2026年高考数学复习讲练测专题06 平面向量5大最值题型通关指南（解析版）

专题06平面向量5大最值题型通关指南内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1、平面向量是近3年的高考命题热点，常以选择题填空题为主，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是平面向量的数量积及坐标运算，也会考察平面向量的最值问题．预测2026年：平面内容可能会考一道最值中档试题，考察平面向量的建系法求最值，以及极化恒等式的应用，同时要注意解答题中向量的几何翻译。热点题型：题型01平面向量中建系法求最值范围题型02平面向量中的三角换元求最值题型03平面向量中转化为点到线的距离最短求向量最值问题题型04平面向量中极化恒等式求最值范围问题题型05极化恒等式与其他知识相结合题型01平面向量中建系法求最值范围解｜题｜策｜略①在求平面向量最值范围问题中，看到特殊角，特殊图行，要想到可以通过建立坐标系来解决【精选例题】【例1】已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可.【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设，则，，可得，因为，所以，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值，即.故选：A.【例2】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A． B． C．-1 D．【答案】A【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：A【例3】在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解.【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，依题意，有，，，，设，则，且，，，因，当时，，当时，，故．

故选：D．【例4】已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可.【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，则，所以，由于正八边形的每个外角都为；则，所以.故选：C【例5】已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为.【答案】【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，，则，，故，当且仅当，时，等号成立，故答案为：.【例6】在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为．【答案】【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值.【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.依题意，，设，则，，由，因，则当时，取得最小值为.故答案为：.【变式训练】1．(25-26高三上·北京房山区·)已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则,则,，所以，故，故，由于，故，故，故选：C

2．(24-25高三下·湖南长沙部分学校联考·)已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（

）A． B．0 C．12 D．【答案】D【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，因为，，，所以，所以当时，取得最大值.故选:D.3．(25-26高三上·北京汇文中学·期中)如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，则的最大值为，的最大值为.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，写出相应的点，得出相关的向量，结合向量数量积的坐标表示和图形分析得出第一空；根据图形的对称性结合已知条件分析即可得出的最大值.【详解】建立如图所示平面直角坐标系，由且在竖直方向，可得，则，设，那么，则，要使最大，需要最大，结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中点时），此时，即的最大值为25，虽然两点异于两点，但因为图中蜂巢的对称性，两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题，为使得两点相距最远，两点之间应靠近边界，根据对称性，可假设点位于原点A，此时根据对称性只需要考虑点位于轴左边即可，所以，由图观察可见，离点最远的顶点应是六边形的顶点，而对于正六边形，其中为中点，，，在正六边形中，外边界四点离点相对较远，对应坐标为，即，即，即，即，可知，所以外边界四点中，只需要考虑两点，因，故应取更大的，故答案为：25，.4．(24-25高一下·陕西西安远东第二中学·月考)直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】建立平面直角坐标系如图，则，，，，点，为的中点，，，，，，在边上运动(包含端点)，设，，，，，，的取值范围为.故答案为：.5．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·月考)已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是.【答案】/【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解.【详解】因为，可知O为的中点，又因为O为的外接圆圆心，则，且，，则，则，可知为等边三角形，即，如图，建立平面直角坐标系，则，设，可得，则，可知当时，取到最小值.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，.6．(24-25高三上·河北邢台质检联盟·期中)已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为．【答案】/【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点，则,由可得,故，所以，故当时，取到最小值，故答案为：题型02平面向量中的三角换元求最值解｜题｜策｜略题目中涉及圆上一动点，要想到三角换元，【精选例题】【例1】已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解．【详解】在中，由，可得，根据，得，，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，则，设为平面内满足的点，则有，，则，由于P在单位圆上，可设，，则，故的取值范围为故选:A【例2】已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】是重心，也是内心，是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设，求出，利用三角函数有界性求出的取值范围.【详解】由，易知是重心，又已知的内切圆圆心为，所以也是内心，由三线合一可知是等边三角形.如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，所以，所以，当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，所以取值范围是故选：B【例3】在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为；的最小值为．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件有，设，利用向量相等，即可求解；利用数量积的运算，得，令，从而得，即可求解.【详解】如图以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，因为为的中点，所以，设，则，又，设，则，整理得到，又是圆上的动点，所以，再代入，可得，所以.因为，又是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，则，所以，令，则，所以，所以，

