第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

第5课时用''HL''判定直角三角形全等学习目标探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，培养学生的观察、归纳能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.复习导入判定方法简称图示ABCC'A'B'ABCC'A'B'ABCC'A'B'ABCC'A'B'三边分别相等两边和它们的夹角分别相等两角和它们的夹边分别相等两角分别相等且其中一组等角的对边相等SSSSASAASASA“斜边、直角边”或“HL”追问1：如图，已知在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中,∠C=∠C’=90°,

AC=A’C’，如果添加的条件是

AB=A’B’

，△ABC≌△DEF成立吗？注意：显然我们知道，证明一般的三角形全等不存在“SSA”定理.我们可以通过画图试试看.已知两条线段(这两条线段长不相等),试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.2cm3cm步骤:1.画一条线段AB,使它等于2cm;2.画∠MAB=90°(用量角器或三角尺);3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C;4.连结BC.△ABC即为所求.ABCM“斜边、直角边”或“HL”画图你画的三角形与同伴画的一定全等吗？想一想△A'B′C′与△ABC能够完全重合因而△A'B'C′≌△ABC.基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：

在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′，BC=B′C′，ABCA′B′C′“斜边、直角边”或“HL”注意(1)用“HL”证明直角三角形全等的格式和一般三角形全等不同：①写条件时要注明“Rt△”；②大括号中含两个条件；③结论要注明“Rt△”(2)“HL”定理的特殊性：应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”判定三角形全等方法小结常用思路如下：已知条件寻找的条件选择的判定方法拓展两角夹边或其中一组等角的对边ASA或AAS一角及其对边任一角AAS一角及其邻边角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角SAS或ASA或AAS两边夹角或另一边或直角SAS或SSS或HL寻找三角形全等的条件的方法：

要结合图形，挖掘其中的隐含条件，如公共边、对顶角、中点、角平分线、高所带来的相等关系，以及等线段加(或减)同线段或等线段的和(或差)相等.课堂评价C例1如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.解∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中,∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴BD=CD.

AB=AC,

∠ADB=∠ADC,1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？ABCDE分析：CA=CBCD=CE∠A=∠B=90°1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？ABCDE解：D,E与线段AB的距离相等.∵C是路段AB的中点，∴AC=BC.∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°.CD=CE，AC=CB，在Rt△ADC

和Rt△BEC

中，∴

Rt△ADC≌Rt△BEC(HL).∴

AD=BE.∴D,E与线段AB的距离相等.2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF．求证：（1）AE=DF

;

（2）CD//AB.ABCDEF分析：

CE-EF=BF-EF,即CF=BERt△ABE≌Rt△DCF（HL）

AE=DF∠B=∠C

CD//AB2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF．求证：（1）AE=DF

;

（2）CD//AB.ABCDEF证明：∵CE=BF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°.AB=DC，CF=BE，在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴

Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴

AE=DF，∠B=∠C.∴

CD//AB.∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.3.如图，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2.ABCEF12证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴∠E=∠F=90°.在Rt△AEC和Rt△AFB中，AC=AB，AE=AF，∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）.∴∠EAC=∠FAB.∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC.∴∠1=∠2.4．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据HL直接判定，还需要添加一个条件是

．

AB＝AC

5．如图，要用HL判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是(

)A．AC＝A'C'，BC＝B'C‘ B．∠A＝∠A'，AB＝A'B'C．AC＝A'C'，AB＝A'B‘ D．∠B＝∠B'，BC＝B'C'C6.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AE=DF.ABCEDF证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC=∠AEB=90°.∵CE=BF，CE-EF=BF-EF，∴CF=BE.在Rt△DFC和Rt△AEB中，CD=BA，CF=BE，∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL)，∴AE=DF.Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),从而DE=EC.7.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(

)A．SSS

B．ASA

C．SSA

D．HL8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，

BD＝BC，若AC＝6cm，则AE＋DE等于(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．7cmDC9.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，∴Rt△EBC≌Rt△DCB(H.L.).

CE=BD,

BC=CB.设BD于EF交于点G，即证EG=FG.∴BF＝DE∴△GBF≌△GDE(AAS)∠BFG＝∠DEG∠BGF＝∠DGE10.如图，AB

=

CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE

=

CF.求证：BD

平分

EF.AFCEDBG证明：在

Rt△ABF和

Rt△CDE中，AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).在

△GBF和

Rt△GDE中，BF＝DE∴GF=GE，即BD平分EF.证明：∵

AD，AF

分别是钝角△ABC

和△ABE

的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADC

和Rt△AFE

中，

AC＝AE，

AD＝AF，∴

Rt△ADC

≌

Rt△AFE

(HL).

∴

CD＝EF.在Rt△ABD

和Rt△ABF

中，11.如图，已知AD，AF分别是钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.