥【详解】证明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠COD+∠BOC=∠AOB+∠BOC=90°，∴∠COD=∠AOB，∵∠OBE=∠COD，∴∠OBE=∠AOB，∴BE∥15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，试说明DE∥【答案】见解析．【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先由同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行证明AD∥EF，根据性质得∠1=∠ADE，再用【详解】∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB=∠ADB=90°．∴AD∥∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠2，∴∠2=∠ADE，∴DE∥16．（23-24七年级下·全国·期末）直线AB∥CD，P为直线AB上方一点，连接PA、PD．(1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如图1，设∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度数（用含α、(3)如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN，连接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC【答案】(1)50°(2)∠APD=α+β−180°(3)4【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．（1）过点P向右PE∥AB，则AB∥PE∥CD，得出∠APE=80°，进而求出结论；（2）过点P向右PE∥AB，则AB∥PE∥CD，得出∠APE=180°−α，进而求出结论；（3）过点P向左作PF∥AB，过N向左作NM∥AB，则PF∥MN∥AB∥CD，设∠PAN=x，∠PCN=y，则∠BAN=3x，【详解】（1）解：过点P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠DPE=∠D=130°，∵∠A=100°，∴∠APE=80°，∴∠APD=∠DPE−∠APE=130°−80°=50°；（2）过点P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠A=180°，∵∠A=α，∴∠APE=180°−α，∴∠APD=∠DPE−∠APE=β−180°−α（3）过点P向左作PF∥AB，过N向左作NM∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥MN∥AB∥CD，与（2）同理，得∠APC=∠PAB−∠PCD，∠ANC=∠BAN−∠DCN.依题意，设∠PAN=x，则∠BAN=3x，∴∠APC=4x−4y，∴∠APC∠ANC=4x−4y3x−3y17．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM．(1)请对OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．【答案】(1)见解析；(2)105°【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE=∠BNM，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）解：理由如下：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，∴∠AOE=∠AND，∴OE∥（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，∴AB∥∴∠BOD=∠ODC=30°，∵∠AOF+∠BOD=180°，∴∠AOF=150°，∵OE平分∠AOF，∴∠EOF=1∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，∵OE∥∴∠ANM=∠BOE=105°．18．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、(1)如图1，试探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130°时，求出∠PFQ的度数；(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=80∘时，请求出【答案】(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由见解析(2)∠PFQ=(3)∠PFQ=【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．（1）如图1，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，等量代换即可得到结论；（2）如图2，过点E作EM∥AB，根据平行线的性质得到∠BPE+∠EQD=360∘−∠APE+∠CQE=230∘，根据角平分线的定义得到BPF=（3）如图3，过点E作EM∥CD，设∠QEM=α，根据平行线的性质得到∠DQE=180∘−α，根据角平分线的定义得到∠DQH=12∠DQE=90【详解】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：如图1，过点E作EH∥AB，∴∠APE=∠PEH，∵EH∥AB，∴EH∥∴∠CQE=∠QEH，∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）解：如图2，过点E作EM∥AB，同理（1）可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130∵∠BPE=180∘−∠APE∴∠BPE+∠EQD=360∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPF=12∠BPE∴∠BPF+∠DQF=1作NF∥AB，同理（1）可得，（3）解：如图3，过点E作EM∥设∠QEM=α，∴∠DQE=180∵QH平分∠DQE，∴∠DQH=1∴∠FQD=180∵EM∥CD，