故答案为：；.【例4】已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为．【答案】【分析】设，，，结合数量积公式与三角恒等变换公式计算可得的最小值，再利用数形结合可得其范围.【详解】不妨设，，，则，令，则，则，取，时，等号成立，当为直径时，点趋向于时，，故的取值范围为.故答案为：.【例5】如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是．【答案】2【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值．【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下：由已知条件可知，，，设，，则，，，，，，，，故答案为：2．【例6】已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为.【答案】【分析】依题意作图并建立坐标系，如图，可设，利用数量积和模的坐标运算得，利用余弦函数值域求解.【详解】依题意作图并建立坐标系，如图，，可设，则，，则，由，得，，，又因为，所以，故.故答案为：【变式训练】1．在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系，因为在矩形中，，，，，所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，则,，其中锐角满足，故的最大值为,故选：A.2．(24-25高一下·福建厦门大学附属科技中学·)已知扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的取值范围是.【答案】【分析】将，两边同时平方得，再利用三角代换，结合三角函数的性质求解.【详解】依题意，，，，由两边同时平方，得，即，令，则，因此，其中锐角由确定，而，则，，所以的取值范围是.故答案为：3．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是【答案】/【分析】由题意可设，由向量线性运算、模的坐标公式结合辅助角公式即可得解.【详解】动点的轨迹为以为圆心的单位圆，则设为，则.等号成立当且仅当，且规定是锐角，.故答案为：.4．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为；若是圆上的动点，则的取值范围是.

【答案】1【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.【详解】取中点为，由于正六边形的边长为2，所以,因此到线段的距离为,建立如图所示的直角坐标系，则,，，由于,故，故答案为：1；

5．(25-26高三上·上海嘉定安亭高级中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为.【答案】【分析】根据奇函数的性质，求出分段函数解析式，再根据不等式，求出向量数量积的范围，进而求出向量夹角的范围，再根据平面向量的坐标表示，求出向量模长的最小值.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，则，得，当时，，则，得，即，所以，设夹角为，，则，设夹角为，，则，当时，可得，解得，，解得（舍去），所以，即，当，可得，解得（舍去），，解得，所以，即，设，则，则，当取最小值，且与反向时，取得最小值；可知，因为，所以当时，，根据四边形法则，可知与夹角为，当时，为最小值.故答案为：.6．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·)如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为．

【答案】【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得.【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，

则，，，则，，设（），则圆方程为，设，则，，可得，，所以，其中，当，，取得最大值，当，，取得最小值，所以的取值范围为．故答案为：.7．(25-26高三上·湖南永州道县敦颐高级中学·开学考)如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为.【答案】【分析】由题意建立直角坐标系，根据等腰梯形求边长，高，表示出点的坐标，再根据向量数量积的坐标公式以及三角函数性质，可得答案.【详解】如图，以为原点，建立直角坐标系.由题意，梯形的高长为，则.因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，.则其中，，故当时，.故答案为：题型03平面向量中转化为点到线的距离最短求向量最值问题解｜题｜策｜略题目中出现的最小值问题，要想到它的含义就是点到直线的距离【精选例题】【例1】设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则.【答案】4【分析】利用向量的加法可得和向量的模为点到直线上任意点的两点间距离，从而可得最小值为；也可用平方法，利用数量积来计算和向量的模，再结合二次函数求最小值即可.【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动，故的最小值为，由图可得：；方法二：由题意可知，，令，因为，所以恒大于零，所以当时，取得最小值2，所以，化简得，所以.故答案为：.【例2】已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】看到形如结构，要想到系数和为1，三点共线，因此要想办法让的系数和为1，我们可以提出，因此我们可以设，故，若，由，则，，共线，故，由图得，当时有最小值，又，∴，即，即为等边三角形．由余弦定理，，设M为BC中点，，∴当取最小值时，有最小值，∵为边上任意一点，∴当时，有最小值，设，过点作于点，则，又，为的中位线，∴，即，∴．故选：B.【例3】在中，，若对任意的实数恒成立，则边的最小长度是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】设，如图所示，因为对任意的实数，都有恒成立，由恒成立，则，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故选：C．【例4】已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，，，则，则，因为，其中t+(1-t)=1，于是与共起点，且终点共线，即在直线AB上，于是时（即）最小，最小值为1，无最大值.故选：C.【例5】已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为．【答案】【详解】如图，设，，，，则，且，要求的最小值即求的最小值.作出关于的对称点，再作出关于的对称点，连接，设与射线交于，连接，与射线交于，则，且，设，则，而，故，所以.则，当且仅当重合，重合时等号成立，故答案为：.【变式训练】1．已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【详解】如图:令，，则，故.因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.设，连接，因为，所以点在直线上.因为，所以，即，所以.结合图形可知，当时，即取得最大值，且.故选：D2.已知中，，，，，，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由，结合向量加法法则知：到的距离为2，又，则，所以，故为等腰直角三角形，由，则，所以共线，又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，所以在线段上运动，且，，，由图：若，则，又，此时，故上述情况，易知，由图知：与重合时，，综上，的取值范围为.故选：D3.在中，，，，对任意，有恒成立，点P是直线BA上，则的最小值是．

