【《六轴特种机械臂的运动学分析案例》4700字】

V六轴特种机械臂的运动学分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u19865六轴特种机械臂的运动学分析案例 1245751.1机器人数学基础 11271.1.1机器人位姿描述 1212081.1.2坐标变换 3203341.2机器人DH参数建模 544081.2.1机器人DH参数建模理论 5117561.2.2建立机器人DH参数模型 6224131.3运动学求解 9106571.1.1机器人运动学正解 971521.1.2机器人运动学逆解 12192151.4工作空间仿真 14113911.5小结 141.1机器人数学基础1.1.1机器人位姿描述（1）空间位置描述设有空间直角坐标系{A}，点P为其空间内某点，其位置可用一个3×1的矢量AP AP=Px其中，Px，Py，PZ图1.图1.2空间姿态描述图1.1空间位置描述（2）空间姿态描述前面已经叙述了空间位置的描述，但在机器人学中，仅有位置描述是远远不够的，还需要表示物体的空间姿态。物体的空间姿态可以用某个固接于此物体的坐标系来描述。设空间直角坐标系{B}与刚体B固接，则刚体B相对于空间直角坐标系{A}的空间姿态可以用旋转矩阵ABR(如公式1.1)来表示，如图1.3所示。旋转矩阵ABR BAR=[A物体绕坐标系轴x，y，z作转角θ的旋转变换，会得到不同的旋转矩阵，矩阵分别为 Rx,θ=10 Ry,θ=cθ0 Rz,θ=cθ其中，cθ=cos空间中描述运动物体姿态的常用方法是绕移动坐标系连续进行三次旋转，每次都是基于参考坐标系旋转，而非固定坐标系，故有多种组合。在建立研究模型时，一般情况下，运动坐标系和参考坐标系的初始方向相同，本文选择其中的一种具体旋转方式，运动描述步骤为，将系统中的某个关节先绕Z方向旋转α角，然后绕X方向旋转β角，最后绕Y方向旋转γ角，从而得到欧拉变换矩阵如下：R==cαcγ−sαsβsγ−cβsαcαsγ+cγsαsβ（3）空间位姿描述刚体B的位置可以用位置矢量来描述，刚体B的姿态可以用旋转矩阵来描述，将两者结合便得到了刚体B的位姿描述，即B其中AP实际上，描述物体的位姿是通过4×4的矩阵来描述的，对旋转矩阵进行齐次变换可得到其位姿矩阵。该矩阵最后一列表示末端的空间位置，前面的三列就是旋转矩阵。其对应表达式如公式（1.7）所示。B=BA1.1.2坐标变换在研究机器人时，还需要考虑不同坐标系下对同一点的描述变换，称为映射。设两坐标系{A}、{B}的原点和姿态均不相同，其原点分别为A、B，APB点B在{A}中的位置矢量,旋转矩阵BAR表示{B}相对于{A}的姿态，若点p在{B}中位置为BPAP=B这是坐标系的复合变换，为助于理解，可引入一个原点为B、姿态与与{A}的相同的过渡坐标系{C}，如图1.4所示，那么可以得到复合变换如下[6]：AP=C图图1.3坐标系映射不同坐标系对空间中某点p的描述不同，齐次坐标变换可完成点在不同矩阵之间的位置变换，若已知点p在{B}中的坐标为BP，那么该点在{A}中的坐标AP可以由式（AP1=其中BAT=1.2机器人DH参数建模1.2.1机器人DH参数建模理论最常用的机器人的运动学建模方法是DH参数建模法，这种建模方法的原理如下：多次通过相连的关节坐标系的齐次变换，最后得到表示从基坐标系到机构末端坐标系的变换矩阵。DH参数建模法分为标准版和改进版。本文采用的是改进版的DH参数建模方法。机构关节通过连杆连接起来，如下图1.4所示，将第i−1个连杆的左边定义为i−1关节轴，通过这样的定义，基坐标系就会定义为0；DH参数建模法共有四个重要参数，分别是描述两种关系的，一种是连杆的参数，连杆两个参数分别是它的长度和转角，分别用a和α表示；连杆长度也就是两个关节轴中间的公垂线的长度，连杆转角αi就是关节轴i绕公垂线ai旋转到与关节i−1平行时，中间所转过的角度；另一种关系描述的是关节的两个连杆间的联系，分别是连杆的偏距d与关节角θ，把连杆i−1的长度ai−1沿关节轴i移动到与连杆i的长度ai相交，其中移动的距离就是连杆偏距di，这个参数表示的是两个连杆沿关节轴i的距离。仔细观察原理图，我们可以发现连杆i−1和连杆i两者不在一条线上，两线之间存在一个角度，将连杆i−1的长度ai−1延长并经过关节轴i线，同时将连杆i的长度ai平移到与a图1.图1.4DH参数原理图由上述知，可求出两个相邻关节的DH参数，将实际机构的每个关节编号，根据DH参数建模原理建立每个关节的坐标系，通过齐次变换得出所有相邻坐标系的关系矩阵，从而可以得到最终的变换矩阵，相邻坐标系的变换矩阵如公式（1.11）所示。将DH参数代入到公式(1.11)中，即可求出两个关节的变换关系。