统计学原理试题及答案(华东理工专升本)

统计学原理试题及答案(华东理工专升本)1.（单选）某质检员从同一批袋装咖啡中随机抽取25袋称重，测得样本均值=502.3g，已知总体标准差σ=2.1g。若要求置信水平为95%，则该批咖啡平均重量的置信区间为A.（501.5，503.1）B.（501.4，503.2）C.（501.3，503.3）D.（501.2，503.4）答案：B解析：σ已知，用Z分布。Z0.025=1.96，标准误=2.1/√25=0.42，误差限=1.96×0.42≈0.823，502.3±0.823→（501.477，503.123），四舍五入得（501.4，503.2）。2.（单选）在单因素方差分析中，若组间均方MSB=45.6，组内均方MSE=12.3，则F统计量的值为A.3.51B.3.61C.3.71D.3.81答案：C解析：F=MSB/MSE=45.6/12.3≈3.707，保留两位小数得3.71。3.（单选）设随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ−1.5σ≤X≤μ+1.5σ)等于A.0.8664B.0.8749C.0.8826D.0.8944答案：A解析：标准化后Z∈[−1.5,1.5]，查表得Φ(1.5)=0.9332，双侧概率=2×0.9332−1=0.8664。4.（单选）对同一组数据分别拟合线性回归ŷ=β0+β1x与二次回归ŷ=β0+β1x+β2x²，若二次项系数β2的p值=0.038，则在α=0.05水平下应A.接受“β2=0”的原假设B.拒绝“β2=0”的原假设C.无法判断D.需重新收集数据答案：B解析：p=0.038<0.05，拒绝原假设，说明二次项显著。5.（单选）某超市记录连续12天的日销售额（万元）为：28，31，29，30，32，33，34，35，36，37，38，40。若用3期移动平均法预测第13天销售额，则预测值为A.35.0B.36.0C.37.0D.38.0答案：C解析：最近三期为38，37，36，平均=(38+37+36)/3=37。6.（单选）在假设检验中，若样本量n增大，则A.α与β同时减小B.α不变，β减小C.α减小，β不变D.α与β同时增大答案：B解析：样本量增大，抽样误差减小，在固定α下，β必然减小。7.（单选）设X~B(n=8,p=0.4)，则P(X=3)等于A.0.232B.0.246C.0.278D.0.294答案：C解析：C(8,3)×0.4³×0.6⁵=56×0.064×0.07776≈0.2786。8.（单选）若两变量x、y的Pearson相关系数r=−0.85，则下列说法正确的是A.x与y存在强负线性关系B.x与y存在弱负线性关系C.x与y无线性关系D.可推出x是y的因果原因答案：A解析：|r|>0.8为强相关，负号表示方向，不能推出因果。9.（单选）在正态总体均值检验中，若σ未知且n=16，则应选用的分布为A.标准正态B.t分布，df=15C.t分布，df=16D.χ²分布，df=15答案：B解析：σ未知且小样本，用t分布，自由度=n−1=15。10.（单选）某指数平滑模型取α=0.2，上期平滑值St−1=120，本期观测值xt=135，则本期平滑值St为A.122B.123C.124D.125答案：B解析：St=αxt+(1−α)St−1=0.2×135+0.8×120=27+96=123。11.（单选）若事件A、B独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于A.0.70B.0.75C.0.80D.0.90答案：A解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=0.4+0.5−0.2=0.7。12.（单选）在多元回归中，若某自变量的方差膨胀因子VIF=8.5，则一般认为A.不存在多重共线性B.存在轻度多重共线性C.存在严重多重共线性D.无法判断答案：C解析：VIF>10为严重，>5已需关注，8.5接近10，属严重。13.（单选）对一组右偏数据取自然对数后，其偏态将A.不变B.加剧右偏C.趋于对称D.变为左偏答案：C解析：对数变换可压缩右侧长尾，使分布趋于对称。14.（单选）若随机变量X的期望E(X)=5，Var(X)=9，则E(2X−3)与Var(2X−3)分别为A.7，18B.7，36C.10，18D.10，36答案：B解析：E(2X−3)=2×5−3=7；Var(2X−3)=4×9=36。15.（单选）在控制图应用中，若连续7点落在中心线同一侧，则称A.过程稳定B.过程存在随机波动C.出现“链”现象，需报警D.可忽略答案：C解析：7点链为典型非随机信号，需查找原因。16.（单选）设X~Poisson(λ=4)，则P(X≥2)等于A.0.762B.0.838C.0.908D.0.942答案：C解析：1−P(X=0)−P(X=1)=1−e^(−4)(1+4)=1−0.0183×5≈0.908。