【答案】【详解】因为，所以，由减法与数乘的几何意义，为点到的垂线段，所以，因为，，所以，，所以，在中，由余弦定理易得，，设关于直线对称点为，连接，连接交于，易得，此时最小，，，即的最小值为.故答案为:.4．已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是．【答案】【分析】根据，可得四点共圆，即可共线得，结合图形即可求解最值.【详解】令，，，为单位向量．，则，由于与的夹角为，所以，，故不妨取，，四点共圆情况，,外接圆的直径为，在优弧上，，表示起点为，终点在直线上的向量，由于，到的距离为，设到的最大距离为由于为的最小值，则当时最小，故的最大值为，此时过圆心且故答案为：．题型04平面向量中的极化恒等式求最值范围ABABCM极化恒等式三角形模式在三角形中（M为的中点），此恒等式如何表示呢？（三角形模式）注意：使用极化恒等式的条件在处理的问题时，只有当或（是的中点）已知（或有一定的约束条件）时，我们才考虑极化恒等式，否则需要使用常规方法来解答【精选例题】【例1】铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】B【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可；【详解】取的中点，连接（图略），则．因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，所以，所以．故选：B.【例2】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图中，O为AB中点，（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取中点，则由极化恒等式知，，要求取值范围，只需要求最大，最小即可.由图，可知最大时，P在D点，即，此时，最小时，P在O点，即，此时.综上所得，取值范围为:.故选：D.【例3】如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【答案】BCD【分析】根据数量积的运算律可得，结合正六边形的几何性质，即可求解.【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，

根据题意可知，是边长为的正三角形，易得，，根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值，此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时综上，.故选：BCD【例4】在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为．【答案】2【分析】根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果.【详解】取PQ的中点N，则，可得，∵，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，∴，故.故答案为：2.【例5】如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为.若在线段上有一个动点，则的最小值为.【答案】6【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解.【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，所以，，则；，显然，当为的中点时，，所以故答案为：6；．【变式训练】1．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（

）A．6 B．3 C． D．【答案】A【分析】将中向量进行分解，即：，由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值.【详解】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以，取的中点，所以，，如图所示：因为,因为是的中点，所以，，所以若最大，所以只需最大，所以，所以.故选：A2．邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】根据向量的运算可得，结合数量积的几何意义分析求解.【详解】因为为弧上的一点，则，且，可知，由图形可知：当点与点重合时，向量在方向上的投影取到最小值，此时，所以的最小值为.故选：C.3．四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是.【答案】【分析】根据平面向量的加法的几何意义,可得，计算出的表达式,最后根据的大小，可以求出的取值范围【详解】M是上的点且C、D两点在以为直径的圆上，且圆心为M，是等腰直角三角形，所以，又，所以，在等腰直角中,点M到线段MN上的一点N的距离最大值为1,取最小值时,N为的中点,此时，，所以.故答案为：4．(23-24高一下·河南河南名校联考·月考)如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是．

【答案】3【分析】取边上的中点Q，设P到的距离为h，由已知可得，利用向量运算可得，结合和基本不等式求解.【详解】取边上的中点Q，设P到的距离为h，由，所以，，.（当且仅当，即时等号成立）．则的最小值为3．故答案为：3.

