2026年数学建模与应用题库培养逻辑思维与问题解决能力

2026年数学建模与应用题库：培养逻辑思维与问题解决能力一、线性规划问题（共3题，每题15分）题目1：背景：某城市快餐连锁店计划在市中心区域开设新分店。经过市场调研，发现该区域有四个潜在选址点（A、B、C、D），每个点的每日客流量预估分别为：A点2000人，B点1800人，C点1500人，D点1200人。为平衡各分店距离，规定每个点最多开设2家分店，且任意两点之间距离不能超过5公里（实际距离表见下表）。设开设每家分店固定成本为80万元，运营成本与每日客流量成正比（比例系数为0.1万元/人），问如何选址才能使总成本最低？|选址点|A|B|C|D||--||||||A|-|4|6|8||B|4|-|5|7||C|6|5|-|4||D|8|7|4|-|要求：1.建立线性规划模型；2.用ExcelSolver或Lingo求解最优解；3.分析结果并提出经营建议。题目2：背景：某制药厂生产两种药物（甲、乙），需使用三种原料（X、Y、Z）。每生产1单位甲药需消耗2单位X和1单位Y，每生产1单位乙药需消耗1单位X和2单位Y。原料供应限制如下：X每月最多供应200单位，Y每月最多供应150单位，Z对甲药不限量但对乙药需至少50单位。甲药售价为50元/单位，乙药售价为40元/单位，但市场需求预测显示乙药需求增长快，需优先保障乙药产量。问如何安排生产计划才能使总利润最大？要求：1.建立线性规划模型；2.求最优生产方案；3.若原料X价格降低20%，最优解是否变化？如何调整？题目3：背景：某港口有两条装卸线（L1、L2），分别可同时处理3艘船。船舶到达时间及装卸时间如下表所示（单位：小时）：|船舶编号|到达时间|L1装卸时间|L2装卸时间||-|-||||1|8:00|4|5||2|9:00|3|4||3|10:00|5|6||4|11:00|4|3||5|12:00|3|5|若船舶等待时间按小时计算，每艘船的等待时间罚款为2000元/小时。问如何安排装卸顺序才能使总罚款最少？要求：1.建立线性规划模型；2.用匈牙利算法或Excel求解；3.分析结果并说明如何优化调度。二、整数规划问题（共2题，每题20分）题目4：背景：某物流公司需在华北、华东、华南三地建配送中心，服务周边企业。选址需满足以下约束：-华北最多建2个，华东至少建1个，华南不超过1个；-每个配送中心需至少服务3家企业，但企业需求强度不同（见下表）；-建设成本分别为：华北50万元/个，华东40万元/个，华南30万元/个；-每个配送中心运营成本与服务企业数量成正比（比例系数为10万元/企业）。企业需求强度表：|配送中心|企业1|企业2|企业3|企业4||-|-|-|-|-||华北|2|3|1|0||华东|1|0|4|2||华南|3|2|0|1|要求：1.建立混合整数规划模型；2.用Lingo求解最优选址方案；3.若华北成本降低至40万元/个，最优解如何变化？题目5：背景：某电信运营商铺设光纤网络，需在A、B、C三区建设基站。基站建设需满足以下条件：-A区最多建4个，B区至少建2个，C区不超过3个；-每个基站覆盖一定区域（见下表）；-建设成本分别为：A区80万元/个，B区60万元/个，C区70万元/个；-每个基站需至少服务1万户家庭，但实际需求分布不均（见下表）。基站覆盖范围表：|区|基站编号|覆盖区域（万户）||-|-|||A|1|3|||2|2|||3|4|||4|1||B|1|2|||2|3||C|1|4|||2|1|||3|2|需求分布表：|区|家庭需求（万户）||-|||A|8||B|6||C|10|要求：1.建立0-1整数规划模型；2.用Lingo求解最优基站建设方案；3.若B区成本提高至70万元/个，最优解如何调整？三、动态规划问题（共1题，25分）题目6：背景：某电商平台计划在双十一期间推出限时秒杀活动，商品分为三类（A、B、C），库存分别为100件、80件、60件。每类商品利润分别为50元、40元、30元，但需满足以下约束：-每类商品秒杀时长最多3天；-每天每类商品最多秒杀20件；-消费者偏好模型显示：若A类秒杀不足50件，B类需求下降30%；若B类秒杀不足40件，C类需求下降20%。要求：1.建立动态规划模型；2.求最优秒杀方案（按天分配各类商品秒杀数量）；3.分析结果并说明如何平衡库存与利润。四、图论与网络流问题（共2题，每题20分）题目7：背景：某城市需从三个水源地（S1、S2、S3）向四个供水区（A、B、C、D）输送自来水。管道容量及成本见下表（单位：万元/千米）：|源地→区域|A|B|C|D||--|--|--|--|--||S1|5|7|6|8||S2|6|4|7|5||S3|7|5|8|4|供水需求：A需100万立方米/天，B需120万立方米/天，C需80万立方米/天，D需60万立方米/天。若水源S1最大供水量为150万立方米/天，S2为130万立方米/天，S3为110万立方米/天。问如何铺设管道使总成本最低？要求：1.建立最小费用最大流模型；2.用网络流算法求解；3.若B区需求增加20%，最优解如何变化？题目8：背景：某铁路枢纽需调度货物列车，共有5条进站轨道（P1-P5），3条出站轨道（Q1-Q3）。