2026届浙江省杭州市高级中学数学高二上期末联考模拟试题含解析

2026届浙江省杭州市高级中学数学高二上期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知则是的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知函数.设命题的定义域为，命题的值域为.若为真，为假，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3．若是等差数列的前项和，，则（）A.13 B.39C.45 D.214．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且，则的长为（）A. B.1C. D.5．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，点E是棱PC的中点，作，交PB于F.下面结论正确的个数为()①∥平面EDB；②平面EFD；③直线DE与PA所成角为60°；④点B到平面PAC的距离为.A.1 B.2C.3 D.46．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C.2 D.7．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.8．已知，，，若、、三个向量共面，则实数A3 B.5C.7 D.99．已知且，则的值为（）A.3 B.4C.5 D.610．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A.4 B.-4C.2 D.-211．经过点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.12．为调查学生的课外阅读情况，学校从高二年级四个班的182人中随机抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有___________.14．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若，则该圆的半径r的取值范围是____________.15．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________16．定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.18．（12分）球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm（1）写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；（2）瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）19．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和20．（12分）某学校为了调查本校学生在一周内零食方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，分成四组，，，，其频率分布直方图如图所示，其中支出金额在元的学生有180人.（1）请求出的值；（2）如果采用分层抽样的方法从，内共抽取5人，然后从中选取2人参加学校的座谈会，求在，内正好各抽取一人的概率为多少.21．（12分）已知圆，圆心在直线上（1）求圆的标准方程；（2）求直线被圆截得的弦的长22．（10分）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积的最大值；（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先解不等式，再比较集合包含关系确定选项.【详解】因为，所以是的充分不必要条件，选A.【点睛】本题考查解含绝对值不等式、解一元二次不等式以及充要关系判定，考查基本分析求解能力，属基础题.2、C【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围，根据和的真假性可知一真一假，分类讨论可得结果.【详解】若命题为真，则在上恒成立，，；若命题为真，则的值域包含，则或，；为真，为假，一真一假，若真假，则；若假真，则；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.3、B【解析】先根据等差数列的通项公式求出，然后根据等差数列的求和公式及等差数列的下标性质求得答案.【详解】设等差数列的公差为d，则，则.故选：B.4、C【解析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，即可得答案.【详解】由椭圆的定义得：，，又，，所以，由椭圆知，所以.故选：C5、D【解析】①由题意连接交于，连接，则是中位线，证出，由线面平行的判定定理知∥平面；②由底面，得，再由证出平面，即得，再由是正方形证出平面，则有，再由条件证出平面；③根据边长证明△DEO是等边三角形即可；④根据等体积法即可求.【详解】①如图所示，连接交于点，连接底面是正方形，点是的中点在中，是中位线，而平面且平面，∥平面；故①正确；②如图所示，底面，且平面，，，是等腰直角三角形，又是斜边的中线，(*)，由底面，得，底面是正方形，，又，平面，又平面，(**)，由(*)和(**)知平面，而平面，又，且，平面；故②正确；③如图所示，连接AC交BD与O，连接OE，由OE是三角形PAC中位线知OE∥PA，故∠DEO为异面直线PA和DE所成角或其补角，由②可知DE＝，OD＝，OE＝，∴△DEO是等边三角形，∴∠DEO＝60°，故③正确；④如图所示，设B到平面PAC的距离为d，由题可知PA＝AC＝PC＝，故，由.故④正确.故正确的有：①②③④，正确的个数为4.故选：D.6、A【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，，即，故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来7、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C8、A【解析】由空间向量共面原理得存在实数，，使得，由此能求出实数【详解】解：，，，、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数故选：【点睛】本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题9、C【解析】由空间向量数量积的坐标运算求解【详解】由已知，解得故选：C10、B【解析】根据抛物线和椭圆焦点与其各自标准方程的关系即可求解.【详解】由题可知抛物线焦点为，椭圆左焦点为，∴.故选：B.11、A【解析】根据点斜式求得正确答案.【详解】直线的斜率为，经过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：A12、A【解析】根据系统抽样的方法即可求解.【详解】从人中抽取人，除以,商余，故抽样的间隔为，需要随机剔除人.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、人##300【解析】根据人数占比直接计算即可.【详解】该校女生共有人.故答案为：人.14、【解析】设出直线的方程为，代入抛物线方程，消去，可得关于的二次方程，运用韦达定理及抛物线的定义，化简计算可求解.【详解】抛物线C：y2=8x的焦点为,设以为圆心的圆的半径为，可知，，设，直线的方程为，则，代入抛物线方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案为：15、【解析】由题意设所求双曲线的方程为，∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即答案：16、2【解析】设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.【详解】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值.故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，若成等比数列，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以.【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.18、（1），（2）当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π【解析】（1）直接由条件写出关系式即可；（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.【小问1详解】设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅汤的利润是，∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，【小问2详解】由（1）知，则，令，则，当时，；当时，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.【小问1详解】因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，故可得：，，解得，又，故.【小问2详解】由（1）知，，又，故.即.20、（1）；（2）.【解析】(1)根据频率分布直方图求出[50，60]的频率，180除以该频率即为n的值；(2)将的样本编号为a、b，将的样本编号为A、B、C，利用列举法即可求概率.【小问1详解】由于支出金额在的频率为，∴.【小问2详解】采用分层抽样抽取的的人数比应为2：3，∴5人中有2人零食支出位于，记为、；有3人零食支出在，记为A、B、C.从这5人中选取2人有，，，，，，，，，，共10种情况；其中内正好各抽取一人有，，，，，，共6种情况.∴在内正好各抽取一人的概率为.21、（1）；（2）【解析】（1）由圆的一般式方程求出圆心代入直线即可求出得值，即可求解；（2）先计算圆心到直线的距离，利用即可求弦长.【详解】（1）由圆，可得所以圆心为，半径又圆心在直线上，即，解得所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为（2）由（1）知，圆心，半径圆心到直线的距离则直线被圆截得的弦的长为所以，直线被圆截得弦的长为【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出