5．已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为.【答案】【分析】若是外接圆圆心，是中点，连接，根据，数形结合有、即可求最小值.【详解】若是外接圆圆心，是中点，连接，如下图，

所以，则，故，而，且，所以，当且仅当共线且重合为正六边形一边的中点时等号成立，所以.故答案为：6．已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意知的轨迹为以C为圆心半径为1的圆，将向量，用，，表示，根据的范围，求出的范围.【详解】由已知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．取线段的中点，

则，又因为，，所以，则．故答案为：.题型05极化恒等式与其他知识相结合【精选例题】【例1】已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线，直线过定点，并可得出，得出的轨迹方程为，根据两圆圆心距离与半径的关系，求出的最大值，并且，然后即可得出的最小值．【详解】依题意得，半径，设点坐标，易知直线，恒过点，直线恒过，且，则，即，点轨迹为，圆心为，半径为，但是去掉点，若点为弦的中点，位置关系如图：，连接,由易知，，，故B正确．故选：B．【例2】已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定【答案】A【分析】取的中点，的中点，连接，，根据向量的线性运算计算向量并计算，同理计算，根据不等关系可得出对于边上任意一点都有，从而确定，从而得到结果.【详解】取的中点，的中点，连接，（如图所示），

则，同理，因为，所以，即，所以对于边上任意一点都有，因此，又，为中点，为中点，所以，所以，即，所以，即为钝角三角形.故选：A．【例3】已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可．【详解】取的中点,,则，所以．所以在以为球心，为半径的球面上，如图可知在上的投影数量最小值为，所以的最小值为，所以的最小值为．故选：B．【例4】已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（

）A．[8，12] B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围【详解】由，得，则，圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为，因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，所以，即，所以，所以，所以的取值范围为，故选：C【例5】已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.【答案】【分析】根据条件，得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，再求出范围，即可求出结果.【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，所以，得到，又正三棱柱的高为2，所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面的两个切点，设为，则，又点是正三棱柱表面上的动点，当与（或）重合时，的值最小，此时，由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，连接，并延长交于，则，此时，得到，则的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：关键在于把向量的数量积转化为线段和长度问题.【例6】已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为．【答案】【分析】做出图形，计算出正四面体的内切球的半径，由此可求得，再根据空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当为该正四面体的顶点时取得最大值，即可求解.【详解】如下图所示：正四面体的棱长为3，设其内切球的球心为，连接并延长交底面于点，易知点为的中心，且平面；连接并延长交于点，则点为的中点；且；则，；因为平面，平面，所以；可得，易知的面积为；正四面体体积为；设正四面体的内切球的半径为，则；即，解得；可知，易知，又是球的一条直径，所以；因此；易知当为该正四面体的顶点时，此时，取得最大值；当为该正四面体棱的中点时，此时，取得最小值；因此的取值范围为.故答案为：【点睛】思路点睛：利用几何关系推导出内切球的半径：首先通过几何关系计算出正四面体的体积和内切球的半径，这是确定几何量的基础；结合空间向量的数量积分析动点的取值：通过分析动点和空间向量的关系，结合数量积的性质，判断动点在不同位置时的取值，确定取值范围.【变式训练】1．已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得，连接并利用椭圆的定义求，再由余弦定理求，易知，建立方程求间的关系，进而可得椭圆的离心率【详解】如下图所示：

因为为平行四边形的边的中点，所以，所以，所以．连接，由椭圆的定义可知，；设，则，故，在中，．在中，．在平行四边形中，，所以，所以，则，整理得，所以椭圆的离心率为，故选：D．【点睛】方法点睛：处理本题中向量数量积问题时还可以利用平面向量中的极化恒等式：或．其几何意义为向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的．2．(24-25高二上·吉林长春吉大附中实验学校·月考)已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可.【详解】，即，则圆心，半径为.椭圆方程，,则，则圆心为椭圆的焦点，由题意的圆的直径，且如图，连接，由题意知为中点，则，可得.点为椭圆上任意一点，则，，由，得.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键于利用中点性质，将多动点有关的数量积，通过向量的线性运算与数量积运算性质，转化为动点与定点圆心连线的长度来表示，进而可借助椭圆上任意一点到焦点距离的范围使问题得解.3．点为抛物线上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将抛物线化为标准方程，可求得.由圆的方程可知，圆心恰好为抛物线的焦点.根据向量数量积定义，将转化为，由抛物线性质可得，进而得的取值范围.【详解】由，可得，，圆，圆心为，则圆心为抛物线的焦点.由题意，得因为所以，又因为，，故选:C.【点睛】本题考查了抛物线性质的简单应用，平面向量数量积的定义及应用，属于中档题.4．(24-25高二上·江西八校协作体·)在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值.【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点，