进站轨道与出站轨道间的连通性见下表（1表示可连通，0表示不可连通）：|进站→出站|Q1|Q2|Q3||--|-|-|-||P1|1|0|1||P2|0|1|0||P3|1|1|0||P4|0|0|1||P5|1|0|1|每小时最多可调度4列进站车至出站轨道。若每列车在轨道停留时间超过1小时需额外支付500元。问如何调度才能使总停留时间最短？要求：1.建立网络流模型；2.用最小路径法求解；3.若P3与Q2连通性增加（变为1），最优解如何调整？五、概率统计与决策分析（共2题，每题15分）题目9：背景：某农业合作社计划种植两种作物（小麦、玉米），土地面积为100亩。根据气象数据，小麦亩产服从正态分布（均值为500斤，标准差80斤），玉米亩产服从正态分布（均值为450斤，标准差70斤）。市场价格：小麦1元/斤，玉米0.8元/斤。若种植小麦需投入化肥成本0.2元/斤，玉米需0.15元/斤。若遇干旱，小麦减产概率为20%，玉米减产概率为30%，减产程度分别为50%和40%。问如何分配土地才能使期望收益最大？要求：1.建立期望收益模型；2.计算最优种植方案；3.分析干旱风险下的决策。题目10：背景：某商场进行促销活动，随机发放优惠券：A类优惠券（50%概率）可享8折优惠，B类优惠券（30%概率）可享9折优惠，C类优惠券（20%概率）无优惠。商品原价100元，顾客购买意愿与折扣力度相关：A类优惠券吸引3个顾客，B类吸引2个，C类吸引1个。问平均每个顾客需发放多少优惠券才能使期望收益最大？要求：1.建立概率决策模型；2.计算最优优惠券发放策略；3.分析不同折扣的吸引力。六、仿真问题（共1题，20分）题目11：背景：某快餐店点餐系统高峰期每分钟到达顾客数服从泊松分布（λ=5），顾客点餐时间服从均匀分布（5-10分钟）。若服务员平均服务速度为每分钟1.5人，排队超10分钟顾客会离开。问：1.建立系统仿真模型；2.模拟100个顾客的排队情况，统计平均等待时间、顾客流失率；3.若增加1名服务员，结果如何变化？要求：1.用随机数法模拟泊松分布和均匀分布；2.编写伪代码或使用Excel模拟；3.分析服务能力与顾客体验的关系。答案与解析线性规划问题：题目1答案：模型：设xij为A点开设i家分店至B点的数量（i,j∈{A,B,C,D}且ij≠i），yA为A点开设分店数量，以此类推。目标函数：minZ=80yA+80yB+80yC+80yD+0.1×2000xAA+0.1×1800xBB+...（所有成本项）。约束：1.yA+yB+yC+yD≤6（总分店数）；2.xij≤2（每个点最多2家）；3.各点流量守恒（如xA1+xB1+xC1+xD1=2000）；4.距离约束（如xAB≤4）。用Lingo求解得最优方案：A点开2家，B点开1家，C点开1家，D点不开，总成本约660万元。建议优先开发客流量大且距离近的点。题目2答案：模型：设x甲、x乙为甲乙药产量。目标函数：maxZ=50x甲+40x乙。约束：2x甲+x乙≤200（X）；x甲+2x乙≤150（Y）；x乙≥50（Z）；x甲,x乙≥0。最优解：x甲=50，x乙=50，总利润900万元。若X价格降20%，最优解不变，但利润增加。题目3答案：模型：设aij为船舶i在L1装卸时间，bij为在L2装卸时间，tij为等待时间。目标函数：minZ=Σ(t1+t2+...+t5)。约束：按匈牙利算法计算优先级，结果：1-B2，2-A1，3-C2，4-D1，5-B1，总罚款约16000元。建议优先处理装卸时间短的船舶。整数规划问题：题目4答案：模型：设zA、zB、zC为选址变量（0-1）。目标函数：minZ=50zA+40zB+30zC。约束：zA+zB+zC≤3（总数量）；zA≤2；zB≥1；zC≤1；各企业需求约束（如企业1需服务≥3）。Lingo求解得：zA=2，zB=1，zC=0，总成本110万元。题目5答案：模型：设yA、yB、yC为基站数量（0-1）。目标函数：minZ=80yA+60yB+70yC。约束：yA+yB+yC≤5（总数量）；yA≤4；yB≥2；yC≤3；各区域需求约束。Lingo求解得：yA=4，yB=1，yC=0，总成本320万元。若B成本升至70万，最优解不变。动态规划问题：题目6答案：阶段：按天数划分。状态：库存量。决策：秒杀数量。递推方程：V(n,s)=max{售价×秒杀量-成本×秒杀量-损失系数×下一阶段需求|秒杀量≤min(库存,20)}。求解得最优方案：第1天A秒杀20，B秒杀20；第2天A秒杀20，B秒杀20；第3天A秒杀20。总利润最高。图论与网络流问题：题目7答案：模型：最小费用最大流。设fij为管道流量。目标函数：minZ=Σcostij×fij。约束：流量守恒、容量限制、水源供应。用网络流算法求解得最优流量分配及总成本600万元。若B区需求增20%，需重新计算管道容量，最优解可能变化。题目8答案：模型：最小路径覆盖。设xij为是否连通。目标函数：minΣΣxij（覆盖所有出站轨道）。约束：每个进站轨道最多一条路径。用最小路径法求解得最优调度：P1→Q1，P2→Q2，P3→Q1，P4→Q3，P5→Q1。总停留时间最短。概率统计与决策分析：题目9答案：模型：期望收益=Σ(小麦产量×(1-0.2)×1-化肥成本)+