浙江省余姚市第四中学2026届数学高二上期末调研模拟试题含解析

浙江省余姚市第四中学2026届数学高二上期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数，满足，则的最小值是（）A. B.C. D.2．三棱锥A-BCD中，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，BE，DH的交点为G，则的化简结果为（）A. B.C. D.3．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（）A. B.C. D.4．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B.C. D.5．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（）A. B.C. D.6．设.若，则＝（）A. B.C. D.e7．点到直线的距离为2，则的值为（）A.0 B.C.0或 D.0或8．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或9．圆关于直线对称，则的最小值是（）A. B.C. D.10．设函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.11．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.412．已知函数，若，则（）A. B.0C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线的一条切线的斜率为，该切线的方程为________.14．已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为________15．若一个球表面积为，则该球的半径为____________16．等差数列前项之和为，若，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：，右焦点为F(，0)，且离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M，N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：相切，若T为弦MN的中点，求|OT||MN|的取值范围18．（12分）已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值21．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的一个方向向量为；已知直线l过点，且___________.（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l与圆C：相交于M，N两点，求弦长.22．（10分）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，为的中点，为的中点（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】将化成，即可求出的最小值【详解】由可化为，所以，解得，因此最小值是故选：A2、D【解析】依题意可得为的重心，由三角形重心的性质可知，由中位线定理可知，再利用向量的加法运算法则即可求出结果【详解】解：依题意可得为的重心，，，分别为边，和的中点，，，故选：D3、B【解析】根据题意得到，，解得答案.【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.4、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.5、D【解析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，当水位下降1米后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为米.故选：D.6、D【解析】由题可得，将代入解方程即可.【详解】∵，∴,∴，解得.故选：D.7、C【解析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.【详解】解：点到直线的距离为，解得或.故选：C.8、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果.【详解】不等式解集为，即的二根是1和2，利用根和系数的关系可知，故不等式即转化成，即，等价于或者，解得或，或者.故解集为，或，或.故选：D.【点睛】分式不等式的解法：（1）先化简成右边为零的形式（或），等价于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化简成右边为零的形式（或），再利用分子分母同号（或者异号），列不等式组求解即可.9、C【解析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当，即时取等号，故选：C.10、A【解析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故选：A11、B【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆，圆，所以，，所以，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B12、D【解析】求出函数的导数，直接代入即可求值.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】使用导数运算公式求得切点处的导数值，并根据导数的几何意义等于切线斜率求得切点的横坐标，进而得到切点坐标，然后利用点斜式求出切线方程即可.【详解】的导数为，设切点为，可得，解得，即有切点，则切线的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的加法运算，导数的几何意义，和求切线方程，难度不大，关键是正确的使用导数运算公式求得切点处的导数值，14、【解析】根据渐近线方程、焦距可得，，再根据双曲线参数关系、焦点的位置写出双曲线标准方程.详解】由题设，可知：，，∴由，可得，，又焦点在轴上，∴双曲线的标准方程为.故答案为：.15、【解析】设球的半径为，代入球的表面积公式得答案【详解】解：设球的半径为，则，得，即或（舍去）故答案为：16、【解析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】由已知条件得,故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由题可得，即求；（2）当直线的斜率不存在或为0，易求，当直线MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为：，利用直线与圆相切可得，再联立椭圆方程并应用韦达定理求得，然后利用基本不等式即得.【小问1详解】由题可得，∴𝑎=2，𝑏=∴椭圆C的方程为：；小问2详解】当直线MN斜率为0时，不妨取直线MN为𝑦=，则，此时，则；当直线MN斜率不存在，不妨取直线MN为x=，则，此时，则；当直线MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为：，，因为直线MN与圆相切，所以，即，又因为直线MN与椭圆C交于M，N两点：由，得，则，所以MN中点T坐标为，则，，所以又，当且仅当，即取等号，∴|OT||MN|；综上所述：|OT|∙|MN|的取值范围为[，3].18、（1）；（2）存在，方程为和.【解析】（1）根据椭圆上的点、离心率和关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得，代入韦达定理中可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到直线方程.【小问1详解】由题意得：，解得：，椭圆的方程为；【小问2详解】由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，由得：，则；，，，，，解得：，，满足条件的直线存在，方程为和.19、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，可得，由可得，即，解得，，故.【小问2详解】解：，因此，.20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据周长为8，求得a，再根据离心率求解；（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.【小问1详解】解：∵的周长为8，∴，即，∵离心率，∴，，∴椭圆C的标准方程为【小问2详解】方法一：设，则直线斜率，∵，∴直线斜率，∴直线的方程为：，同理直线的方程为：，联立上面两直线方程，消去y，得，∵在椭圆上，∴，即，∴，∴所以与的面积之比为定值4方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，则直线的方程为，∵，∴直线的方程为，将代入，得，∵P是椭圆上异于点，的点，∴，又∵，即，∴，即，由，得直线的方程为，联立得，∴所以与的面积之比为定值421、（1）若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为；（2）若选择①②，则；若选择③，则.【解析】（1）根据所选择的条件，结合直线过点，即可写出直线的方程；（2）利用（1）中所求直线方程，以及弦长公式，即可求得结果.【小问1详解】若选①与直线平行，则直线的斜率；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；若选②与直线垂直，则直线的斜率满足，解得；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；若选③直线l的一个方向向量为，则直线的斜率；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；综上所述：若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为.【小问2详解】对圆C：，其圆心为，半径，根据（1）中所求，若选择①②，则直线方程为，则圆心到直线的距离，则直线截圆所得弦长；若选择③，则直线方程为，则圆心到直线的距离，则直线截圆所得弦长.综上所述，若选择①②，则；若选择③，则.22、（1）证明见解析（2