湖北省荆州市沙市中学2026届高二上数学期末综合测试模拟试题含解析

湖北省荆州市沙市中学2026届高二上数学期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2．抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.3．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.14．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是A. B.C. D.5．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.0C.−1 D.−36．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.157．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.8．下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A. B.C. D.9．已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B.C. D.10．曲线上的点到直线的距离的最小值是（）A.3 B.C.2 D.11．已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.12．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，且，的面积为，则的标准方程为______14．设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为______.15．已知向量与是平面的两个法向量，则__________16．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于__________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.18．（12分）已知圆.（1）过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.19．（12分）设椭圆过，两点，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过，，三点，求椭圆E的标准方程21．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，.（1）求证：平面PAC；（2）已知点M是线段PD上的一点，且，当三棱锥的体积为1时，求实数的值.22．（10分）已知数列中，，（）.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和为.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则有（），所以，因为，所以，所以当时，数列为单调递增数列，而当数列为单调递增数列时，不一定成立，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A2、D【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的准线方程.【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，因此，该抛物线的准线方程为.故选：D.3、B【解析】由可得抛物线标椎方程为：，由焦点和准线方程即可得解.【详解】由可得抛物线标准方程为：，所以抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离为，故选：B【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.4、D【解析】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.考点：椭圆的简单性质5、B【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：B6、C【解析】y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.7、D【解析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.【详解】若，则可得：，故选项A错误；若，则可得：，故选项B错误；若，则可得：，故选项C错误；不妨设的首项为，公差为，则有：则有：，故选项D正确故选：D8、A【解析】先由直线方程找到直线的斜率，再推导出直线的倾斜角即可.【详解】选项A：直线的斜率，则直线倾斜角为，是锐角，判断正确；选项B：直线的斜率，则直线倾斜角为钝角，判断错误；选项C：直线的斜率，则直线倾斜角为0，不是锐角，判断错误；选项D：直线没有斜率，倾斜角为直角，不是锐角，判断错误.故选：A9、B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，由于，所以，所以，则，所以故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题10、D【解析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；故选：D11、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B12、B【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C：上一点，则有，又，所以，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用待定系数法列出关于的方程解出即可得结果.【详解】设的标准方程为，则解得所以的标准方程为故答案为：.14、【解析】设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率.【详解】椭圆，由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为，设直线的方程为，且，由，消去并化简得，设，，则①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直线的方程为，斜率为.故答案为：15、【解析】由且为非零向量可直接构造方程求得，进而得到结果.【详解】由题意知：，，解得：（舍）或，.故答案为：.16、2【解析】O是平面OAB上一个点，设点P到平面OAB的距离为d,则d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即点P到平面OAB的距离为2考点：空间向量在立体几何中的运用三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，则，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题18、（1）；（2）或.【解析】（1）根据直线与圆相切，求得切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程；（2）利用弦长公式，结合已知条件求得直线的斜率，即可求得直线方程.【小问1详解】圆，圆心，半径，又点的坐标满足圆方程，故可得点在圆上，则切线斜率满足，又，故满足题意的切线斜率，则过点的切线方程为，即.【小问2详解】直线过点，若斜率不存在，此时直线的方程为，将其代入可得或，故直线截圆所得弦长为满足题意；若斜率存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，由弦长公式可得：，解得，也即，解得，则此时直线的方程为：.综上所述，直线的方程为或.19、（1）（2）存在，，【解析】（1）根据椭圆E：（）过，两点，直接代入方程解方程组，解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到，结合题意求解即可，当切线斜率不存在时，验证即可.【小问1详解】将，的坐标代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的方程为【小问2详解】假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①将其代入椭圆的方程并整理得，由韦达定理得，，②因为，所以，③将①代入③并整理得，联立②得，④因为直线和圆相切，因此，由④得，所以存在圆满足题意当切线的斜率不存在时，易得，由椭圆方程得，显然，综上所述，存在圆满足题意当切线的斜率存在时，由①②④得，由，得，即当切线的斜率不存在时，易得，所以综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且20、【解析】分椭圆的焦点在轴上与焦点在轴上，两种情况讨论，利用待定系数法求出椭圆方程；【详解】解：（1）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为()，则又点C在椭圆上，得，解得，所以椭圆E的方程为（2）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为()，则又点C在椭圆上，得，解得，这与矛盾综上可知，椭圆的方程为21、（1）证明见解析（2）3【解析】（1）证明出，且，从而证明出线面垂直；（2）先用椎体体积公式求出，利用体积之比得到线段之比，从而得到的值.【小问1详解】证明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因为，且，∴四边形ABCD为直角梯形.又因为，，易得，，∴，∴.又因为AC，PA是平面PAC的两条相交直线，∴平面PAC.【小问2详解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴点M到平面ABC的距离为，∴，∴.22、（1）（2