统计学考试题及答案

统计学考试题及答案1.某市交通部门连续30天记录早高峰时段（7:00—9:00）通过跨江大桥的机动车流量（单位：千辆/日），数据如下：28.331.729.430.132.533.027.830.629.931.230.832.128.931.530.429.732.833.230.031.929.230.532.331.128.630.731.429.832.030.9（1）计算样本均值、中位数、众数、极差、方差、标准差、偏度与峰度；（2）以“26.5—27.5，27.5—28.5，…，33.5—34.5”为组距，绘制频数分布表与直方图，并在直方图上叠加正态密度曲线，据此评价流量分布的正态性；（3）若流量服从正态分布，求日均流量超过32.5千辆的概率，并给出95%置信区间估计；（4）检验“日均流量总体中位数为30.5千辆”的假设，显著性水平α=0.05，给出详细步骤与结论；（5）利用箱线图识别异常值，并解释其业务含义；（6）构建一个泊松近似模型，说明为何在拥堵时段车辆到达可视为泊松过程，并计算1分钟内到达车辆数大于10辆的概率（假设平均到达率为8辆/分钟）。答案与解析：（1）样本均值x̄=∑x_i⁄30=918.3⁄30=30.61千辆中位数：将数据排序后第15、16位为30.7与30.8，中位数30.75千辆众数：出现次数最多的数值为30.0、30.9、31.2、32.0等，各出现1次，故无明确众数，记“无众数”极差R=33.2−27.8=5.4千辆方差s²=∑(x_i−x̄)²⁄(n−1)=30.472⁄29=1.050标准差s=1.025千辆偏度g₁=[n∑(x_i−x̄)³]⁄[(n−1)(n−2)s³]=−0.184，左偏但接近对称峰度g₂=[n(n+1)∑(x_i−x̄)⁴]⁄[(n−1)(n−2)(n−3)s⁴]−3(n−1)²⁄[(n−2)(n−3)]=−0.627，稍平峰（2）频数分布表组界组中值频数累积频数26.5–27.527.00027.5–28.528.02228.5–29.529.04629.5–30.530.071330.5–31.531.082131.5–32.532.052632.5–33.533.032933.5–34.534.0130直方图略。正态密度曲线与直方图基本重合，但右侧尾部略短，Shapiro–Wilk检验W=0.984，p=0.862>0.05，不拒绝正态性。（3）若X~N(30.61,1.025²)，则P(X>32.5)=1−Φ((32.5−30.61)/1.025)=1−Φ(1.844)=0.032795%置信区间：x̄±t₀.₀₂₅,₂₉·s/√n=30.61±2.045·1.025/√30=30.61±0.38→(30.23,30.99)千辆（4）符号检验：H₀：M=30.5，H₁：M≠30.5大于30.5的数据有17个，小于11个，等于2个（剔除），有效样本n=28检验统计量S=min(17,11)=11P=2·P(Bin(28,0.5)≤11)=2·0.057=0.114>0.05，不拒绝H₀，无充分证据表明中位数偏离30.5（5）箱线图上下四分位Q₁=29.80，Q₃=32.05，IQR=2.25下限=Q₁−1.5IQR=26.43，上限=Q₃+1.5IQR=35.42所有数据均在[26.43,35.42]内，无异常值，说明流量稳定（6）泊松过程假设：车辆到达独立、平稳、稀有，满足泊松条件λ=8辆/分钟，P(N>10)=1−P(N≤10)=1−∑_{k=0}^{10}e^{−8}8^k/k!查表或计算得0.1842.某电商平台随机抽取800名付费用户，记录其过去12个月累计消费额Y（千元）与对应订单数X，拟合简单线性回归Y=β₀+β₁X+ε，得：β̂₁=0.872，S_{β̂₁}=0.036，SSE=4261.5，SST=18230.4，x̄=42.1，ȳ=38.5，n=800（1）写出回归方程，并解释β₁的经济含义；（2）计算判定系数R²与调整R²，评价模型拟合；（3）构造β₁的95%置信区间，并检验H₀：β₁=1vsH₁：β₁≠1；（4）预测当X=50时的平均消费额，并给出其95%置信带；（5）若发现残差呈现“漏斗”形扩散，简述如何修正模型；（6）引入二次项后，新模型Y=β₀+β₁X+β₂X²+ε，其R²增至0.812，而调整R²反而下降至0.809，请解释原因并给出建议。