17.（单选）若样本比例p̂=0.35，n=200，则其标准误为A.0.032B.0.034C.0.036D.0.038答案：B解析：√[0.35×0.65/200]=√0.0011375≈0.0337，四舍五入0.034。18.（单选）在双尾t检验中，若p值=0.022，α=0.05，则A.拒绝原假设B.接受原假设C.需增大样本再检D.需改用单尾检验答案：A解析：p<α，拒绝原假设。19.（单选）若两独立样本t检验的自由度df=28，合并方差Sp²=4.5，n1=15，n2=15，则标准误为A.0.77B.0.80C.0.83D.0.86答案：A解析：SE=√[Sp²(1/n1+1/n2)]=√[4.5×(2/15)]=√0.6≈0.775。20.（单选）在列联表χ²检验中，若χ²=9.48，df=4，则对应的近似p值区间为A.0.01<p<0.025B.0.025<p<0.05C.0.05<p<0.10D.p>0.10答案：B解析：查χ²表，df=4时χ²0.025=11.14，χ²0.05=9.49，9.48略小于9.49，故p略大于0.05，最接近0.05<p<0.10，但选项无0.05−0.10，取最接近的0.025<p<0.05。21.（填空）若随机变量X的密度函数为f(x)=kx²,0≤x≤2，则常数k=____。答案：3/8解析：∫₀²kx²dx=1→k[x³/3]₀²=1→k×8/3=1→k=3/8。22.（填空）在简单随机抽样中，若总体大小N=1000，样本量n=100，则有限总体修正因子为____。答案：√[(N−n)/(N−1)]=√(900/999)≈0.9487。23.（填空）若回归方程ŷ=12.5+2.3x，且x=5时残差e=−1.2，则该点实际观测值y=____。答案：23.8解析：ŷ=12.5+2.3×5=24，y=ŷ+e=24−1.2=22.8。24.（填空）某股票日收益率序列呈白噪声，且Var(rt)=0.0004，则其滞后1阶自相关系数ρ1=____。答案：0解析：白噪声各阶自相关系数均为0。25.（填空）若X~N(10,4)，则其第三中心矩μ3=____。答案：0解析：正态分布对称，奇数阶中心矩为0。26.（填空）在Bootstrap估计中，若原始样本均值=28.6，经1000次重抽样后均值分布的2.5%与97.5%分位分别为26.4与31.0，则Bootstrap95%置信区间为____。答案：(26.4,31.0)解析：百分位法直接取分位数。27.（填空）若两变量秩相关系数Spearmanρ=0.72，则其可解释变异百分比为____%。答案：51.84解析：ρ²=0.72²=0.5184。28.（填空）某生产过程不合格品率历史为2%，现抽400件发现12件不合格，则样本比例与历史比例之差的绝对值为____%。答案：1解析：|12/400−0.02|=|0.03−0.02|=0.01即1%。29.（填空）若时间序列模型xt=0.7xt−1+εt,εt~N(0,σ²)为平稳AR(1)，则其自相关函数在滞后2阶的值为____。答案：0.49解析：ρk=φ^k→ρ2=0.7²=0.49。30.（填空）在聚类分析中，若采用Ward法，其合并准则为最小化____。答案：组内平方和增量（或误差平方和增量）。31.（计算）某高校欲估计本科生月均生活费，随机调查64名同学，得样本均值=1850元，样本标准差s=420元。（1）求μ的95%置信区间；（2）若希望估计误差不超过50元，置信水平仍为95%，求所需样本量。答案：（1）n=64>30，用Z近似。Z0.025=1.96，标准误=420/√64=52.5，误差限=1.96×52.5≈102.9，区间=1850±102.9→(1747.1,1952.9)元。（2）n=(Zα/2×s/E)²=(1.96×420/50)²=(16.464)²≈271.1，向上取整272人。32.（计算）某工厂两台灌装机分别灌装500ml饮料，随机抽取A机20瓶、B机25瓶，测得x̄A=502.1，sA=3.2；x̄B=499.8，sB=2.7。设两总体方差相等，检验两机均值是否显著差异（α=0.05）。答案：H0:μA=μB，H1:μA≠μB。合并方差Sp²=[(19×3.2²)+(24×2.7²)]/(20+25−2)=(194.56+174.96)/43≈8.59，Sp≈2.93。标准误=Sp√(1/20+1/25)=2.93×√0.09≈0.879。t=(502.1−499.8)/0.879≈2.617，df=43，双侧t0.025≈2.017。|t|>2.017，拒绝H0，认为两机均值差异显著。33.（计算）某电商记录连续10天广告投入x（万元）与日销售额y（万元）数据，计算得：Σx=120，Σy=850，Σx²=1540，Σy²=74850，Σxy=10840。（1）求回归方程ŷ=β0+β1x；（2）当x=15万元时，求y的预测值及95%置信带（设残差标准差s=4.2，x̄=12，Σ(xi−x̄)²=220）。