云南省玉溪市元江一中2026届高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

云南省玉溪市元江一中2026届高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列六个关系式:⑴其中正确的个数为（）A.6个 B.5个C.4个 D.少于4个2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）A.60 B.65C.66 D.693．函数的零点所在区间是（）A. B.C. D.4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）A.20 B.18C.16 D.145．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.3a2 B.6a2C.12a2 D.24a26．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．设实数t满足，则有（）A. B.C. D.8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则9．下列四条直线，倾斜角最大的是A. B.C. D.10．设，，若，则ab的最小值是（）A.5 B.9C.16 D.25二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是______12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为___________.13．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________.14．函数f（x）＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为_______，函数的值域是________15．_____.16．已知，则____________.（可用对数符号作答）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.18．已知函数是偶函数.（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.19．已知全集为实数集R，集合，求，；已知集合，若，求实数a的取值范围20．某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.（1）求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.（3）如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.21．设条件，条件（1）在条件q中，当时，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关系式个数为个，故选C.点睛：本题主要考查了：（1）点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，；（2）元素和集合之间是属于关系，子集和集合之间是包含关系；（3）不含任何元素的集合称为空集，空集是任何集合的子集2、B【解析】由已知可得方程，解出即可【详解】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得.故选：B3、B【解析】判断函数的单调性，根据函数零点存在性定理即可判断.【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递减；在上单调递减，所以函数为定义在上的连续减函数，又当时，，当时，，两函数值异号，所以函数的零点所在区间是，故选：B.4、C【解析】解方程，得或，作出的图象，由对称性只要作的部分，观察的图象与直线和直线的交点的个数即得【详解】,或根据函数解析式以及偶函数性质作图象，当时，.，是抛物线的一段，当，由的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，根据对称轴可得左侧的结论，时，，的图象与直线和的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为，故选：C【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论5、B【解析】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球直径为：，所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B6、A【解析】集合表示到的线段，集合表示过定点的直线，，说明线段和过定点的直线有交点，由此能求出实数的取值范围【详解】由题意可得，集合表示到的线段上的点，集合表示恒过定点的直线.∵∴线段和过定点的直线有交点∴根据图像得到只需满足，或故选A．【点睛】本题考查交集定义等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解答本题的关键是理解集合表示到的线段，集合表示过定点的直线，再通过得出直线与线段有交点，通过对应的斜率求解.7、B【解析】由，得到求解.【详解】解：因为，所以，所以，，则，故选：B8、D【解析】若,则需使得平面内有直线平行于直线；若,则需使得,由此为依据进行判断即可【详解】当时,可确定平面,当时,因为,所以,所以；当平面交平面于直线时,因为,所以,则,因为,所以,因为,所以,故A错误,D正确；当时,需使得,选项B、C中均缺少判断条件,故B、C错误；故选:D【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力9、C【解析】直线方程y=x+1的斜率为1,倾斜角为45∘，直线方程y=2x+1的斜率为2,倾斜角为α(60∘<α<90∘)，直线方程y=−x+1的斜率为−1,倾斜角为135∘，直线方程x=1的斜率不存在,倾斜角为90∘.所以C中直线的倾斜角最大．本题选择C选项.点睛：直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率.10、D【解析】结合基本不等式来求得的最小值.【详解】，，，，当且仅当时等号成立，由.故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】观察函数的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式【详解】令，则，得，即函数的图像关于中心对称，且单调递增，不等式可化为，即，得，解集为【点睛】利用函数解决不等式问题，关键是根据不等式构造适当的函数，通过研究函数的单调性等性质解决问题12、2【解析】将数据，，，代入公式，得到，解指数方程，即得解【详解】将，，，代入得，所以，，所以，即.故答案为：213、【解析】作出函数图象，进而通过数形结合求得答案.【详解】问题可以转化为函数的图象与直线有3个交点，如图所示：所以时满足题意.故答案为：.14、①.②.【解析】由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得的值域【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，函数，，故当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，故的值域为，，故答案为：；，15、【解析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解【详解】解：，故答案为【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题16、【解析】根据对数运算法则得到，再根据对数运算法则及三角函数弦化切进行计算.【详解】∵，∴，又，.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又是增函数，即，，则；（2）因为为增函数，所以由可得，解得或的取值范围是或.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据偶函数得到，化简得到，解得答案.（2）化简得方程，设得到有且仅有一个正根，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】（1）由函数是偶函数可知：，∴，，即对一切恒成立，∴.（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根.化简得：方程有且只有一个实根.令，则方程有且只有一个正根，当时，，不合题意；当且，解得或.若，，不合题意；若，满足；当且时，即或且，故；综上，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键.19、(1)；(2).【解析】(1)借助题设条件求集合,再求其交集与补集；(2)借助题设运用数轴分类建立不等式组求解.试题解析：（1），（2）(i)当时，，此时.（ii）当时，，则综合（i）（ii），可得的取值范围是考点：函数的定义域集合的运算等有关知识的综合运用.20、（1），（2）餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为，（3）答案见解析【解析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，；（2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可；（3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎.【小问1详解】因为餐厅满意指数在中有30人，则有：解得：根据总的频率和为1，则有：解得：综上可得：，【小问2详解】设餐厅满意指数的平均数和方差分别为餐厅满意指数的平均数和方差分别为，则有：，，，，综上可得：餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别，【小问3详解】答案一：餐厅满意指数的平均数为，方差为，