答案与解析：（1）回归方程：Ŷ=β̂₀+β̂₁X，β̂₀=ȳ−β̂₁x̄=38.5−0.872·42.1=1.779方程：Ŷ=1.779+0.872Xβ₁=0.872表示每增加1个订单，平均消费额增加872元（2）R²=1−SSE/SST=1−4261.5/18230.4=0.766调整R²=1−(1−R²)(n−1)/(n−2)=1−0.234·799/798=0.766，几乎相同，因n很大（3）95%CI：β̂₁±t₀.₀₂₅,798·S_{β̂₁}=0.872±1.96·0.036→(0.801,0.943)t=(0.872−1)/0.036=−3.56，|t|>1.96，拒绝H₀，β₁显著小于1，说明边际消费额随订单增加而递减（4）X=50，Ŷ=1.779+0.872·50=45.379千元置信带：Ŷ±t₀.₀₂₅,798·√MSE·√[1/n+(X−x̄)²/Sxx]MSE=SSE/(n−2)=4261.5/798=5.341，Sxx=∑(X−x̄)²=(SST−SSE)/β̂₁²=15968.9/0.872²=21000.4标准误=√5.341·√[1/800+(50−42.1)²/21000.4]=0.28895%带：45.379±1.96·0.288→(44.81,45.95)（5）残差方差随X增大而增大，存在异方差。可采用加权最小平方（WLS），或对Y做对数变换lnY，再拟合线性模型（6）增加二次项后R²上升，但调整R²下降，说明二次项带来的解释力不足以抵消参数惩罚。建议采用交叉验证或AIC/BIC选择模型，若二次项系数β₂不显著（p>0.05），则保留简单线性模型3.某制药公司研发新型降压药，采用双盲随机对照试验，将240名轻中度高血压患者均分至试验组（T）与对照组（C），治疗8周后收缩压下降量（mmHg）如下：T组：n₁=120，x̄₁=18.7，s₁²=49.0C组：n₂=120，x̄₂=12.4，s₂²=46.2（1）检验两组总体方差是否相等（α=0.10）；（2）在（1）基础上，检验试验药是否显著优于对照（α=0.05，单侧）；（3）计算效应量Cohen’sd，并解释其实际意义；（4）若欲在后续试验中检测到Δ=4mmHg的差异，功效1−β=0.90，α=0.05（双侧），需多少样本（每组相等）？（5）已知T组有8例出现轻度头晕，C组有3例，构建两组不良反应率差的95%置信区间；（6）若进一步按性别分层，得男性亚组T/C各60人，x̄₁=20.1，x̄₂=13.0；女性亚组T/C各60人，x̄₁=17.3，x̄₂=11.8，交互检验p=0.041，请阐述交互作用的统计与临床解释。答案与解析：（1）F=s₁²/s₂²=49.0/46.2=1.06，df₁=119，df₂=119双侧p=0.72>0.10，不拒绝方差齐性（2）合并方差s_p²=[(n₁−1)s₁²+(n₂−1)s₂²]/(n₁+n₂−2)=47.6t=(x̄₁−x̄₂)/√[s_p²(1/n₁+1/n₂)]=6.3/√(47.6·2/120)=6.3/0.891=7.07单侧p<0.0001，拒绝H₀，试验药显著更优（3）Cohen’sd=(x̄₁−x̄₂)/s_p=6.3/6.90=0.91，大效应，临床意义显著（4）n=2[(z_{α/2}+z_β)σ/Δ]²=2[(1.96+1.28)·6.90/4]²=2·8.46²=143.1→每组144例（5）率差p̂₁−p̂₂=8/120−3/120=0.041795%CI：0.0417±1.96√[p̂(1−p̂)(1/n₁+1/n₂)]，p̂=11/240=0.0458→0.0417±0.052→(−0.010,0.094)，包含0，差异不显著（6）交互p=0.041<0.05，表明药效受性别调节。男性差异7.1mmHg，女性5.5mmHg，临床需分别报告，可能提示女性对药物反应略低4.某高校统计系欲评估在线学习平台效果，随机抽取100名大二学生，记录其期中成绩X与期末成绩Y，二者均服从近似二元正态，r=0.78，x̄=72，ȳ=76，s_X=8.5，s_Y=9.2（1）建立Y对X的线性回归方程，并解释回归系数；（2）给定X=80，求Y的条件期望与条件标准差；（3）若某学生期中X=80，期末实际Y=65，计算其标准化残差，并评价该生表现；（4）检验总体相关系数ρ是否大于0.70（α=0.05，单侧）；（5）若将成绩按X分为低（<65）、中（65–80）、高（>80）三组，拟合单因素方差分析，得组间SS=4320，组内SS=5680，完成方差分析表并检验组间差异；（6）说明（4）与（5）两种方法在假设、结论与应用场景上的差异。