全微分考试题及答案

全微分考试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(z=xy\)在点\((1,1)\)处的全微分\(dz\)为（）A.\(dx+dy\)B.\(2dx+2dy\)C.\(dx-dy\)D.\(dy-dx\)2.若\(z=e^{x+y}\)，则\(dz\)等于（）A.\(e^{x+y}dx\)B.\(e^{x+y}dy\)C.\(e^{x+y}(dx+dy)\)D.\(e^{x+y}(dx-dy)\)3.函数\(z=\ln(x+y)\)的全微分\(dz\)是（）A.\(\frac{1}{x+y}(dx+dy)\)B.\(\frac{1}{x+y}(dx-dy)\)C.\(\frac{1}{x+y}dx\)D.\(\frac{1}{x+y}dy\)4.设\(z=x^2+y^2\)，则在点\((1,2)\)处\(dz\)为（）A.\(2dx+4dy\)B.\(4dx+2dy\)C.\(2dx-4dy\)D.\(4dx-2dy\)5.函数\(z=\sin(xy)\)的全微分\(dz\)为（）A.\(\cos(xy)(xdx+ydy)\)B.\(\cos(xy)(ydx+xdy)\)C.\(\cos(xy)(dx+dy)\)D.\(\cos(xy)(dx-dy)\)6.设\(z=x/y\)，则\(dz\)等于（）A.\(\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy\)B.\(\frac{1}{y}dx+\frac{x}{y^2}dy\)C.\(\frac{x}{y^2}dx-\frac{1}{y}dy\)D.\(\frac{x}{y^2}dx+\frac{1}{y}dy\)7.函数\(z=e^{xy}\)在点\((0,1)\)处的全微分\(dz\)是（）A.\(dx\)B.\(dy\)C.\(dx+dy\)D.\(dx-dy\)8.若\(z=x^3+y^3\)，则\(dz\)为（）A.\(3x^2dx+3y^2dy\)B.\(3x^2dx-3y^2dy\)C.\(3x^2dy+3y^2dx\)D.\(3x^2dy-3y^2dx\)9.函数\(z=\arctan(xy)\)的全微分\(dz\)为（）A.\(\frac{y}{1+x^{2}y^{2}}dx+\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}dy\)B.\(\frac{y}{1+x^{2}y^{2}}dx-\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}dy\)C.\(\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}dx+\frac{y}{1+x^{2}y^{2}}dy\)D.\(\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}dx-\frac{y}{1+x^{2}y^{2}}dy\)10.设\(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，则\(dz\)为（）A.\(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dy\)B.\(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dy\)C.\(\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dy\)D.\(\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dy\)多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些函数可求全微分（）A.\(z=x+y\)B.\(z=\frac{1}{x+y}\)C.\(z=\sinx\cosy\)D.\(z=x^y\)2.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微，则（）A.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续B.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处偏导数存在C.全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)D.函数的增量\(\Deltaz=dz+o(\sqrt{\Deltax^{2}+\Deltay^{2}})\)3.对于函数\(z=x^2-y^2\)，下列说法正确的是（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=-2y\)C.\(dz=2xdx-2ydy\)D.在点\((1,1)\)处\(dz=2dx-2dy\)4.设\(z=e^{x}\siny\)，则（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=e^{x}\siny\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=e^{x}\cosy\)C.\(dz=e^{x}\sinydx+e^{x}\cosydy\)D.在点\((0,\frac{\pi}{2})\)处\(dz=dx\)5.函数\(z=xy+x^2\)的全微分性质有（）A.\(dz=(y+2x)dx+xdy\)B.是\(\Deltax,\Deltay\)的线性函数C.与函数增量之差是\(\sqrt{\Deltax^{2}+\Deltay^{2}}\)的高阶无穷小D.当\(\Deltax,\Deltay\)很小时可近似代替函数增量6.全微分\(dz\)与偏导数关系正确的是（）A.\(dz\)存在则偏导数一定存在B.偏导数存在则\(dz\)一定存在C.偏导数连续则\(dz\)一定存在D.\(dz\)存在偏导数不一定连续7.若\(z=\ln(x^{2}+y^{2})\)，则（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\)C.\(dz=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}dx+\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}dy\)D.在点\((1,1)\)处\(dz=dx+dy\)8.对于函数\(z=\frac{x}{y}\)，以下正确的是（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{y}\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=-\frac{x}{y^{2}}\)C.\(dz=\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^{2}}dy\)D.在点\((2,1)\)处\(dz=dx-2dy\)9.设\(z=x\cosy\)，则（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=\cosy\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=-x\siny\)C.\(dz=\cosydx-x\sinydy\)D.在点\((0,\pi)\)处\(dz=dx\)10.函数\(z=e^{x+y^2}\)的全微分相关结论有（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=e^{x+y^2}\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=2ye^{x+y^2}\)C.\(dz=e^{x+y^2}(dx+2ydy)\)D.在点\((0,0)\)处\(dz=dx+dy\)判断题（每题2分，共10题）1.函数\(z=f(x,y)\)在某点偏导数存在，则该点全微分一定存在。（）2.若\(z=x+y\)，则\(dz=dx+dy\)。（）3.全微分\(dz\)是\(\Deltax,\Deltay\)的线性函数。（）4.函数\(z=x^2y\)在点\((1,1)\)处的全微分\(dz=2dx+dy\)。（）5.函数可微必连续。（）6.函数\(z=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)的全微分\(dz=-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dx-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dy\)。（）7.偏导数连续是函数可微的必要条件。（）8.若函数\(z=f(x,y)\)全微分存在，则偏导数一定存在且唯一。（）9.对于\(z=\sin(x+y)\)，\(dz=\cos(x+y)(dx+dy)\)。（）10.函数\(z=e^{xy}\)的全微分\(dz=e^{xy}(ydx-xdy)\)。（）简答题（每题5分，共4题）1.简述函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)可微的定义。2.全微分有什么几何意义？3.说明函数可微、偏导数存在与连续之间的关系。4.求函数\(z=x^2y\)的全微分。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数全微分在实际问题中的应用。2.若函数在某点的偏导数存在但不连续，能否判断函数在该点可微？3.结合实例说明全微分近似代替函数增量的好处。4.当函数\(z=f(x,y)\)的全微分存在时，如何利用它来分析函数的变化情况？答案单项选择题1-5：ACAAB6-10：AAAAD多项选择题1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ACD7.ABC8.ABCD9.ABC10.ABC判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×简答题1.若函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)的全增量\(\Deltaz=f(x+\Deltax,y+\Deltay)-f(x,y)\)可表示为\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\sqrt{\Deltax^{2}+\Deltay^{2}})\)，其中\(A,B\)不依赖于\(\Deltax,\Deltay\)，则称函数在该点可微。2.全微分的几何意义是：函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)的全微分\(dz\)，表示过曲面\(z=f(x,y)\)上点\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)的切平面上点的竖坐标的增量。3.可微能推出偏导数存在和函数连续；偏导数存在推不出函数可微和连续；函数连续推不出偏导数存在和可微；偏导数连续可推出函数可微。4.先求偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^{2}\)，则\(dz=2xydx+x^{2}dy\)。讨论题1.在物理学中可用于计算