答案：（1）β1=[nΣxy−ΣxΣy]/[nΣx²−(Σx)²]=[10×10840−120×850]/[10×1540−120²]=(108400−102000)/(15400−14400)=6400/1000=6.4β0=ȳ−β1x̄=85−6.4×12=85−76.8=8.2方程：ŷ=8.2+6.4x（2）x0=15，ŷ0=8.2+6.4×15=104.2标准误预测值=s√[1/n+(x0−x̄)²/Σ(xi−x̄)²]=4.2√[0.1+9/220]=4.2√0.1409≈4.2×0.375≈1.575t0.025,df=8≈2.306，误差限=2.306×1.575≈3.63置信带：(104.2−3.63,104.2+3.63)=(100.57,107.83)万元。34.（计算）某质检部门对三种工艺生产的电池寿命做完全随机单因素试验，各重复6次，得数据（小时）：工艺A：48，52，50，49，51，50工艺B：55，58，57，56，59，57工艺C：60，62，61，63，64，61（1）完成方差分析表；（2）检验三种工艺寿命是否显著差异（α=0.05）。答案：（1）计算：总均值=(300+342+371)/18≈56.28SSB=6[(50−56.28)²+(57−56.28)²+(61.83−56.28)²]=6(39.46+0.52+30.75)=6×70.73=424.38，dfB=2SST=Σy²−CM=(48²+…+61²)−18×56.28²=57496−57006.9=489.1，dfT=17SSE=SST−SSB=64.72，dfE=15MSB=212.19，MSE=4.31，F=49.23（2）F0.05(2,15)=3.68，49.23>3.68，拒绝H0，工艺间差异显著。35.（计算）某银行评估信用卡违约风险，建立Logistic模型，自变量年龄x1、收入x2（万元）、负债比x3（%），得回归系数：β0=−6.2，β1=−0.08，β2=0.12，β3=0.05。现有客户甲：年龄=35，收入=8，负债比=30。（1）求其违约概率π；（2）若阈值取0.3，判断是否违约。答案：（1）z=−6.2−0.08×35+0.12×8+0.05×30=−6.2−2.8+0.96+1.5=−6.54π=1/(1+e^(6.54))≈0.0014（2）0.0014<0.3，判为“不违约”。36.（综合）某市交通部门欲评估两条主干道A、B在早高峰的平均车速差异，随机抽取A道12天、B道15天，测得：A道：x̄A=28.6km/h，sA²=8.5B道：x̄B=31.2km/h，sB²=10.2假设两总体服从正态分布且方差不相等。（1）构造μA−μB的95%置信区间；（2）根据区间判断是否存在显著差异；（3）若实际最小可检测差异Δ=2km/h，求检验功效（近似）。答案：（1）Welch法：SE=√(8.5/12+10.2/15)=√(0.7083+0.68)=√1.3883≈1.178df=(8.5/12+10.2/15)²/[(8.5²/12²×11)+(10.2²/15²×14)]≈1.928/0.107≈18.0，t0.025,18=2.101区间=(28.6−31.2)±2.101×1.178=(−2.6±2.475)→(−5.075,−0.125)km/h。（2）区间未包含0，认为差异显著。（3）非中心参数δ=|Δ|/SE=2/1.178≈1.70，查t分布功效表，df=18，单侧α/2=0.025，功效≈0.64。37.（综合）某连锁超市对促销方式（打折、满减、买赠）与顾客性别做列联调查，样本量600人，得χ²=11.4，df=2。（1）给出检验结论（α=0.05）；（2）计算Cramér’sV系数；（3）若希望列联系数达到0.3，需样本量至少多少（近似）？答案：（1）χ²0.05(2)=5.99，11.4>5.99，拒绝独立，促销方式与性别有关联。（2）Cramér’sV=√(χ²/[n×min(r−1,c−1)])=√(11.4/[600×1])≈0.138。（3）设所需χ²使V=0.3，则0.3=√(χ²/600)→χ²=54，因χ²≈n×V²×min(r−1,c−1)，保持效应量不变，n=χ²*/V²=54/0.09=600，即当前样本已足够，但需更大样本才能稳定达到0.3，近似需n≈(0.3/0.138)²×600≈2850。38.（综合）某医学试验比较三种降压药A、B、C的降压幅度，采用随机区组设计，控制年龄因素，共6个区组，结果如下：区组1：A=12，B=15，C=18区组2：A=10，B=14，C=17…区组6：A=11，B=16，C=19已知：SS处理=126，SS区组=24，SST=180。（1）完成方差分析表；（2）检验药物效应（α=0.05）；（3）若区组效应显著，说明什么？答案：（1）dfT=17，df处理=2，df区组=5，df误差=10SSE=180−126−24=30MS处理=63，MS区组=4.8，MSE=3.0F