专题06事件的相互独立性与条件概率全概率公式（举一反三讲义）（原卷版）

专题10.6事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1相互独立事件的判断】 3【题型2相互独立事件的概率】 4【题型3条件概率】 4【题型4全概率公式】 5【题型5贝叶斯公式】 5【题型6条件概率与其他知识综合】 61、事件的相互独立性与条件概率、全概率公式考点要求真题统计考情分析(1)了解两个事件相互独立的含义(2)理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率2023年新高考I卷：第21题，12分2023年新高考Ⅱ卷：第12题，5分2023年全国甲卷（理数）：第6题，5分2024年新高考Ⅱ卷：第18题，17分2024年天津卷：第13题，5分2024年上海卷：第8题，5分2025年天津卷：第13题，5分2025年上海卷：第13题，5分从近几年的高考情况来看，本节是高考的重点、热点内容，主要考查相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式等，一般以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会在解答题中作为一小问出现，与其他知识结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习.知识点1事件的相互独立性1．事件的相互独立性(1)定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.(2)性质若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.(3)推广两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.知识点2条件概率与全概率公式1．条件概率(1)条件概率的定义(2)性质设P(A)>0，Ω为样本空间，则①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；③设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1P(B|A).2．概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A).3．全概率公式及应用(1)全概率公式(2)全概率公式的意义4．贝叶斯公式贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下：(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知;(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).5．求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.6．利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.【方法技巧与总结】1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.【题型1相互独立事件的判断】【例1】（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1，2，3，4.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间Ω={1,2,3,4}，记事件A={1,2}，事件B={1,3}，事件C={1,4}，则（

）A．事件A,B,C两两独立，事件A,B,C相互独立B．事件A,B,C两两独立，事件A,B,C不相互独立C．事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C相互独立D．事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C不相互独立【变式11】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为x,y，A表示事件“x>4”，B表示事件“y为奇数”，C表示事件“x+y>8”，D表示事件“x+y=7”，则相互独立的事件是（

）A．A与C B．B与C C．C与D D．B与D【变式12】（2025·上海奉贤·三模）如果A,B分别是A,B的对立事件，下列选项中不能判断件A与事件B相互独立的是（A．P(A∩B)=P(A)⋅P(B) B．P(A∩C．P(B|A)=P(A) D．P(B|A)=P(B)【变式13】（2025·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”，则（

）A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立【题型2相互独立事件的概率】【例2】（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（

）A．13 B．19 C．364【变式21】（2025·湖南·三模）已知事件A，B是相互独立事件，且PA=23，PBA．112 B．12 C．512【变式22】（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为12，受到妈妈表扬的概率也为12，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（A．12 B．14 C．34【变式23】（2025·山东济南·模拟预测）某AI训练平台使用强化学习算法训练机器人完成迷宫任务．机器人每次训练有以下规则：若上一轮成功，本轮成功率为p；若上一轮失败，本轮成功率降为p2．已知首轮成功率为23，且前两轮都成功的概率为12A．2764 B．932 C．49【题型3条件概率】【例3】（2025·江西·三模）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（

）A．23 B．12 C．25【变式31】（2025·甘肃白银·三模）若P(A)=45,P(B∣A)=A．35 B．711 C．911【变式32】（2025·河北·三模）除夕夜吃饺子是中华民族的传统习俗，若一盘饺子共有三种馅，其中猪肉三鲜水饺有6个，素三鲜水饺有7个，羊肉大葱水饺有7个，现从盘中夹取3个饺子，在取到的都是同种馅的条件下，取到的都是羊肉大葱水饺的概率是（

）A．718 B．7228 C．338【变式33】（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（

）A．310 B．13 C．35【题型4全概率公式】【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则PB=（A．625 B．1350 C．725【变式41】（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（

）A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36【变式42】（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（）A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825【变式43】（2025·广东汕头·二模）某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（

）A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4【题型5贝叶斯公式】【例5】（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、3%，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%A．2147 B．2047 C．1847【变式51】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：PAB=PBAPA．0.1% B．0.4% C．2.4%【变式52】（2025·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患X疾病的人化验结果99%呈阳性，对未患X疾病的人化验结果99.9%呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区X疾病的患病率为0.0004，则这种检验方法在该地区的误诊率为（A．0.716 B．0.618 C．0.112 D．0.067【变式53】（2025·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A．37150 B．975 C．1837【题型6条件概率与其他知识综合】【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为13，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为12；如果上一局失败，则本局获胜的概率为(1)该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和期望.【变式61】（2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：性别不关注赛事关注赛事男性25150女性5075(1)列出2×2列联表并根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为34，1附：χ2α0.10.050.0250.010.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828【变式62】（2025·全国·模拟预测）在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）：乙球队总计胜负未参加比赛30b70参加比赛c10f总计70en(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2,0.4,0.3,0.1，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4，0.3，0.4，0.2．则：①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率；③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？附表及公式：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2【变式63】（2025·河南·模拟预测）某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件A为“摸出红球”，事件B为“摸出画○的球”．红球蓝球画○610画×26(1)求PA和P(2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖．（ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理；（ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励4a元，二等奖奖励2a元，三等奖奖励a元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过340元，则a的最大值为多少？一、单选题1．（2025·甘肃白银·三模）已知随机事件A,B发生的概率分别为PA=0.3，PB=0.6，若PBA．0.5 B．23 C．0.12 2．（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为13，小刚击中靶心的概率为23，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（A．29 B．727 C．793．（2025·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，13，若他恰好射中两个靶子的概率是16，那么他三个靶子都没射中的概率是（A．13 B．25 C．384．（2025·海南·模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2:3，其中甲班的女生占35，乙班中女生占25．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（A．38 B．625 C．7125．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，PA=0.4，PBA．事件A与B一定是对立事件B．PC．PD．若事件A、B相互独立，则P6．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有60%的学生牙齿健康，大约有30%的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有70%A．3970 B．3170 C．26357．（2025·全国·模拟预测）已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为5%，2%，4%，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为4:5:11，现任取一个零件，记事件A=“零件由第1台车床加工”，B=“零件为次品”，则P(A|B)=A．15 B．110 C．5378．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有n个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Aii=0,1,2，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则PAA．与n有关的常量 B．与n有关的变量C．与n无关的定值，且为114 D．与n无关的定值，且为二、多选题9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知A，B为随机事件，且PA=0.5，PBA．若A,B互斥，则PA∪B=0.9 B．若A,BC．若PAB=0.5，则PBA=0.310．（2025·河北·模拟预测）已知有甲､乙两个盒子，甲中有3个白球，2个黑球，乙中有1个白球，3个黑球．从甲中取出一个球放入乙中，再从乙中取出一个球放入甲中．记事件A=“从甲中取出的球为白球”；事件B=“从乙中取出的球为白球”；事件C=“甲中最后有3个白球”．下列说法正确的是（

）A．PB|A=2C．PA|B=311．（2025·贵州·模拟预测）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（

）

A．PB．A与B相互独立C．PD．P三、填空题12．（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为35，乙在每局比赛中获胜的概率为25，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为13．（2025·浙江宁波·一模）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是.14．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)=.四、解答题15．（2025·上海金山·三模）有两个罐子，A罐中放有3个白球和2个黑球，B罐中放有5个白球．(1)若从A罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率；(2)若从A罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率；(3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记A罐中黑球的个数为X，求X的分布和数学期望．16．（2025·全国·模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为23，乙胜丁的概率为35，甲胜丁的概率为(1)求甲获得冠军的概率；(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为2317．（2025·广东·模拟预测）为了研究生活习惯M与患有