答案与解析：（1）β̂₁=r·s_Y/s_X=0.78·9.2/8.5=0.844β̂₀=ȳ−β̂₁x̄=76−0.844·72=15.23方程：Ŷ=15.23+0.844X，每增加1分期中，期末平均提高0.844分（2）X=80，E(Y|X)=15.23+0.844·80=82.75条件标准差σ_{Y|X}=s_Y√(1−r²)=9.2√(1−0.78²)=5.74（3）残差e=65−82.75=−17.75标准化残差z=e/σ_{Y|X}=−17.75/5.74=−3.09，|z|>3，异常低，需关注学习状态（4）Fisher变换z_r=0.5ln[(1+r)/(1−r)]=1.045H₀：ρ=0.70，z_ρ=0.5ln[(1+0.7)/(1−0.7)]=0.867检验U=(z_r−z_ρ)√(n−3)=1.78，单侧p=0.037<0.05，拒绝H₀，ρ显著>0.70（5）方差分析表来源SSdfMSF组间4320221602160/58.37=37.0组内56809758.37总计1000099F=37.0，p<0.001，组间差异显著（6）相关分析要求二元正态，度量线性强度；方差分析仅要求组内正态与方差齐，用于分类自变量。结论一致：成绩相关/分组均显著，但相关分析提供预测方程，方差分析提供组间比较，场景不同5.某市气象局研究PM2.5浓度（μg/m³）与气象因素关系，采集连续100天数据，建立多元线性模型：Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+β₃X₃+β₄X₄+ε其中X₁：风速（m/s），X₂：相对湿度（%），X₃：气温（℃），X₄：逆温层高度（10m）回归结果：系数估计标准误tpβ₀185.321.48.66<0.001β₁−12.41.8−6.89<0.001β₂0.310.122.580.011β₃−1.070.25−4.28<0.001β₄−0.860.33−2.610.010R²=0.713，调整R²=0.701，F=60.2，p<0.001（1）写出回归方程，并解释β₁与β₃的实际含义；（2）检验整体模型显著性，并说明判定系数含义；（3）计算X₁=2.5，X₂=65，X₃=18，X₄=12时的预测浓度，并求其95%预测区间；（4）若发现X₂与X₃的VIF分别为4.8与5.2，诊断共线性问题；（5）采用逐步回归后，仅保留X₁、X₃、X₄，其调整R²升至0.718，简述变量选择准则与结论；（6）若残差滞后1阶自相关系数r₁=0.28，DW=1.45，n=100，检验序列相关（α=0.05），并提出修正策略。答案与解析：（1）方程：Ŷ=185.3−12.4X₁+0.31X₂−1.07X₃−0.86X₄风速每增加1m/s，PM2.5平均下降12.4μg/m³；气温每升高1℃，PM2.5平均下降1.07μg/m³（2）F=60.2，p<0.001，模型整体显著；R²=0.713表示71.3%的PM2.5变异可由四因素解释（3）Ŷ=185.3−12.4·2.5+0.31·65−1.07·18−0.86·12=185.3−31+20.15−19.26−10.32=144.87μg/m³MSE=(1−R²)SST/(n−p−1)=未给出，需先算SST，假设s_Y=35，则SST=35²·99=121275MSE=SSE/(n−p−1)=34890/95=367.3，s=19.16预测标准误s_pred=√[MSE(1+h₀)]，h₀=x₀ᵀ(XᵀX)⁻¹x₀，近似取0.05s_pred≈19.16·1.025=19.6595%预测区间：144.87±1.96·19.65→(106.3,183.4)（4）VIF<10，尚不构成严重共线性，但X₂、X₃接近5，需留意（5）剔除X₂后调整R²上升，说明X₂边际贡献不足，遵循简约原则，保留X₁、X₃、X₄（6）DW=1.45，查表d_L=1.63，d_U=1.72，1.45<d_L，存在正自相关可采用Cochrane–Orcutt迭代或引入滞后项修正6.某游戏公司研究玩家日活跃时长（分钟）与付费金额（元）关系，随机抽取500名玩家，发现付费额右偏严重，取对数后lnM近似正态。建立分位数回归，考察不同付费水平下活跃时长对数lnD的影响：（1