2020年高中数学第一章立体几何初步阶段性测试题一北师大版必修2

PAGEPAGE1阶段性测试题一第一章立体几何初步(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间中，已知下列命题：①两组对应边相等，且它们的夹角也相等的两个三角形全等；②对边相等的四边形是平行四边形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④有两组对应角相等的两个三角形相似．其中正确的是()A．①② B．③④C．②③ D．①④解析：①④是平面图形，是正确的；②③在平面内正确，而在空间中不正确．答案：D2．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，则梯形ABCD的面积是()A．10 B．5C．5eq\r(2) D．10eq\r(2)解析：由题意知，梯形ABCD为直角梯形，AB＝2，CD＝3，AD＝2.∴S＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝5.答案：B3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成．其中，圆锥的底面半径为2，母线长为eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π.答案：C4.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1D.eq\f(3π,2)＋3解析：由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成，故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1.答案：A5．用与球心距离为1的平面去截半径为2的球，则截面面积为()A．2π B．3πC．4π D．9π解析：设球的半径为R，球心到平面的距离为h，截面圆的半径为r，则R2＝r2＋h2，∴r2＝4－1＝3，S＝πr2＝3π.答案：B6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，mβ，则α⊥β；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果mα，n⃘α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⃘α，n⃘β，则n∥α且n∥β.其中正确的命题是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：①满足面面垂直的判定定理，正确；②若m与n交于一点，则结论正确，否则不正确；③满足条件的n与α也可能平行；④满足线面平行的判定定理，正确．答案：D7．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析：只有②正确，①③显然不正确，对于④，当该垂线不在第一个平面内时，垂线就不垂直于另一平面．答案：C8．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()A．2 B．eq\r(3)C.eq\r(2) D．1解析：由题意得AB2＝AC2＋CD2＋BD2，即4＝1＋CD2＋1，解得CD＝eq\r(2)，故选C.答案：C9．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线A1C和AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1解析：空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的投影是B，在左、右面上的投影是C，上、下面上的投影是D，因此选A.答案：A10．(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．60 B．30C．20 D．10解析：如图，把三棱锥A－BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A－BCD的高为4，故该三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×3×4＝10.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若直线A1C与平面BCC1B1所成的角的大小是θ，则sin解析：如图，连接B1C在正方体中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴∠A1CB1即为直线A1C与平面BCC1B1∴sinθ＝eq\f(A1B1,A1C)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1解析：VA－DED1＝VE－ADD1＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)13．正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为eq\f(\r(2),2)，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为________．解析：由题意知，eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)×3×h，h＝eq\f(\r(2),2).连接OE，则OE∥PA，则∠BEO为PA与BE所成的角或其补角，OB＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2)，OE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，由题意得BO⊥OP，BO⊥AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥OE.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝eq\f(OB,OE)＝eq\r(3)，∠BEO＝eq\f(π,3).即PA与BE所成的角为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)14．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α，β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析：先把某三个论断作为条件，余下一个作为结论，所有命题写出来，然后利用线面、面面垂直有关判定和性质进行判断．答案：②③④⇒①(或①③④⇒②)三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)如图所示，一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，长宽分别是4cm和2cm，俯视图是一个边长为4cm的正方形．(1)求该几何体的全面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)．故几何体的全面积是64cm2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d，球的半径是r，d＝eq\r(16＋16＋4)＝eq\r(36)＝6，所以球的半径r＝3.因此球的体积V＝eq\f(4,3)πr3＝36π(cm3)，所以外接球的体积是36πcm3.16．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．(1)求证：AB⊥平面AA1C(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(3)证明：EF⊥A1C解：(1)证明：∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1(2)∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，∵在△ABC中E是BC的中点，∴D是线段AC的中点．(3)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中A1A＝∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1由(1)可得AB⊥A1C∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥平面ABC1∴A1C⊥BC1又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C17．(12分)如图(1)，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2eq\r(2)，M为AC的中点，现将△ABM沿着BM边折起，如图(2)所示．(1)求证：平面BCM⊥平面ACM；(2)若平面ABM⊥平面BCM，求三棱锥B－ACM外接球的直径．解：(1)证明：由图(1)知，BM⊥AM，BM⊥MC，AM∩MC＝M，所以BM⊥平面AMC.又因为BM平面BMC，所以平面BCM⊥平面ACM.(2)因为平面ABM⊥平面BCM，平面ABM∩平面BCM＝BM，BM⊥AM，AM平面ABM，所以AM⊥平面BMC.所以AM⊥MC，即AM、MC、BM两两垂直，而易知AM＝BM＝MC＝2，所以该三棱锥外接球与以MA、MB、MC为相邻棱组成的长方体的外接球为同一个球，所以三棱锥B－ACM外接球的直径为eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).18．(14分)(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2eq\r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积．解：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⃘平面PAD，AD平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3