i−1i−1Ti=1.2.2建立机器人DH参数模型所给特种机械臂有两个移动关节和四个旋转关节，模型中的机构有6个运动副以及6个连杆，参数如下表1.1所示。表1.1机构参数表轴编号名称运动方式运动设计范围1Y向机构直线2X向机构直线3β1角操控旋转4β2角操控旋转±60°5α角操控旋转±45°6γ1角操控旋转±180°开始对整个机构进行建模。以X向机构和Y向机构初始交点设为基坐标系，关节中心点位坐标原点，将底座设为基座标；连杆坐标系的原点为该关节轴和下个关节轴的交点或该关节轴和公垂线的交点；以该关节轴的方向为坐标轴Z的方向，以该关节和下个关节轴公垂线的方向为坐标轴X的方向，最后根据右手直角坐标螺旋法则判定Y轴，按照此步骤可建立每个机构的关节坐标系，建立的机构关节坐标系如下图1.5所示。机构的这些变量确定后，就可推出末端位姿的变换矩阵，空间位姿也就会被确定。图1.5DH参数建立的坐标系图1.5DH参数建立的坐标系DH参数如下表，如表1.2所示：表1.2DH参数表关节号关节角θi偏置d连杆扭角α连杆长度a190°d-90°02180°d90°0390°+θ090°04θ00k1590°+θ0-90°k26θk90°0其中表中的k1、k2、k3在原机械机构中长度为k1=1740mm，k2=1696mm，k3=865mm。根据DH参数表在MATLAB中建立机器人模型图1.6所示。图1.图1.6根据DH参数建立的机器人模型1.3运动学求解1.1.1机器人运动学正解机器人的运动学正解就是已知各关节的运动参数，通过关节坐标系矩阵的变换，推导出机械臂的末端相对于基座标系的位姿信息。齐次矩阵可以描述一个机构变换姿态和位置，此特种机械臂具有多个关节，通过多个齐次矩阵变换就可以得到末端的空间位姿。由前文公式（1.11）我们已经知道相邻两个关节坐标系的变换关系。设iTi+1矩阵是第i个关节坐标系到第i+1个关节的齐次变换矩阵。那么0T1就是表示初始坐标系到第1个关节坐标系的变换矩阵；0T2=由此可见，特种机械臂末端坐标系相对于基坐标系的位置和姿态变换矩阵0T6如式（0T6=按照公式（1.11）带入各参数即可得到机械臂的运动学正解如下： 0T1=0 1T2=−1 2T3=− 3T4=c 4T5=−s 5T6=c 0T6=n式中： nx=−c34 ny=−c5 nz=s34 ox=c34 oy= oz=−c34 ax=c34 ay=−s5 az=−s34 px=d2 py=d1 pz=−k2其中，si=sinθi，任意给定一组关节变量的值如下表1.3所示：表1.3机器人关节变量ddθθθθ43π/6-π/60π将给定关节变量的值带入式（1.20），得到机械臂末端坐标系相对于基坐标系的位置和姿态变换矩阵0T 0T6=0010在MATLAB的示教模型上标定这组给定的关节变量，如图1.7所示。可以观察到机器人的末端坐标为（4070.88，4，−870），与机械臂末端坐标系相对于基坐标系的位置和姿态变换矩阵0T6中的px、p图1.图1.7给定机器人关节角度的位姿模型1.1.2机器人运动学逆解机器人运动学逆解就是已知机器人末端坐标系相对于基坐标系的位姿信息，反过来求解各关节的转动角度的过程。值得一提的是，机器人的逆解并不唯一。机器人运动学逆解的常用求解方法有解析法、迭代法、几何法等。其中解析法是较为实用的一种方法，其求法如下。已知机器人末端坐标系相对于基座标系的位姿矩阵，用每个关节的逆矩阵左乘位姿矩阵，就可求得各关节的位置[11]。 T6=n式中，n、o、a为机械臂末端的姿态向量，[xyz]为末端的位置向量，T逆解过程如下：0T1−1T6=1T22T33T44根据式（1.34）和式（1.35）对每个关节进行求解，列出求得的逆解表达式如公式（1.36）所示。θ5=arcsin(−wy)

d1=l给定机械臂末端空间位姿为[4000，-400，-870，-2π/3，-2π/3，π/2]，将其带入公式（1.7）中，求得变换矩阵如式（1.37）所示：0T6=−0.250.433−0.4330.75将式（1.37）结果带入式（1.36）中，求出每个关节的运动量为[32.5，48，π/6，-π/6，π/6，π/3]。在MATLAB的示教模型上标定这组求出的关节变量，结果如图1.8所示。图1.图1.8逆运动学仿真验证对比图中位姿信息和给定位姿信息，两者结果一致。可知逆解求取正确。1.4工作空间仿真对模型的正向运动学和逆向运动仿真完成之后，需要知道模型的工作空间，工作空间是模型在运动范围内可达的点，是模型运动研究中的一个重要部分，工作空间由模型中每个关节长度以及关节所能运动的范围决定。在前面建模的基础上，利用蒙特卡罗方法对模型的工作空间进行仿真[12]。该方法的原理是通过随机生成模型范围内的运