在正三棱锥中，所以，平面，又平面，所以，则.又，所以，所以当与重合时，取最小值0，此时有最小值.故选：C5．已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果.【详解】因为，圆心，半径为1，则，可得，由椭圆方程可知：，即恰为椭圆的右焦点，则，所以.故选：A.6．(25-26高二上·浙江台州山海协作体·期中)已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是．【答案】【分析】由题意得，再由的范围，可得的取值范围．【详解】由椭圆的方程可得，，可得，易知圆的圆心，半径为1，

因为，所以，可知恰为椭圆的右焦点，所以，所以．故答案为：．7．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.【答案】【分析】根据条件得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，再求出范围，即可求出结果.【详解】正三棱柱的高为，所以棱柱的内切球的半径为，设棱柱内切球与上下底面的两个切点为，且切点为上下底面的中心，设棱柱内切球的球心为，又是该棱柱内切球的一条直径，则，则，又点是正三棱柱表面上的动点，当为内切球与正三棱柱的各面的切点时，的值最小，此时，由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，连接，并延长交于，因为正三棱柱的底边长为，则，此时，得到，则的取值范围是.故答案为：.8．(25-26·难点2直线与圆中的最值问题处理策略（练）·期中)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为.【答案】/【分析】首先求直线和所过的定点，再根据两直线的位置关系，求点的轨迹方程，再利用数形结合，利用极化恒等式转化数量积，并求最小值.【详解】由知：圆心，半径；由得，所以恒过定点；由得，所以恒过定点；由直线方程可知：，所以，所以，即，设，则，，所以，整理得，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在，则无法表示直线，而无法表示直线，所以点轨迹不包含；记点为弦的中点，则，位置关系如图：

连接，由知：，则，所以（当在处取等号），即的最小值为.故答案为：9．(25-26高二上·上海七宝中学浦江分校·期中)体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是．【答案】【分析】记该正四面体为，由题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大值时，只要最大即可得．【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球，

显然在其高上，是底面正的中心，设，则，，，得到，因为是正四面体，则是内切球球心也是其外接球球心，设内切球半径为，即，又，由，得，解得，当最大时，是球的直径，，因为点在正四面体的表面上运动，当是正四面体的顶点时，取得最大值，最大值为，所以的最大值是．故答案为：．10．若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是.【答案】【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为2.因为.又因为椭圆的，为椭圆的右焦点，设，，，，所以，，∴．故答案为：.（建议用时：60分钟）一、单选题1．(25-26高三·吉林松原吉林油田高级中学·)在菱形中，分别是边的中点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将用表示，利用平面向量的数量积求出，计算即可得解.【详解】由题意，得，在菱形中，，所以，所以．故选:D.2．(25-26高二上·广东广州天天向上联盟·期中)已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】设为的中点，由取得的最小值即可求解.【详解】已知、是圆：上的两点，且，点为坐标原点，由于，即为，故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则，结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上，又，则，而，的最小值为，则的最小值为.故选：D3．(25-26高三上·江苏宿迁中学·期中)已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，由弦长公式求得圆心到AB的距离，设AB中点为D，取BD中点为E，求出的长度，得到E点的轨迹为圆，从而由化简得，转化成两圆上的点间的距离问题即可求解．【详解】设AB中点为D，取BD中点为E，则由得，，所以，即E点的轨迹方程为．．由于P点在圆上，又，所以，即，所以故选：D4．(25-26高二上·浙江宁波三锋联盟·期中)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线所过定点和知，由此得轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得，结合向量数量积的运算律求得最小值.【详解】由知：圆心，半径；由得，所以恒过定点；由得，所以恒过定点；由直线方程可知：，所以，所以，即，设，则，，所以，整理得，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在，则无法表示直线，而无法表示直线，所以点轨迹不包含；记点为弦的中点，则，位置关系如图：连接，由知：，则，所以（当在处取等号），即的最小值为.故选：A.5．(25-26高二上·北京延庆区·期中)已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，以边中点为原点，建立直角坐标系，利用等边三角形的性质得出相应点的坐标，进而得出的坐标，再运用向量坐标运算计算，求最小值．【详解】设点，以边中点为原点，建立如图所示直角坐标系，是边长为的等边三角形，，，，，，当时，即点为中点时，取最小值，最小值为．故选：A6．(25-26高二上·浙江六校联盟·)已知直线：与圆：交于，两点，点在圆上，且，若，则（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】设弦的中点为，根据题意结合数量积的运算律可得，结合垂径定理整理可得，代入运算求解即可.【详解】圆：的圆心为，半径，直线：过定点，则，可知点在圆内，可知直线与圆必相交，设弦的中点为，则，因为，可得，

则，又因为，可得，可得，即，所以.故选：C.7．(24-25高一下·河南实验中学·月考)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量中三点共线的判定方法和平面向量的模长得几何意义，得出模长最小时即为三角形的高，根据条件解三角形，再建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示，求出向量数量积的最小值.【详解】设，化简得，即三点共线，由的最小值为可知，的高为，如图所示，因为，所以为等腰三角形，在直角中，代入得，解得，在中，，所以是以的等腰直角三角形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，其中，且，，，，所以，当且仅当时，取最小值.故选：D.8．(24-25高一下·重庆女子职业高级中学·月考)已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得，设,，结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得当、、三点共线时取得最小值．【详解】由已知，设,，则，作关于直线的对称点，连接、、、，则，，所以，在中，由余弦定理可得，所以，当且仅当、、三点共线时等号成立，所以的最小值为．故选：C．9．(24-25高一下·浙江91联盟·期中)已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（

）.A．. B．. C．. D．.【答案】B【分析】用的方向向量坐标表示出的最小值，从而求出.【详解】设点在原点.向量，因为且沿轴，向量，且，角平分线的方向向量是和的单位向量的和：，，所以角平分线方向向量为，，所以方向的单位向量为：，设，则，​​.，，，，这是一个关于的二次函数.当，最小.此时.故选：B.10．(24-25高一下·江苏盐城五校联盟·)在平面直角坐标系中，，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】建立平面直角坐标系求出，再由向量夹角的坐标表示以及辅助角公式可求得当时，所求表达式取得最大值.【详解】如下图所示：易知，所以；同理可得，即可得；因为点是线段上，可得；显然，所以；因此可得，其中；因此可得当，即等号成立；由可得，此时存在满足，所以的最大值为.故选：A二、多选题11．(25-26高二上·广东中山三鑫学校·月考)设动直线交圆于两点(点为圆心)，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点 B．当取得最小值时，C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为【答案】ABD【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的性质，结合余弦定理求解判断BC；利用数量积的定义计算判断D.【详解】对于A，由，，则直线过定点，A正确；对于B，点在圆内，圆的圆心，当且仅当时，取得最小值，因此，解得，B正确；对于C，当且仅当取得最小值时，最小，而，则由余弦定理得，C错误；对于D，，同向时取等号，D正确.故选：ABD12．在中，，点为以为圆心的单位圆上的动点，设的重心为，外心为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．当为直角三角形时，D．的最大值为【答案】ABD【分析】根据题意，建立直角坐标系，不妨设，由的重心为，得到，结合选项，利用向量数量积的坐标运算法则，以及三角函数的性质，逐项计算，即可求解.【详解】在中，，且点为以为圆心的单位圆上的动点，建立如图所示的直角坐标系，不妨设，对于A，因为的重心为，可得，则，又由，所以，所以A正确；对于B，由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，所以B正确；对于C，若为直角三角形，则，即，因为，所以，所以，平方可得，则，又由，所以，所以，所以C不正确；对于D，由，可得的中点，则，因为点为的外心，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以D正确.故选：ABD.13．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】ABC【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出，把表示为，利用辅助角公式、三角函数求最值.【详解】如图示，建立平面直角坐标系.设，可得：.由可得：，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围为，结合选项可知，A，B，C中的数值符合，故选：ABC14．(25-26高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为【答案】ACD【分析】由的方程得到它们分别经过的定点，且两直线垂直，进而得到点的轨迹，判断A选项；由即圆的半径可知，